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Satz von Wolstenholme Der nach Joseph Wolstenholme ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie

Satz von Wolstenholme

Der Satz von Wolstenholme (nach Joseph Wolstenholme) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Er lautet:

Ist eine Primzahl, so hat die harmonische Zahl

einen durch teilbaren Zähler (in vollständig gekürzter und daher auch in jeder anderen Darstellung als Quotient zweier ganzer Zahlen).

Beispiele, andere Formulierungen, Folgerungen Bearbeiten

Zur Veranschaulichung einige Beispiele:

  • der Zähler ist durch teilbar.
  • der Zähler ist durch teilbar.

Der Satz von Wolstenholme ist äquivalent zu der Aussage, dass der Zähler von

durch teilbar ist.

Eine Folgerung aus dem Satz ist die Kongruenz

die auch in der Form

geschrieben werden kann.

Wolstenholme-Primzahlen Bearbeiten

Eine Wolstenholme-Primzahl p ist eine Primzahl, die eine stärkere Fassung des Satzes von Wolstenholme erfüllt, genauer: die eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

  • Der Zähler von
ist durch teilbar.
  • Der Zähler von
ist durch teilbar.
  • Es gilt die Kongruenz
  • Es gilt die Kongruenz

Die beiden bisher einzigen bekannten Wolstenholme-Primzahlen sind 16843 (Selfridge und Pollack 1964) und 2124679 (Buhler, Crandall, Ernvall und Metsänkylä 1993). Jede weitere Wolstenholme-Primzahl müsste größer als 109 sein. Es wurde die Vermutung aufgestellt, dass unendlich viele Wolstenholme-Primzahlen existieren, und zwar etwa unterhalb (McIntosh 1995).

Verwandter Begriff Bearbeiten

Betrachtet man nur Summanden mit ungeradem Nenner, also die Summe

für eine Primzahl , so ist der Zähler genau dann durch teilbar, wenn die stärkere Form

des Satzes von Euler-Fermat gilt. Derartige Primzahlen heißen Wieferich-Primzahlen.

