www.wikidata.de-de.nina.az

Cesàro Mittel Als oder Cesàro Durchschnitte werden die zu einer gegebenen Zahlenfolge aus den ersten n displaystyle n Fo

Cesàro-Mittel

Als Cesàro-Mittel oder Cesàro-Durchschnitte werden die zu einer gegebenen Zahlenfolge aus den ersten Folgengliedern gebildeten arithmetischen Mittel bezeichnet. Wenn diese für wachsende konvergieren, spricht man von Cesàro-Konvergenz. Im Falle von Reihen (als Folgen von Partialsummen) spricht man auch von Cesàro-Summierbarkeit und bezeichnet den Grenzwert als Cesàro-Summe. Diese Begriffsbildung geht auf den italienischen Mathematiker Ernesto Cesàro zurück und ermöglicht eine Erweiterung des normalen Konvergenzbegriffs. Sie ist deswegen insbesondere in der Theorie der divergenten Reihen und der Fourier-Analysis von Bedeutung.

Definition Bearbeiten

Zu einer gegebenen Zahlenfolge bildet man die arithmetische Mittel über die ersten Folgenglieder, also

Man bezeichnet dann als das -te Cesàro-Mittel beziehungsweise die Folge als Folge der Cesàro-Mittel.

Konvergiert die Folge gegen einen Wert , so konvergiert nach dem Cauchyschen Grenzwertsatz auch die Folge der Cesàro-Mittel gegen , das heißt, aus folgt oder ausgeschrieben . Die Folge der Cesàro-Mittel kann jedoch auch konvergieren, ohne dass die Ausgangsfolge konvergiert.

Ein Beispiel hierfür ist die alternierende Folge , sie selbst ist divergent, aber die Folge ihrer Cesàro-Mittel konvergiert gegen 0.

Damit hat man eine Erweiterung des normalen Konvergenzbegriffes für Folgen und bezeichnet eine Folge dementsprechend als Cesàro-konvergent, wenn die Folge ihrer Cesàro-Mittel konvergiert.

Spezialfall Reihen Bearbeiten

Ein wichtiger Spezialfall ist die Anwendung der Cesàro-Mittel beziehungsweise der Cesàro-Konvergenz auf Reihen, das heißt auf die Folge der Partialsummen einer Reihe. Zu einer Folge sind die Partialsummen der Reihe definiert als:

Zu dieser Folge bildet man nun die Cesàro-Mittel . Konvergieren diese, das heißt , so bezeichnet man die Reihe Cesàro-konvergent, Cesàro-summierbar oder -summierbar zum Wert und schreibt . Den Grenzwert nennt man Cesàro-Summe und auch die Ausgangsfolge wird dann als Cesàro-summierbar oder -summierbar zum Wert bezeichnet.

Bildet man zu der obigen Beispielfolge mit die zugehörige Reihe , dann erhält erhält man die folgenden Partialsummen:

Die Cesàro-Mittel über die Folge dieser Partialsummen lauten dann:

Es gilt und damit . Diese Reihe wird auch als Grandi-Reihe bezeichnet.

Terminologie Bearbeiten

Viele Autoren definieren die Cesàro-Konvergenz nur für Reihen, das heißt, sie betrachten nur die Cesàro-Mittel der zugehörigen Partialsummen. Bezogen auf eine Reihe haben die Bezeichnungen Cesàro-konvergent, Cesàro-summierbar oder -summierbar die gleiche Bedeutung. Dies ist aber nicht der Fall, wenn man sich auf die Folge bezieht. Hier haben Cesàro-Konvergenz und Cesàro-Summierbarkeit eine unterschiedliche Bedeutung, denn die Konvergenz bezieht sich dann auf die Cesàro-Mittel der Folgenglieder, während sich die Summierbarkeit auf die Cesàro-Mittel der aus den Folgengliedern gebildeten Partialsummen bezieht und damit der Summierbarkeit beziehungsweise Konvergenz der zugehörigen Reihe entspricht.

Anwendungen Bearbeiten

Die Anwendung des Cesàro-Mittels auf den Dirichlet-Kern in der Fourier-Analysis führt zum Fejér-Kern und dem Satz von Fejér, der das Konvergenzverhalten von Fourier-Reihen beschreibt. In der Theorie der divergenten Reihen lässt sich mit Hilfe der Cesàro-Mittel bestimmten divergenten Reihen ein Grenzwert im Sinne der Cesàro-Konvergenz zuordnen.

