Leibniz Kriterium Das ist ein Konvergenzkriterium im mathematischen Teilgebiet der Analysis Mit diesem Kriterium kann di

Leibniz-Kriterium

Das Leibniz-Kriterium ist ein Konvergenzkriterium im mathematischen Teilgebiet der Analysis. Mit diesem Kriterium kann die Konvergenz einer unendlichen Reihe gezeigt werden. Benannt ist es nach dem Universalgelehrten Gottfried Wilhelm Leibniz, der das Kriterium 1682 veröffentlichte.

Aussage des Kriteriums Bearbeiten

Partialsumme einer alternierenden Reihe

Sei eine monoton fallende, reelle Nullfolge, dann konvergiert die alternierende Reihe

Über den Grenzwert der Reihe macht das Kriterium jedoch keine Aussage.

Das Kriterium gilt auch für monoton wachsende Nullfolgen, denn ist eine monoton wachsende Nullfolge, so ist eine monoton fallende Nullfolge.

Beispiele Bearbeiten

Mit dem Leibniz-Kriterium kann beispielsweise die Konvergenz der alternierenden harmonischen Reihe und der Leibniz-Reihe gezeigt werden.

Alternierende harmonische Reihe Bearbeiten

Die alternierende harmonische Reihe

konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium. Allerdings konvergiert sie nicht absolut.

Leibniz-Reihe Bearbeiten

Gegenbeispiel Bearbeiten

Dieses Gegenbeispiel zeigt, dass es nicht genügt, wenn nur eine Nullfolge ist. Die Monotonie ist notwendig für dieses Kriterium. Betrachtet man die nicht-monotone Nullfolge

Die alternierende Reihe mit diesen Koeffizienten hat als ungerade Reihenglieder die negative harmonische Reihe, die divergiert. Daher ist auch die gesamte Reihe divergent.

Abschätzung des Grenzwerts Bearbeiten

Das Leibniz-Kriterium liefert eine Abschätzung für den Grenzwert, denn bei derartig alternierenden Reihen liegt der Grenzwert immer zwischen zwei aufeinanderfolgenden Partialsummen. Sei

die -te Partialsumme der Reihe

mit einer monoton fallenden Nullfolge .

Dann gilt für alle :

Es gibt zudem noch eine Fehlerabschätzung, das heißt eine Abschätzung des Restglieds der Summe nach Summanden:

Beweis Bearbeiten

Wir betrachten die Teilfolge der Folge der Partialsummen. Da die Folge monoton fallend ist, gilt

Das heißt, die Folge ist ebenfalls monoton fallend. Sie ist außerdem nach unten beschränkt, denn

nachdem die Klammerausdrücke wegen der Monotonie der Folge größer gleich Null sind. Die Folge ist also nicht nur monoton fallend, sondern auch nach unten beschränkt und damit nach dem Monotoniekriterium konvergent. Die Folge ist ebenfalls konvergent (ähnliches Argument wie oben, aber monoton steigend) und hat denselben Grenzwert, da

wegen

gilt.

Verallgemeinerung Bearbeiten

Das Leibniz-Kriterium stellt einen Spezialfall des allgemeineren Kriterium von Dirichlet dar.

Einzelnachweise Bearbeiten

Leibniz criterion. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
Gottfried Wilhelm Leibniz: De vera proportione circuli ad quadratum circumscritum in Numeris rationalibus expressa. In: Acta Eruditorum. 1682 (Latein, archive.org [abgerufen am 1. November 2022]). Zitiert nach Ernst Hairer, Gerhard Wanner: Analysis in historischer Entwicklung. Springer-Verlag, 2011, ISBN 978-3-642-13766-2, ISSN 0937-7433, doi:10.1007/978-3-642-13767-9 (englisch: Analysis by Its History. 2008. Übersetzt von Andreas Lochmann).
Siehe https://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/erlaeuterung/erlaeuterung286/
Beweis nach Handbuch der Mathematik. Leipzig 1986, ISBN 3-8166-0015-8, S. 408–409. Im Unterschied zu diesem Artikel beginnt die Reihe im Buch mit , so dass sich ein kleiner Unterschied ergibt.

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Veröffentlichungsdatum: November 29, 2023, 18:17 pm

Das Leibniz Kriterium ist ein Konvergenzkriterium im mathematischen Teilgebiet der Analysis Mit diesem Kriterium kann die Konvergenz einer unendlichen Reihe gezeigt werden Benannt ist es nach dem Universalgelehrten Gottfried Wilhelm Leibniz der das Kriterium 1682 veroffentlichte 1 2 Inhaltsverzeichnis 1 Aussage des Kriteriums 2 Beispiele 2 1 Alternierende harmonische Reihe 2 2 Leibniz Reihe 2 3 Gegenbeispiel 3 Abschatzung des Grenzwerts 4 Beweis 5 Verallgemeinerung 6 EinzelnachweiseAussage des Kriteriums Bearbeiten nbsp Partialsumme einer alternierenden ReiheSei a n n N 0 displaystyle a n n in mathbb N 0 nbsp eine monoton fallende reelle Nullfolge dann konvergiert die alternierende Reihe s n 0 1 n a n displaystyle s sum n 0 infty 1 n a n nbsp Uber den Grenzwert der Reihe macht das Kriterium jedoch keine Aussage Das Kriterium gilt auch fur monoton wachsende Nullfolgen denn ist a n n N 0 displaystyle a n n in mathbb N 0 nbsp eine monoton wachsende Nullfolge so ist a n n N 0 displaystyle 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abgerufen am 1 November 2022 Zitiert nach Ernst Hairer Gerhard Wanner Analysis in historischer Entwicklung Springer Verlag 2011 ISBN 978 3 642 13766 2 ISSN 0937 7433 doi 10 1007 978 3 642 13767 9 englisch Analysis by Its History 2008 Ubersetzt von Andreas Lochmann Siehe https mo mathematik uni stuttgart de inhalt erlaeuterung erlaeuterung286 Beweis nach Handbuch der Mathematik Leipzig 1986 ISBN 3 8166 0015 8 S 408 409 Im Unterschied zu diesem Artikel beginnt die Reihe im Buch mit a 1 displaystyle a 1 nbsp so dass sich ein kleiner Unterschied ergibt Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Leibniz Kriterium amp oldid 238032886