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Weierstraßsches Majorantenkriterium Das Weierstraßsche Majorantenkriterium auch Weierstraßscher M Test ist ein Kriterium

Weierstraßsches Majorantenkriterium

Das Weierstraßsche Majorantenkriterium (auch: Weierstraßscher M-Test) ist ein Kriterium zum Nachweis gleichmäßiger und absoluter Konvergenz einer Funktionenreihe. Als Spezialfall enthält es das Majorantenkriterium für Reihen. Es wurde nach dem Mathematiker Karl Weierstraß benannt.

Aussage Bearbeiten

Sei eine Folge reell- oder komplexwertiger Funktionen auf der Menge . Seien reelle Konstanten, so dass

für alle und alle in gilt. Weiterhin konvergiere die Reihe .

Dann gilt: Die Reihe

konvergiert absolut und gleichmäßig auf .

Beispiel Bearbeiten

Sei eine reelle Zahl, dann ist die Weierstraß-Funktion

überall stetig, aber nirgends differenzierbar. Die Stetigkeit dieser Funktion kann durch den Weierstraßschen M-Test nachgewiesen werden. Es gilt nämlich

sowie

nach der Formel für die geometrische Reihe. Daher konvergiert die Reihe gleichmäßig nach dem Weierstraßschen M-Test. Die einzelnen Partialsummen bilden nun eine Folge stetiger Funktionen, die gleichmäßig gegen konvergiert. Damit ist als ein solcher Grenzwert stetig.

Literatur Bearbeiten

  • Herbert Amann und Joachim Escher, Analysis 1, Birkhäuser, Basel, 2002. (siehe Satz V.1.6)

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. H. Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1. Vieweg+Teubner (2009), Satz 105.3, S. 555.
  2. E. M. Stein, R. Shakarchi: Fourier Analysis. An Introduction. University Press Group Ltd (2003), Theorem 3.1, S. 114.
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Das Weierstrasssche Majorantenkriterium auch Weierstrassscher M Test ist ein Kriterium zum Nachweis gleichmassiger und absoluter Konvergenz einer Funktionenreihe Als Spezialfall enthalt es das Majorantenkriterium fur Reihen Es wurde nach dem Mathematiker Karl Weierstrass benannt Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Beispiel 3 Literatur 4 EinzelnachweiseAussage BearbeitenSei f n n N displaystyle f n n in mathbb N nbsp eine Folge reell oder komplexwertiger Funktionen auf der Menge A displaystyle A nbsp Seien M n displaystyle M n nbsp reelle Konstanten so dass f n x M n displaystyle f n x leq M n nbsp fur alle n 1 displaystyle n geq 1 nbsp und alle x displaystyle x nbsp in A displaystyle A nbsp gilt Weiterhin konvergiere die Reihe n 1 M n displaystyle textstyle sum n 1 infty M n nbsp Dann gilt Die Reihe n 1 f n x displaystyle sum n 1 infty f n x nbsp konvergiert absolut und gleichmassig auf A displaystyle A nbsp 1 Beispiel BearbeitenSei 0 lt a lt 1 displaystyle 0 lt alpha lt 1 nbsp eine reelle Zahl dann ist die Weierstrass Funktion f x n 0 2 n a e i 2 n x displaystyle f x sum n 0 infty 2 n alpha e i2 n x nbsp uberall stetig aber nirgends differenzierbar 2 Die Stetigkeit dieser Funktion kann durch den Weierstrassschen M Test nachgewiesen werden Es gilt namlich 2 n a e i 2 n x 2 n a displaystyle left 2 n alpha e i2 n x right 2 n alpha nbsp sowie n 0 2 n a n 0 1 2 a n 1 1 2 a lt displaystyle sum n 0 infty 2 n alpha sum n 0 infty left frac 1 2 alpha right n frac 1 1 2 alpha lt infty nbsp nach der Formel fur die geometrische Reihe Daher konvergiert die Reihe f x displaystyle f x nbsp gleichmassig nach dem Weierstrassschen M Test Die einzelnen Partialsummen bilden nun eine Folge stetiger Funktionen die gleichmassig gegen f displaystyle f nbsp konvergiert Damit ist f displaystyle f nbsp als ein solcher Grenzwert stetig Literatur BearbeitenHerbert Amann und Joachim Escher Analysis 1 Birkhauser Basel 2002 siehe Satz V 1 6 Einzelnachweise Bearbeiten H Heuser Lehrbuch der Analysis Teil 1 Vieweg Teubner 2009 Satz 105 3 S 555 E M Stein R Shakarchi Fourier Analysis An Introduction University Press Group Ltd 2003 Theorem 3 1 S 114 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Weierstrasssches Majorantenkriterium amp oldid 227999504