www.wikidata.de-de.nina.az

Eulersche Reihentransformation Die erzeugt aus einer konvergenten Zahlenreihe eine andere Zahlenreihe mit identischer Re

Eulersche Reihentransformation

Die Eulersche Reihentransformation erzeugt aus einer konvergenten Zahlenreihe eine andere Zahlenreihe mit identischer Reihensumme. Das einfache Verfahren wurde zuerst von Nicolas Fatio auf die Leibniz-Reihe angewandt und von Leonhard Euler auf beliebige Reihen verallgemeinert. In manchen Fällen konvergiert die transformierte Reihe schneller als die ursprüngliche Reihe. Dies ermöglicht eine bessere numerische Berechnung der ursprünglichen Reihe (Konvergenzbeschleunigung). In einigen Fällen eröffnet sich damit auch die Möglichkeit für eine Auswertung der Reihensumme mittels Mathematischer Konstanten. Im Fall der Divergenz der ursprünglichen Reihe kann eine Reihentransformation auch ein Limitierungsverfahren liefern, indem die transformierte Reihe gegen einen Wert konvergiert.

Definition Bearbeiten

Reihe und transformierte Reihe sind gegeben durch

Hierbei ist der Operator definiert durch . Im Fall einer alternierenden Reihe erzeugt Differenzen von Absolutbeträgen von Reihentermen. Die Terme von sind bis auf eine Zweierpotenz und Vorzeichen die Binomialtransformierten von .

Dass die Euler-Transformierte dieselbe Reihensumme ergibt, lässt sich mit Hilfe von

verifizieren (y=1).

Herleitung Bearbeiten

Die Idee der eulerschen Reihentransformation (Nikolaus Fatio) besteht darin, aus der ursprünglichen Reihe durch Zusammenfassung aufeinanderfolgender Reihenterme zunächst eine neue Reihe

zu generieren. Für eine alternierende Reihe mit streng monoton fallenden Absolutbeträgen ist ebenfalls alternierend. Die eulersche Reihentransformation ergibt sich dann durch wiederholte Anwendung des Verfahrens auf die jeweils im vorherigen Schritt erzeugte Reihe.

Leonhard Euler gelangt auf einem anderen Weg zum Ziel. Er definiert (sinngemäß) eine Funktion

setzt , entwickelt nach und setzt , d. h. .

Andere Reihentransformationen Bearbeiten

Ein Vergleich mit anderen Reihentransformationen ist möglich, wenn man die Partialsummen von durch die Partialsummen , von ausdrückt,

Der Binomialkoeffizient approximiert bei großem als Funktion von eine Gaußkurve mit Mittelwert und Standardabweichung . Die Partialsumme ist daher (asymptotisch) ein mit einer Gaußkurve gewichtetes Mittel von Partialsummen von .

Das Cesàro-Mittel einer Reihe ist dagegen das arithmetische Mittel der Partialsummen .

Geschichte Bearbeiten

Bereits James Stirling hat 1730 in seinem Methodus differentialis Reihentransformationen an Beispielen angegeben.

Beispiele Bearbeiten

  • Die Reihe
  • Die Eulersche Reihentransformation liefert jedoch nicht in allen Fällen eine schneller konvergente Reihe. Im Beispiel
  • Im Fall einer divergenten Reihe kann die Eulersche Reihentransformation ein Limitierungsverfahren darstellen. Im Beispiel

Weitere Reihentransformationen Bearbeiten

Neben der Eulerschen Reihentransformation gibt es:

