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Abelscher Grenzwertsatz Der Abelsche Grenzwertsatz ist ein mathematischer Satz aus dem Teilgebiet der Analysis Er beschr

Abelscher Grenzwertsatz

Der Abelsche Grenzwertsatz ist ein mathematischer Satz aus dem Teilgebiet der Analysis. Er beschreibt, unter welchen Bedingungen sich eine als Potenzreihe definierte Funktion stetig auf die Ränder des Konvergenzintervalls fortsetzen lässt, und lautet wie folgt:

Anwendung Bearbeiten

Die Umkehrfunktion der Tangensfunktion besitzt auf dem Intervall die folgende Darstellung als Potenzreihe:

Die Reihe konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium. Da , liefert der abelsche Grenzwertsatz die Identität

Literatur Bearbeiten

  • Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis II. Eine integrierte Darstellung. 7. Auflage. Aula-Verlag Wiesbaden 1989, S. 205.
  • Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 6. Auflage. Teubner 1989, ISBN 3-519-42221-2, S. 367.
  • Vieweg Mathematik Lexikon. Vieweg-Verlag, (1988).

Weblinks Bearbeiten

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Der Abelsche Grenzwertsatz ist ein mathematischer Satz aus dem Teilgebiet der Analysis Er beschreibt unter welchen Bedingungen sich eine als Potenzreihe definierte Funktion stetig auf die Rander des Konvergenzintervalls fortsetzen lasst und lautet wie folgt Sei n 0 a n displaystyle sum n 0 infty a n eine konvergente Reihe reeller Zahlen Dann konvergiert die Potenzreihe n 0 a n x n displaystyle sum n 0 infty a n x n auf dem Intervall 0 1 displaystyle 0 1 und die durch sie definierte Funktion f x n 0 a n x n displaystyle f x sum n 0 infty a n x n ist stetig auf 0 1 displaystyle 0 1 mit f 1 n 0 a n displaystyle f 1 sum n 0 infty a n Anwendung BearbeitenDie Umkehrfunktion der Tangensfunktion besitzt auf dem Intervall 0 1 1 1 displaystyle 0 1 subset 1 1 nbsp die folgende Darstellung als Potenzreihe arctan x n 0 1 n x 2 n 1 2 n 1 displaystyle arctan x sum n 0 infty 1 n frac x 2n 1 2n 1 nbsp Die Reihe n 0 1 n 2 n 1 displaystyle textstyle sum n 0 infty frac 1 n 2n 1 nbsp konvergiert nach dem Leibniz Kriterium Da tan p 4 1 displaystyle tan tfrac pi 4 1 nbsp liefert der abelsche Grenzwertsatz die Identitat p 4 arctan 1 n 0 1 n 2 n 1 displaystyle frac pi 4 arctan 1 sum n 0 infty frac 1 n 2n 1 nbsp Literatur BearbeitenKurt Endl Wolfgang Luh Analysis II Eine integrierte Darstellung 7 Auflage Aula Verlag Wiesbaden 1989 S 205 Harro Heuser Lehrbuch der Analysis Teil 1 6 Auflage Teubner 1989 ISBN 3 519 42221 2 S 367 Vieweg Mathematik Lexikon Vieweg Verlag 1988 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein verallgemeinerte Version des Abelschen Grenzwertsatzes In MathWorld englisch Abel s limit theorem In PlanetMath englisch Proof of Abel s limit theorem In PlanetMath englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Abelscher Grenzwertsatz amp oldid 215072751