Literatur Bearbeiten

  • Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 2. 5. Auflage, Teubner 1990, ISBN 3-519-42222-0, S. 155
  • Martin Barner, Friedrich Flohr: Analysis I. 3. Auflage, Walter de Gruyter 1987, ISBN 311-011517-4, S. 459
  • Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik: Band 1: A bis Ei. Springer, 2. Auflage, 2017, ISBN 9783662534984, S. 304
  • Douglas N. Clark: Dictionary of Analysis, Calculus, and Differential Equations. CRC Press, 1999, ISBN 9781420049992, S. 120
  • Carl L. DeVito: Harmonic Analysis: A Gentle Introduction. Jones & Bartlett, 2007, ISBN 9780763738938, S. 43
  • Godfrey Harold Hardy: Divergent Series. Clarendon Press, Oxford, 1949, S. 94–118, insbesondere S. 96

Weblinks Bearbeiten

wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Als Cesaro Mittel oder Cesaro Durchschnitte werden die zu einer gegebenen Zahlenfolge aus den ersten n displaystyle n Folgengliedern gebildeten arithmetischen Mittel bezeichnet Wenn diese fur wachsende n displaystyle n konvergieren spricht man von Cesaro Konvergenz Im Falle von Reihen als Folgen von Partialsummen spricht man auch von Cesaro Summierbarkeit und bezeichnet den Grenzwert als Cesaro Summe Diese Begriffsbildung geht auf den italienischen Mathematiker Ernesto Cesaro zuruck und ermoglicht eine Erweiterung des normalen Konvergenzbegriffs Sie ist deswegen insbesondere in der Theorie der divergenten Reihen und der Fourier Analysis von Bedeutung Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Spezialfall Reihen 3 Terminologie 4 Anwendungen 5 Literatur 6 WeblinksDefinition BearbeitenZu einer gegebenen Zahlenfolge a n n N displaystyle a n n in mathbb N nbsp bildet man die arithmetische Mittel uber die ersten n displaystyle n nbsp Folgenglieder also s 1 a 1 s 2 a 1 a 2 2 s 3 a 1 a 2 a 3 3 s n a 1 a n n displaystyle begin aligned sigma 1 amp a 1 sigma 2 amp frac a 1 a 2 2 sigma 3 amp frac a 1 a 2 a 3 3 amp vdots sigma n amp frac a 1 ldots a n n amp vdots end aligned nbsp Man bezeichnet s n displaystyle sigma n nbsp dann als das n displaystyle n nbsp te Cesaro Mittel beziehungsweise die Folge s n n N displaystyle sigma n n in mathbb N nbsp als Folge der Cesaro Mittel Konvergiert die Folge a n n N displaystyle a n n in mathbb N nbsp gegen einen Wert a displaystyle a nbsp so konvergiert nach dem Cauchyschen Grenzwertsatz auch die Folge der Cesaro Mittel s n n N displaystyle sigma n n in mathbb N nbsp gegen a displaystyle a nbsp das heisst aus a n a displaystyle a n rightarrow a nbsp folgt s n a displaystyle sigma n rightarrow a nbsp oder ausgeschrieben a 1 a n n a displaystyle tfrac a 1 ldots a n n rightarrow a nbsp Die Folge der Cesaro Mittel s n n N displaystyle sigma n n in mathbb N nbsp kann jedoch auch konvergieren ohne dass die Ausgangsfolge a n n N displaystyle a n n in mathbb N nbsp konvergiert Ein Beispiel hierfur ist die alternierende Folge 1 n 1 n N 1 1 1 1 displaystyle left 1 n 1 right n in mathbb N 1 1 1 1 ldots nbsp sie selbst ist divergent aber die Folge ihrer Cesaro Mittel s n n N 1 0 1 3 0 1 5 1 1 n 1 2 n n N displaystyle sigma n n in mathbb N 1 0 tfrac 1 3 0 tfrac 1 5 ldots left tfrac 1 1 n 1 2n right n in mathbb N nbsp konvergiert gegen 0 Damit hat man eine Erweiterung des normalen Konvergenzbegriffes fur Folgen und bezeichnet eine Folge dementsprechend als Cesaro konvergent wenn die Folge ihrer Cesaro Mittel konvergiert Spezialfall Reihen BearbeitenEin wichtiger Spezialfall ist die Anwendung der Cesaro Mittel beziehungsweise der Cesaro Konvergenz auf Reihen das heisst auf die Folge der Partialsummen einer Reihe Zu einer Folge a n n N displaystyle a n n in mathbb N nbsp sind die Partialsummen der Reihe a n displaystyle textstyle sum a n nbsp definiert als s 1 a 1 s 2 a 1 a 2 s 3 a 1 a 2 a 3 s n a 1 a n displaystyle begin aligned s 1 amp a 1 s 2 amp a 1 a 2 s 3 amp a 1 a 2 a 3 amp vdots s n amp a 1 ldots a n amp vdots end aligned nbsp Zu dieser Folge s n n N displaystyle s n n in mathbb N nbsp bildet man nun die Cesaro