  • Markoffsche Reihentransformation
  • Kummersche Reihentransformation

Literatur Bearbeiten

  • James Stirling: Methodus Differentialis: sive Tractatus de Summatione et Interpolatione Serierum Infinitarum, G. Strahan, Londini (London) 1730 (lateinisch; Gallica)
  • Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. Springer, Berlin, 1931
  • Karl Strubecker: Einführung in die höhere Mathematik. Oldenbourg, München u. a. 1967, S. 226.
  • L. Graham, D. E. Knuth, O. Patashnik: Concrete Mathematics. Addison-Wesley, 1994, ISBN 0201558025, S. 199.
  • Friedrich Lösch: Eine Verallgemeinerung der Eulerschen Reihentransformation mit funktionentheoretischen Anwendungen. Springer, Berlin 1929, Dissertation
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Die Eulersche Reihentransformation erzeugt aus einer konvergenten Zahlenreihe eine andere Zahlenreihe mit identischer Reihensumme Das einfache Verfahren wurde zuerst von Nicolas Fatio auf die Leibniz Reihe angewandt und von Leonhard Euler auf beliebige Reihen verallgemeinert In manchen Fallen konvergiert die transformierte Reihe schneller als die ursprungliche Reihe Dies ermoglicht eine bessere numerische Berechnung der ursprunglichen Reihe Konvergenzbeschleunigung In einigen Fallen eroffnet sich damit auch die Moglichkeit fur eine Auswertung der Reihensumme mittels Mathematischer Konstanten Im Fall der Divergenz der ursprunglichen Reihe kann eine Reihentransformation auch ein Limitierungsverfahren liefern indem die transformierte Reihe gegen einen Wert konvergiert Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Herleitung 3 Andere Reihentransformationen 4 Geschichte 5 Beispiele 6 Weitere Reihentransformationen 7 LiteraturDefinition BearbeitenReihe S displaystyle S nbsp und transformierte Reihe S displaystyle S prime nbsp sind gegeben durch S n 0 a n S 1 2 n 0 2 n D n a 0 1 2 n 0 2 n k 0 n n k a k displaystyle begin aligned S amp sum n 0 infty a n S prime amp tfrac 1 2 sum n 0 infty 2 n Delta n a 0 tfrac 1 2 sum n 0 infty 2 n left sum k 0 n binom n k a k right end aligned nbsp Hierbei ist der Operator D displaystyle Delta nbsp definiert durch D a n a n a n 1 displaystyle Delta a n a n a n 1 nbsp Im Fall einer alternierenden Reihe erzeugt D displaystyle Delta nbsp Differenzen von Absolutbetragen von Reihentermen Die Terme von S displaystyle S prime nbsp sind bis auf eine Zweierpotenz und Vorzeichen die Binomialtransformierten von S displaystyle S nbsp Dass die Euler Transformierte dieselbe Reihensumme ergibt lasst sich mit Hilfe von y k 1 n k n k 1 1 y n 1 1 displaystyle y k 1 sum n k infty n choose k frac 1 1 y n 1 1 nbsp verifizieren y 1 Herleitung BearbeitenDie Idee der eulerschen Reihentransformation Nikolaus Fatio besteht darin aus der ursprunglichen Reihe S a 0 2 S 1 displaystyle S a 0 2 S 1 nbsp durch Zusammenfassung aufeinanderfolgender Reihenterme zunachst eine neue Reihe S 1 1 2 n 0 a n a n 1 1 2 n 0 D a n displaystyle S 1 tfrac 1 2 sum n 0 infty left a n a n 1 right tfrac 1 2 sum n 0 infty Delta a n nbsp zu generieren Fur eine alternierende Reihe mit streng monoton fallenden Absolutbetragen ist S 1 displaystyle S 1 nbsp ebenfalls alternierend Die eulersche Reihentransformation ergibt sich dann durch wiederholte Anwendung des Verfahrens auf die jeweils im vorherigen Schritt erzeugte Reihe Leonhard Euler gelangt auf einem anderen Weg zum Ziel Er definiert sinngemass eine Funktion S x n 0 a n x n 1 displaystyle S left x right sum n 0 infty a n x n 1 nbsp setzt x y 1 y displaystyle x y left 1 y right nbsp entwickelt nach y displaystyle y nbsp und setzt y 1 2 displaystyle y tfrac 1 2 nbsp d h x 1 displaystyle x 1 nbsp Andere Reihentransformationen BearbeitenEin Vergleich mit anderen Reihentransformationen ist moglich wenn man die Partialsummen s N displaystyle s N prime nbsp von S displaystyle S nbsp durch die Partialsummen s 0 a 0 displaystyle s 0 a 0 nbsp s n s n 1 a n displaystyle s n s n 1 a n nbsp von S displaystyle S nbsp ausdruckt s N 2 N 1 n 0 N N 1 n 1 s n displaystyle s N prime 2 left N 1 right sum n 0 N binom N 1 n 1 s n nbsp Der Binomialkoeffizient approximiert bei grossem N displaystyle N nbsp als Funktion von n displaystyle n nbsp eine Gausskurve mit Mittelwert N 1 2 displaystyle left N 1 right 2 nbsp und Standardabweichung N 1 2 displaystyle sqrt N 1 2 nbsp Die Partialsumme s N displaystyle s N prime nbsp ist daher asymptotisch ein mit einer Gausskurve gewichtetes Mittel von Partialsummen von S displaystyle S nbsp Das Cesaro Mittel einer Reihe ist dagegen das arithmetische Mittel der Partialsummen s n displaystyle s n nbsp Geschichte BearbeitenBereits James Stirling hat 1730 in seinem Methodus differentialis Reihentransformationen an Beispielen angegeben Beispiele BearbeitenDie Reihe k 0 1 k 2 k 2 3 displaystyle sum k 0 infty frac 1 k 2 k tfrac 2 3 nbsp liefert die schneller konvergente Reihe 1 2 k 0 1 4 k 2 3 displaystyle tfrac 1 2 sum k 0 infty frac 1 4 k tfrac 2 3 nbsp Die Eulersche Reihentransformation liefert jedoch nicht in allen Fallen eine schneller konvergente Reihe Im Beispiel k 0 1 k 4 k 4 5 displaystyle sum k 0 infty frac 1 k 4 k tfrac 4 5 nbsp ergibt sich die langsamer konvergente Reihe 1 2 k 0 3 8 k 4 5 displaystyle tfrac 1 2 sum k 0 infty left tfrac 3 8 right k tfrac 4 5 nbsp Im Fall einer divergenten Reihe kann die Eulersche Reihentransformation ein Limitierungsverfahren darstellen Im Beispiel k 0 1 k 1 1 1 displaystyle sum k 0 infty 1 k 1 1 1 dots nbsp ergibt sich die konvergente Reihe 1 2 0 0 0 displaystyle tfrac 1 2 0 0 0 dots nbsp Man sagt dann dass die Reihe E limitierbar ist Eine weniger triviale Anwendung ist die in ganz C displaystyle mathbb C nbsp konvergente Reihe fur die dirichletsche h Funktion Weitere Reihentransformationen BearbeitenNeben der Eulerschen Reihentransformation gibt es Markoffsche Reihentransformation Kummersche ReihentransformationLiteratur BearbeitenJames Stirling Methodus Differentialis sive Tractatus de Summatione et Interpolatione Serierum Infinitarum G Strahan Londini London 1730 lateinisch Gallica Konrad Knopp Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen Springer Berlin 1931 Karl Strubecker Einfuhrung in die hohere Mathematik Oldenbourg Munchen u a 1967 S 226 L Graham D E Knuth O Patashnik Concrete Mathematics Addison Wesley 1994 ISBN 0201558025 S 199 Friedrich Losch Eine Verallgemeinerung der Eulerschen Reihentransformation mit funktionentheoretischen Anwendungen Springer Berlin 1929 Dissertation Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Eulersche Reihentransformation amp oldid 214157708