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Konvergenzbeschleunigung Als bezeichnet man die Ersetzung einer Folge durch eine andere die schneller gegen denselben Gr

Konvergenzbeschleunigung

Als Konvergenzbeschleunigung bezeichnet man die Ersetzung einer Folge durch eine andere, die schneller gegen denselben Grenzwert konvergiert.

Es gibt etliche verschiedene Verfahren zur Konvergenzbeschleunigung, unter denen man je nach Eigenschaften der ursprünglichen Folge wählt. Typische Anwendungen sind iterative Berechnungen, die Auswertung von Reihen und die Integration (Romberg-Verfahren).

Definition Bearbeiten

Eine Folge

mit dem Grenzwert konvergiert schneller als eine andere Folge

mit demselben Grenzwert, falls der Grenzwert

existiert und gleich Null ist. Erhält man aus einer konvergenten Folge durch eine Folgentransformation der Gestalt

so spricht man von Konvergenzbeschleunigung.

Beispiel Bearbeiten

Die Folge konvergiert mit der Konvergenzordnung wie gegen . Es gilt die asymptotische Entwicklung

Diese asymptotische Reihe erzeugt die Bernoullischen Zahlen.

Die Glieder in der Summe der betrachteten Reihe können für k>1 durch

abgeschätzt werden. Die Reihen zu den Abschätzungen links und rechts sind Teleskopreihen,

Die Differenz der letzten beiden Terme beträgt

Somit gilt auch

Die n-te Partialsumme der darin auftretenden Reihe konvergiert mit der Konvergenzordnung wie , also wesentlich schneller.

Dieses Verfahren kann beliebig fortgesetzt werden, so kann die Differenz der letzten Reihe zur Teleskopreihe betrachtet werden.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Milton Abramowitz: Handbook of mathematical functions, with formulas, graphs, and mathematical tables,. Dover Publications, New York 1965, ISBN 0-486-61272-4.
  2. Jean-Paul Delahaye: Sequence transformations. Springer-Verlag, Berlin 1988, ISBN 0-387-15283-0.
  3. Abramowitz and Stegun. Page 16. Abgerufen am 24. Oktober 2021.
  4. http://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/exp-math-9/fulltext.pdf
  5. Avram Sidi: Vector extrapolation methods with applications. Philadelphia 2017, ISBN 978-1-61197-496-6.
  6. John McCarthy: Paul W. Abrahams. Machine verification of mathematical proof. Mathematical algorithms, vol. 1 no. 2 (1966), pp. 11–32; vol. 1 no. 3 (1966), pp. 19–38; vol. 2 (1967), pp. 28–79; vol. 3 (1968), pp. 28–155. In: Journal of Symbolic Logic. Band 37, Nr. 2, Juni 1972, ISSN 0022-4812, S. 411–412, doi:10.2307/2273006.
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Als Konvergenzbeschleunigung bezeichnet man die Ersetzung einer Folge durch eine andere die schneller gegen denselben Grenzwert konvergiert Es gibt etliche verschiedene Verfahren zur Konvergenzbeschleunigung unter denen man je nach Eigenschaften der ursprunglichen Folge wahlt Typische Anwendungen sind iterative Berechnungen die Auswertung von Reihen und die Integration Romberg Verfahren 1 2 Definition BearbeitenEine Folge 3 T t n n N 0 displaystyle T t n n in mathbb N 0 nbsp mit dem Grenzwert s displaystyle s nbsp konvergiert schneller als eine andere Folge S s n n N 0 displaystyle S s n n in mathbb N 0 nbsp mit demselben Grenzwert falls der Grenzwert lim n t n s s n s displaystyle lim n to infty frac t n s s n s nbsp existiert und gleich Null ist Erhalt man T displaystyle T nbsp aus einer konvergenten Folge S displaystyle S nbsp durch eine Folgentransformation der Gestalt T F S displaystyle T F S nbsp so spricht man von Konvergenzbeschleunigung Beispiel BearbeitenDie Folge a n k 1 n 1 k 2 displaystyle textstyle a n sum k 1 n frac 1 k 2 nbsp konvergiert mit der Konvergenzordnung wie 1 n displaystyle tfrac 1 n nbsp gegen p 2 6 displaystyle tfrac pi 2 6 nbsp Es gilt die asymptotische Entwicklung 4 5 k 1 n 1 k 2 p 2 6 1 n 1 2 n 2 1 6 n 3 1 30 n 5 1 42 n 7 1 30 n 9 5 66 n 11 O 1 n 13 n displaystyle sum k 1 n frac 1 k 2 frac pi 2 6 frac 1 n frac 1 2n 2 frac 1 6n 3 frac 1 30n 5 frac 1 42n 7 frac 1 30n 9 frac 5 66n 11 mathcal O left frac 1 n 13 right quad n to infty nbsp Diese asymptotische Reihe erzeugt die Bernoullischen Zahlen Die Glieder in der Summe der betrachteten Reihe konnen fur k gt 1 durch 1 k k 1 lt 1 k 2 lt 1 k 1 k 1 displaystyle frac 1 k k 1 lt frac 1 k 2 lt frac 1 k 1 k 1 nbsp abgeschatzt werden Die Reihen zu den Abschatzungen links und rechts sind Teleskopreihen 3 2 1 n 1 1 k 2 n 1 k 2 7 4 n 1 2 n n 1 displaystyle frac 3 2 frac 1 n 1 leq 1 sum k 2 n frac 1 k 2 leq frac 7 4 frac n frac 1 2 n n 1 nbsp Die Differenz der letzten beiden Terme betragt k 2 n 1 k 2 1 k 2 n 1 k 2 k 2 n 1 k 2 k 2 1 displaystyle sum k 2 n frac 1 k 2 1 sum k 2 n frac 1 k 2 sum k 2 n frac 1 k 2 k 2 1 nbsp Somit gilt auch p 2 6 7 4 k 2 1 k 2 k 2 1 displaystyle frac pi 2 6 frac 7 4 sum k 2 infty frac 1 k 2 k 2 1 nbsp Die n te Partialsumme der darin auftretenden Reihe konvergiert mit der Konvergenzordnung wie 1 n 3 displaystyle frac 1 n 3 nbsp also wesentlich schneller Dieses Verfahren kann beliebig fortgesetzt werden so kann die Differenz der letzten Reihe zur Teleskopreihe k 2 1 k 1 k k 1 k 2 displaystyle sum k 2 infty frac 1 k 1 k k 1 k 2 nbsp betrachtet werden 6 Einzelnachweise Bearbeiten Milton Abramowitz Handbook of mathematical functions with formulas graphs and mathematical tables Dover Publications New York 1965 ISBN 0 486 61272 4 Jean Paul Delahaye Sequence transformations Springer Verlag Berlin 1988 ISBN 0 387 15283 0 Abramowitz and Stegun Page 16 Abgerufen am 24 Oktober 2021 http people mpim bonn mpg de zagier files exp math 9 fulltext pdf Avram Sidi Vector extrapolation methods with applications Philadelphia 2017 ISBN 978 1 61197 496 6 John McCarthy Paul W Abrahams Machine verification of mathematical proof Mathematical algorithms vol 1 no 2 1966 pp 11 32 vol 1 no 3 1966 pp 19 38 vol 2 1967 pp 28 79 vol 3 1968 pp 28 155 In Journal of Symbolic Logic Band 37 Nr 2 Juni 1972 ISSN 0022 4812 S 411 412 doi 10 2307 2273006 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Konvergenzbeschleunigung amp oldid 216670621