Geschichte Bearbeiten

Aus dem Satz von Wilson folgt die Kongruenz

für jede Primzahl und jede natürliche Zahl

Charles Babbage bewies 1819 die Kongruenz

für jede Primzahl

Joseph Wolstenholme bewies 1862 die Kongruenz

für jede Primzahl

Literatur Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ J. Wolstenholme: On certain properties of prime numbers. In: The quarterly journal of pure and applied mathematics 5. 1862, S. 35–39 (englisch).
  2. Hardy, Wright: An introduction to the theory of numbers. 2008, S. 112 (englisch; Theorem 115).
  3. Hardy, Wright: An introduction to the theory of numbers. 2008, S. 114 (englisch; Theorem 117).
  4. Anthony Gardiner: Four problems on prime power divisibility. In: The American Mathematical Monthly 95. Dezember 1988, S. 926–931 (englisch).
  5. J. L. Selfridge, B. W. Pollack: Fermat’s last theorem is true for any exponent up to 25,000. In: Notices of the AMS 11. 1964, S. 97 (englisch; nur Zusammenfassung; 16843 nicht ausdrücklich angegeben).
  6. J. Buhler, R. Crandall, R. Ernvall, T. Metsänkylä: Irregular primes and cyclotomic invariants to four million. In: Mathematics of Computation 61. Juli 1993, S. 151–153 (englisch).
  7. Richard J. McIntosh, Eric L. Roettger: A search for Fibonacci-Wieferich and Wolstenholme primes. (PDF; 151 kB). In: Mathematics of Computation, 76, Oktober 2007, S. 2087–2094 (englisch).
  8. Richard J. McIntosh: On the converse of Wolstenholme’s theorem. (PDF; 190 kB). In: Acta Arithmetica, 71, 1995, S. 381–389 (englisch).
  9. Hardy, Wright: An introduction to the theory of numbers. 2008, S. 135 (englisch; Theorem 132).
  10. Charles Babbage: Demonstration of a theorem relating to prime numbers. In: The Edinburgh philosophical journal 1. 1819, S. 46–49 (englisch; „n+1.n+2.n+3...“ bedeutet „(n+1)(n+2)(n+3)…“; die Umkehrung wird auch behauptet: „otherwise it is not“, aber nicht bewiesen und ist falsch für Quadrate von Wolstenholme-Primzahlen).
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Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Wolstenholme nach Joseph Wolstenholme ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie Er lautet Ist p 5 displaystyle p geq 5 eine Primzahl so hat die harmonische Zahl H p 1 1 1 2 1 3 1 4 1 p 1 displaystyle H p 1 1 frac 1 2 frac 1 3 frac 1 4 ldots frac 1 p 1 einen durch p 2 displaystyle p 2 teilbaren Zahler in vollstandig gekurzter und daher auch in jeder anderen Darstellung als Quotient zweier ganzer Zahlen 1 2 Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele andere Formulierungen Folgerungen 2 Wolstenholme Primzahlen 2 1 Verwandter Begriff 3 Geschichte 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseBeispiele andere Formulierungen Folgerungen BearbeitenZur Veranschaulichung einige Beispiele p 7 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 49 20 displaystyle p 7 text quad 1 tfrac 1 2 tfrac 1 3 tfrac 1 4 tfrac 1 5 tfrac 1 6 tfrac 49 20 nbsp der Zahler 49 1 7 2 displaystyle 49 1 cdot 7 2 nbsp ist durch 7 2 displaystyle 7 2 nbsp teilbar p 13 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10 1 11 1 12 86021 27720 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1 nbsp dd ist durch p 3 displaystyle p 3 nbsp teilbar Der Zahler von1 1 2 2 1 3 2 1 p 1 2 displaystyle 1 frac 1 2 2 frac 1 3 2 dots frac 1 p 1 2 nbsp dd ist durch p 2 displaystyle p 2 nbsp teilbar Es gilt die Kongruenz 2 p p 2 mod p 4 displaystyle binom 2p p equiv 2 mod p 4 nbsp dd Es gilt die Kongruenz 2 p 1 p 1 1 mod p 4 displaystyle binom 2p 1 p 1 equiv 1 mod p 4 nbsp dd Der Zahler der Bernoulli Zahl B p 3 displaystyle B p 3 nbsp ist durch p displaystyle p nbsp teilbar Die beiden bisher einzigen bekannten Wolstenholme Primzahlen sind 16843 Selfridge und Pollack 1964 5 und 2124679 Buhler Crandall Ernvall und Metsankyla 1993 6 Jede weitere Wolstenholme Primzahl musste grosser als 109 sein 7 Es wurde die Vermutung aufgestellt dass unendlich viele Wolstenholme Primzahlen existieren und zwar etwa log log x displaystyle log log x nbsp unterhalb x displaystyle x nbsp McIntosh 1995 8 Verwandter Begriff Bearbeiten Betrachtet man nur Summanden mit ungeradem Nenner also die Summe 1 1 3 1 5 1 p 2 displaystyle 1 frac 1 3 frac 1 5 dots frac 1 p 2 nbsp fur eine Primzahl p 3 displaystyle p geq 3 nbsp so ist der Zahler genau dann durch p displaystyle p nbsp teilbar wenn die starkere Form 2 p 1 1 mod p 2 displaystyle 2 p 1 equiv 1 mod p 2 nbsp des Satzes von Euler Fermat gilt 9 Derartige Primzahlen heissen Wieferich Primzahlen Geschichte BearbeitenAus dem Satz von Wilson folgt die Kongruenz n p 1 p 1 1 mod p displaystyle binom np 1 p 1 equiv 1 pmod p nbsp fur jede Primzahl p displaystyle p nbsp und jede naturliche Zahl n displaystyle n nbsp Charles Babbage bewies 1819 10 die Kongruenz 2 p 1 p 1 1 mod p 2 displaystyle binom 2p 1 p 1 equiv 1 pmod p 2 nbsp fur jede Primzahl p gt 2 displaystyle p gt 2 nbsp Joseph Wolstenholme bewies 1862 1 die Kongruenz 2 p 1 p 1 1 mod p 3 displaystyle binom 2p 1 p 1 equiv 1 pmod p 3 nbsp fur jede Primzahl p gt 3 displaystyle p gt 3 nbsp Literatur BearbeitenG H Hardy E M Wright An introduction to the theory of numbers 6 Auflage Oxford University Press Oxford 2008 ISBN 978 0 19 921985 8 englisch revidiert von D R Heath Brown und J H Silverman Weblinks BearbeitenThe Prime Glossary Wolstenholme prime englisch Eric W Weisstein Wolstenholme s Theorem In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten a b J Wolstenholme On certain properties of prime numbers In The quarterly journal of pure and applied mathematics 5 1862 S 35 39 englisch Hardy Wright An introduction to the theory of numbers 2008 S 112 englisch Theorem 115 Hardy Wright An introduction to the theory of numbers 2008 S 114 englisch Theorem 117 Anthony Gardiner Four problems on prime power divisibility In The American Mathematical Monthly 95 Dezember 1988 S 926 931 englisch J L Selfridge B W Pollack Fermat s last theorem is true for any exponent up to 25 000 In Notices of the AMS 11 1964 S 97 englisch nur Zusammenfassung 16843 nicht ausdrucklich angegeben J Buhler R Crandall R Ernvall T Metsankyla Irregular primes and cyclotomic invariants to four million In Mathematics of Computation 61 Juli 1993 S 151 153 englisch Richard J McIntosh Eric L Roettger A search for Fibonacci Wieferich and Wolstenholme primes PDF 151 kB In Mathematics of Computation 76 Oktober 2007 S 2087 2094 englisch Richard J McIntosh On the converse of Wolstenholme s theorem PDF 190 kB In Acta Arithmetica 71 1995 S 381 389 englisch Hardy Wright An introduction to the theory of numbers 2008 S 135 englisch Theorem 132 Charles Babbage Demonstration of a theorem relating to prime numbers In The Edinburgh philosophical journal 1 1819 S 46 49 englisch n 1 n 2 n 3 bedeutet n 1 n 2 n 3 die Umkehrung wird auch behauptet otherwise it is not aber nicht bewiesen und ist falsch fur Quadrate von Wolstenholme Primzahlen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Wolstenholme amp oldid 192971813