Die Leibniz Reihe ist eine Formel zur Annaherung an die Kreiszahl p displaystyle pi die Gottfried Wilhelm Leibniz in den Jahren 1673 1676 entwickelte und 1682 in der Zeitschrift Acta Eruditorum erstmals veroffentlichte 1 Sie lautet k 0 1 k 2 k 1 1 1 3 1 5 1 7 1 9 p 4 displaystyle sum k 0 infty frac 1 k 2k 1 1 frac 1 3 frac 1 5 frac 1 7 frac 1 9 dotsb frac pi 4 Diese Formel war dem indischen Mathematiker Madhava bereits im 14 Jahrhundert weswegen sie mittlerweile auch Madhava Leibniz Reihe genannt wird und dem schottischen Mathematiker Gregory vor 1671 bekannt Leibniz entdeckte sie fur die kontinentaleuropaische Mathematik neu Die Reihe wird daher manchmal auch zusatzlich nach Gregory benannt Die Konvergenz dieser Reihe folgt unmittelbar aus dem Leibniz Kriterium Die Konvergenz ist logarithmisch Inhaltsverzeichnis 1 Herleitung 2 Konvergenzgeschwindigkeit 3 Eine Liste von Partialsummen die sich aus Leibniz Formel ergeben 4 Konvergenz Beschleunigung 5 Analoge Abwandlungen 6 Siehe auch 7 Literatur 8 Weblinks 9 EinzelnachweiseHerleitung BearbeitenDie Leibniz Reihe kann so hergeleitet werden k 0 1 k 2 k 1 k 0 1 k 0 1 x 2 k d x 0 1 k 0 1 k x 2 k d x displaystyle sum k 0 infty frac 1 k 2k 1 sum k 0 infty 1 k int 0 1 x 2k mathrm d x int 0 1 biggl sum k 0 infty 1 k x 2k biggr mathrm d x nbsp 0 1 1 x 2 1 d x arctan x x 0 x 1 arctan 1 p 4 displaystyle int 0 1 frac 1 x 2 1 mathrm d x biggl arctan x biggr x 0 x 1 arctan 1 frac pi 4 nbsp Auf der Geometrischen Reihe basiert die Umwandlung von der unendlichen Summe der Standard Polynomfunktionen zur gezeigten gebrochen rationalen Funktion Konvergenzgeschwindigkeit BearbeitenDas Restglied der Summe nach n displaystyle n nbsp Summanden betragt R n k 0 n 1 1 k 2 k 1 p 4 k n 1 k 2 k 1 displaystyle R n sum k 0 n 1 frac 1 k 2k 1 frac pi 4 sum k n infty frac 1 k 2k 1 nbsp Mit der Fehlerabschatzung des Leibniz Kriteriums gilt R n 1 2 n 1 displaystyle R n leq frac 1 2n 1 nbsp Genauere Betrachtungen zeigen sogar dass R n lt 1 4 n displaystyle R n lt frac 1 4n nbsp Mit n displaystyle n nbsp Summanden kann man also s displaystyle s nbsp Nachkommastellen mit einem Fehler lt 0 5 in der s displaystyle s nbsp ten Nachkommastelle erhalten s n lg 2 n displaystyle s n lg 2n nbsp Die Anzahl benotigter Summanden n displaystyle n nbsp fur s displaystyle s nbsp sinnvolle Nachkommastellen im Ergebnis betragt entsprechend n s 1 2 10 s displaystyle n s frac 1 2 cdot 10 textstyle s nbsp Eine Liste von Partialsummen die sich aus Leibniz Formel ergeben BearbeitenMit Hilfe der Leibniz Reihe lasst sich eine Naherung der Kreiszahl p displaystyle pi nbsp berechnen denn es ist p 4 k 0 1 k 2 k 1 lim n 4 k 0 n 1 1 k 2 k 1 displaystyle pi 4 cdot sum k 0 infty frac 1 k 2k 1 lim limits n to infty left 4 cdot sum k 0 n 1 frac 1 k 2k 1 right