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Wieferich Primzahl Eine ist eine Primzahl p displaystyle p mit der Eigenschaft dass 2 p 1 1 displaystyle 2 p 1 1 durch p

Wieferich-Primzahl

Eine Wieferich-Primzahl ist eine Primzahl mit der Eigenschaft, dass durch teilbar ist.

Alternativ kann man dies auch als Kongruenz schreiben:

Solche Primzahlen wurden 1909 von dem deutschen Mathematiker Arthur Wieferich erstmals beschrieben.

Bekannte Wieferich-Primzahlen Bearbeiten

Man kennt bisher nur zwei Wieferich-Primzahlen, nämlich 1093 (Waldemar Meißner 1913) und 3511 (Beeger 1922). Mit Computerhilfe wurden bis November 2008 alle Zahlen bis 6,7 × 1015 untersucht, weitere Wieferich-Primzahlen fand man dabei nicht. Es ist nicht bekannt, ob es unendlich viele Wieferich-Primzahlen gibt. Es besteht sowohl die Vermutung, dass dies nicht der Fall ist, als auch die gegenteilige, genauer: dass zwischen und etwa Wieferich-Primzahlen liegen. Es ist sogar noch offen, ob es unendlich viele Primzahlen gibt, die keine Wieferich-Primzahlen sind. Joseph Silverman zeigte dies 1988 unter Annahme der abc-Vermutung.

Verwandtschaft mit dem großen Fermatschen Satz Bearbeiten

Wieferich beschäftigte sich mit dem großen Fermatschen Satz. 1909 veröffentlichte er als Ergebnis den Satz:

Wenn , wobei und ganze Zahlen sind, eine Primzahl ist und das Produkt nicht teilbar durch , dann ist eine Wieferich-Primzahl, also durch teilbar.

1910 zeigte Dmitry Mirimanoff, dass dann auch durch teilbar ist. Die einzigen bekannten Primzahlen, die diese Bedingung erfüllen, sind und (Kloss 1965).

Aus dem 1995 bewiesenen großen Fermatschen Satz folgt, dass die Voraussetzungen des Satzes von Wieferich nicht erfüllt werden können.

Eigenschaften von Wieferich-Primzahlen Bearbeiten

  • Aus der Wieferich-Primzahl kann die Mersenne-Zahl als Produkt konstruiert werden.
  • Offen ist die Frage, ob es Mersenne-Zahlen (mit primen Exponenten ) gibt, die durch teilbar sind. Dabei muss ein Teiler von sein, wenn durch teilbar sein soll.
Dass Mersenne-Zahlen quadratfrei sind, scheint bisher nur ein empirisches Resultat zu sein. Mathworld formuliert bspw. "Alle bekannten Mersenne Zahlen sind quadratfrei. Allerdings vermutet GUY (1994), dass es Mersenne-Zahlen gibt, die nicht quadratfrei sind".
  • Unterschied zu anderen Basen als 2: für andere Basen als 2 und die entsprechenden Äquivalente zu Mersenne- und Wieferichzahlen trifft dies nicht zu.
  • Für eine Wieferich-Primzahl gilt:
  • Mit tritt stets gleichzeitig auf.

Literatur Bearbeiten

  • Paulo Ribenboim: Die Welt der Primzahlen. Geheimnisse und Rekorde. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-34283-4 (Springer-Lehrbuch; aktualisierte Übersetzung von The little book of bigger primes. Springer, New York 2004)

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Arthur Wieferich: Zum letzten Fermatschen Theorem. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik, 136, 1909, S. 293–302
  2. Waldemar Meißner: Über die Teilbarkeit von 2p−2 durch das Quadrat der Primzahl p=1093. In: Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften, 10. Juli 1913, S. 663–667
  3. N. G. W. H. Beeger: On a new case of the congruence 2p−1 ≡ 1 (mod p2). In: Messenger of Mathematics, 51, 1922, S. 149–150 (englisch) Textarchiv – Internet Archive
  4. François G. Dorais, Dominic W. Klyve: A Wieferich prime search up to 6.7 × 1015. In: Journal of Integer Sequences, 14, 16. Oktober 2011, Artikel 11.9.2 (englisch)
  5. Wieferich prime. bei den Prime Pages von Chris K. Caldwell (englisch)
  6. Richard Crandall, Karl Dilcher, Carl Pomerance: A search for Wieferich and Wilson primes. In: Mathematics of Computation, 66, Januar 1997, S. 433–449 (englisch)
  7. