Der Cauchysche Grenzwertsatz wurde erstmals von dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy formuliert. Er ist ein Spezialfall des allgemeineren Satzes von Cesàro–Stolz und besagt: Aus der Konvergenz einer Zahlenfolge folgt die Konvergenz der Cesàro-Mittel der Folge gegen denselben Grenzwert. Oder: aus folgt .
Verwandte Resultate und Erweiterungen Bearbeiten
Betrachtet man statt des gewöhnlichen arithmetischen Mittels ein gewichtetes Mittel, so folgt aus der Konvergenz der ursprünglichen Folge auch die Konvergenz der gewichteten Mittel, das heißt, es gilt der folgende Satz:
Sei eine beliebige Folge mit und eine Folge positiver Zahlen mit . Dann gilt auch: .
Für das geometrische Mittel gilt ebenfalls ein analoger Satz:
Sei eine Folge mit , . Dann gilt auch: .
Beweis des Cauchyschen Grenzwertsatzes Bearbeiten
Sei beliebig und so gewählt, dass ist für alle .
Wegen gibt es ein mit für .
Für alle folgt dann
Literatur Bearbeiten
- Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 1, 17-te Auflage, Vieweg + Teubner 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9, S. 176–179
- Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. Springer, 5. Auflage, Berlin 1964, S. 73–79 (online)
- Sen-Ming: Note on Cauchy's Limit Theorem. In: The American Mathematical Monthly, Band 57, Nr. 1 (Jan., 1950), S. 28–31 (JSTOR)
Weblinks Bearbeiten
Einzelnachweise Bearbeiten
- ↑ Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik - Band 1. Springer/Spektrum, 2-te Auflage 2017, S. 293 (online)
- ↑ Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 1, 17-te Auflage, Vieweg + Teubner 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9, S. 176-179