nbsp Die folgende Liste zeigt die Folgenglieder der Folge von Partialsummen der mit 4 multiplizierten Leibniz Reihe Da die Folge nur sehr langsam konvergiert ist sie zur effizienten Berechnung von p displaystyle pi nbsp nicht geeignet auch nicht nach Umformungen Bemerkenswert ist die Tatsache dass in der letzten Tabellenzeile die 9 Nachkommastelle noch nicht richtig ist hingegen die nachsten 6 589793 mit der Kreiszahl p displaystyle pi nbsp ubereinstimmen n Anzahl derberechnetenBruche 4 k 0 n 1 1 k 2 k 1 displaystyle 4 cdot sum k 0 n 1 frac 1 k 2k 1 nbsp Ergebnis 4 k 0 n 1 k 2 k 1 displaystyle 4 cdot sum k 0 n frac 1 k 2k 1 nbsp Ergebnis Mittelwert2 2 6666666666666665 3 4666666666666668 3 06666666666666644 2 8952380952380952 3 3396825396825394 3 11746031746031758 3 0170718170718169 3 2523659347188758 3 134718875895346416 3 0791533941974261 3 2003655154095472 3 139759454803486632 3 1103502736986859 3 1718887352371476 3 141119504467916564 3 1259686069732875 3 1569763589112720 3 1414724829422798100 3 1315929035585528 3 1514934010709905 3 14154315231477191000 3 1405926538397928 3 1425916543395429 3 141592154089667910000 3 1414926535900429 3 1416926435905430 3 1415926485902927100000 3 1415826535897935 3 1416026534897941 3 14159265353979361000000 3 1415916535897930 3 1415936535887932 3 141592653589293110000000 3 1415925535897928 3 1415927535897827 3 1415926535897878100000000 3 1415926435897932 3 1415926635897931 3 14159265358979311000000000 3 1415926525897930 3 1415926545897932 3 1415926535897931Konvergenz Beschleunigung BearbeitenDie Eulersche Reihentransformation erzeugt aus der Leibniz Reihe die schneller konvergierende Reihe Nicolas Fatio 1705 p 4 1 2 1 1 1 3 1 2 1 3 5 1 2 n 1 3 5 2 n 1 displaystyle frac pi 4 frac 1 2 left 1 frac 1 1 cdot 3 frac 1 cdot 2 1 cdot 3 cdot 5 frac 1 cdot 2 n 1 cdot 3 cdot 5 2n 1 right nbsp Verbesserte Verfahren mit anderen Reihen sind im Artikel Kreiszahl aufgefuhrt Analoge Abwandlungen BearbeitenZur Leibniz Reihe konnen einige analoge Abwandlungen erstellt werden Das bekannteste Analogon ist die unendliche alternierende Differenz aller naturlicher Zahlen welche direkt zum Logarithmus Naturalis von Zwei fuhrt 1 1 2 1 3 1 4 k 0 1 k k 1 0 693 1471805599453 ln 2 displaystyle 1 frac 1 2 frac 1 3 frac 1 4 dotsb sum k 0 infty frac 1 k k 1 approx 0 6931471805599453 ln 2 nbsp Herleitung dieses Wertes k 0 1 k k 1 k 0 1 k 0 1 x k d x 0 1 k 0 1 k x k d x 0 1 1 x 1 d x ln 2 displaystyle sum k 0 infty frac 1 k k 1 sum k 0 infty 1 k int 0 1 x k mathrm d x int 0 1 biggl sum k 0 infty 1 k x k biggr mathrm d x int 0 1 frac 1 x 1 mathrm d x ln 2 nbsp Dies ist ein kubisches Analogon zur Leibniz Reihe 1 1 4 1 7 1 10 k 0 1 k 3 k 1 0 835 648848264721 1 9 3 p 1 3 ln 2 displaystyle 1 frac 1 4 frac 1 7 frac 1 10 dotsb sum k 0 infty frac 