Mittel s n s 1 s n n displaystyle sigma n tfrac s 1 ldots s n n nbsp Konvergieren diese das heisst s n s displaystyle sigma n rightarrow sigma nbsp so bezeichnet man die Reihe a n displaystyle textstyle sum a n nbsp Cesaro konvergent Cesaro summierbar oder C 1 displaystyle C 1 nbsp summierbar zum Wert s displaystyle sigma nbsp und schreibt C n 1 a n s displaystyle C text sum n 1 infty a n sigma nbsp Den Grenzwert s displaystyle sigma nbsp nennt man Cesaro Summe und auch die Ausgangsfolge a n n N displaystyle a n n in mathbb N nbsp wird dann als Cesaro summierbar oder C 1 displaystyle C 1 nbsp summierbar zum Wert s displaystyle sigma nbsp bezeichnet Bildet man zu der obigen Beispielfolge a n n N displaystyle a n n in mathbb N nbsp mit a n 1 n 1 displaystyle a n 1 n 1 nbsp die zugehorige Reihe n 1 1 n 1 displaystyle sum n 1 infty 1 n 1 nbsp dann erhalt erhalt man die folgenden Partialsummen s 1 1 s 2 1 1 0 s 3 1 1 1 1 s 2 n k 1 2 n 1 k 1 0 s 2 n 1 k 1 2 n 1 1 k 1 1 displaystyle begin aligned s 1 amp 1 s 2 amp 1 1 0 s 3 amp 1 1 1 1 amp vdots s 2n amp sum k 1 2n 1 k 1 0 s 2n 1 amp sum k 1 2n 1 1 k 1 1 amp vdots end aligned nbsp Die Cesaro Mittel uber die Folge dieser Partialsummen lauten dann s 1 1 s 2 1 0 2 1 2 s 3 1 0 1 3 2 3 s 2 n 1 2 n k 1 2 n s k n 2 n 1 2 s 2 n 1 1 2 n 1 k 1 2 n 1 s k n 1 2 n 1 1 2 1 2 2 n 1 displaystyle begin aligned sigma 1 amp 1 sigma 2 amp tfrac 1 0 2 tfrac 1 2 sigma 3 amp tfrac 1 0 1 3 tfrac 2 3 amp vdots sigma 2n amp frac 1 2n sum k 1 2n s k tfrac n 2n tfrac 1 2 sigma 2n 1 amp frac 1 2n 1 sum k 1 2n 1 s k tfrac n 1 2n 1 tfrac 1 2 tfrac 1 2 cdot 2n 1 amp vdots end aligned nbsp Es gilt s n 1 2 displaystyle sigma n rightarrow tfrac 1 2 nbsp und damit C n 1 1 n 1 1 2 displaystyle C text sum n 1 infty 1 n 1 tfrac 1 2 nbsp Diese Reihe wird auch als Grandi Reihe bezeichnet Terminologie BearbeitenViele Autoren definieren die Cesaro Konvergenz nur fur Reihen das heisst sie betrachten nur die Cesaro Mittel der zugehorigen Partialsummen Bezogen auf eine Reihe a n displaystyle textstyle sum a n nbsp haben die Bezeichnungen Cesaro konvergent Cesaro summierbar oder C 1 displaystyle C 1 nbsp summierbar die gleiche Bedeutung Dies ist aber nicht der Fall wenn man sich auf die Folge a n n N displaystyle a n n in mathbb N nbsp bezieht Hier haben Cesaro Konvergenz und Cesaro Summierbarkeit eine unterschiedliche Bedeutung denn die Konvergenz bezieht sich dann auf die Cesaro Mittel der Folgenglieder wahrend sich die Summierbarkeit auf die Cesaro Mittel der aus den Folgengliedern gebildeten Partialsummen bezieht und damit der Summierbarkeit beziehungsweise Konvergenz der zugehorigen Reihe a n displaystyle textstyle sum a n nbsp entspricht Anwendungen BearbeitenDie Anwendung des Cesaro Mittels auf den Dirichlet Kern in der Fourier Analysis fuhrt zum Fejer Kern und dem Satz von Fejer der das Konvergenzverhalten von Fourier Reihen beschreibt In der Theorie der divergenten Reihen lasst sich mit Hilfe der Cesaro Mittel bestimmten divergenten Reihen ein Grenzwert im Sinne der Cesaro Konvergenz zuordnen Literatur BearbeitenHarro Heuser Lehrbuch der Analysis Teil 2 5 Auflage Teubner 1990 ISBN 3 519 42222 0 S 155 Martin Barner Friedrich Flohr Analysis I 3 Auflage Walter de Gruyter 1987 ISBN 311 011517 4 S 459 Guido Walz Hrsg Lexikon der Mathematik Band 1 A bis Ei Springer 2 Auflage 2017 ISBN 9783662534984 S 304 Douglas N Clark Dictionary of Analysis Calculus and Differential Equations CRC Press 1999 ISBN 9781420049992 S 120 Carl L DeVito Harmonic Analysis A Gentle Introduction Jones amp Bartlett 2007 ISBN 9780763738938 S 43 Godfrey Harold Hardy Divergent Series Clarendon Press Oxford 1949 S 94 118 insbesondere S 96Weblinks BearbeitenTimo Weidl Die Methode der arithmetischen Mittel nach Cesaro Teil eines Analysis II Skripts Uni Stuttgart Richard Hensh Infinite Series Vorlesungsmaterialen Michigan State University S 11 15 Cesaro Mittel auf SOS Math engl Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Cesaro Mittel amp oldid 228012528