1 k 3k 1 approx 0 835648848264721 frac 1 9 sqrt 3 pi frac 1 3 ln 2 nbsp Herleitung dieses Wertes k 0 1 k 3 k 1 k 0 1 k 0 1 x 3 k d x 0 1 k 0 1 k x 3 k d x 0 1 1 x 3 1 d x displaystyle sum k 0 infty frac 1 k 3k 1 sum k 0 infty 1 k int 0 1 x 3k mathrm d x int 0 1 biggl sum k 0 infty 1 k x 3k biggr mathrm d x int 0 1 frac 1 x 3 1 mathrm d x nbsp 0 1 1 2 1 x 2 x 1 1 3 1 x 1 1 6 2 x 1 x 2 x 1 d x displaystyle int 0 1 frac 1 2 frac 1 x 2 x 1 frac 1 3 frac 1 x 1 frac 1 6 frac 2x 1 x 2 x 1 mathrm d x nbsp 1 3 3 arctan 1 3 3 2 x 1 1 6 ln x 1 2 x 2 x 1 x 0 x 1 displaystyle biggl frac 1 3 sqrt 3 arctan bigl frac 1 3 sqrt 3 2x 1 bigr frac 1 6 ln biggl frac x 1 2 x 2 x 1 biggr biggr x 0 x 1 nbsp 1 3 3 arctan 1 3 3 1 3 3 arctan 1 3 3 1 6 ln 4 1 9 3 p 1 3 ln 2 displaystyle frac 1 3 sqrt 3 arctan bigl frac 1 3 sqrt 3 bigr frac 1 3 sqrt 3 arctan bigl frac 1 3 sqrt 3 bigr frac 1 6 ln 4 frac 1 9 sqrt 3 pi frac 1 3 ln 2 nbsp Und das ist ein quartisches Analogon zur Leibniz Reihe 1 1 5 1 9 1 13 k 0 1 k 4 k 1 0 866 972987339911 1 8 2 p 1 4 2 arsinh 1 displaystyle 1 frac 1 5 frac 1 9 frac 1 13 dotsb sum k 0 infty frac 1 k 4k 1 approx 0 866972987339911 frac 1 8 sqrt 2 pi frac 1 4 sqrt 2 operatorname arsinh 1 nbsp Herleitung dieses Wertes k 0 1 k 4 k 1 k 0 1 k 0 1 x 4 k d x 0 1 k 0 1 k x 4 k d x 0 1 1 x 4 1 d x displaystyle sum k 0 infty frac 1 k 4k 1 sum k 0 infty 1 k int 0 1 x 4k mathrm d x int 0 1 biggl sum k 0 infty 1 k x 4k biggr mathrm d x int 0 1 frac 1 x 4 1 mathrm d x nbsp 0 1 1 4 1 x 2 2 x 1 1 4 1 x 2 2 x 1 1 8 2 2 x 2 x 2 2 x 1 1 8 2 2 x 2 x 2 2 x 1 d x displaystyle int 0 1 frac 1 4 frac 1 x 2 sqrt 2 x 1 frac 1 4 frac 1 x 2 sqrt 2 x 1 frac 1 8 sqrt 2 frac 2x sqrt 2 x 2 sqrt 2 x 1 frac 1 8 sqrt 2 frac 2x sqrt 2 x 2 sqrt 2 x 1 mathrm d x nbsp 1 2 2 arctan 2 x x 4 1 x 2 1 1 8 2 ln x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 x 0 x 1 displaystyle biggl frac 1 2 sqrt 2 arctan bigl frac sqrt 2 x sqrt x 4 1 x 2 1 bigr frac 1 8 sqrt 2 ln bigl frac x 2 sqrt 2 x 1 x 2 sqrt 2 x 1 bigr biggr x 0 x 1 nbsp 1 2 2 arctan 1 1 8 2 ln 2 2 2 2 1 8 2 p 1 4 2 arsinh 1 displaystyle frac 1 2 sqrt 2 arctan 1 frac 1 8 sqrt 2 ln bigl frac 2 sqrt 2 2 sqrt 2 bigr frac 1 8 sqrt 2 pi frac 1 4 sqrt 2 operatorname arsinh 1 nbsp Siehe auch BearbeitenWallissches Produkt ArkustangensLiteratur BearbeitenV I Bityutskov Leibniz series In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Weblinks Bearbeiten3Blue1Brown Pi hiding in prime regularities auf YouTube abgerufen am 18 Oktober 2023 Zahlentheoretischer Zugang zur Leibniz Reihe Einzelnachweise Bearbeiten Gottfried Wilhelm Freiherr von Leibniz Leibnizens mathematische Schriften Mathematik A Asher 1858 google it abgerufen am 31 Januar 2023 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Leibniz Reihe amp oldid 238283306
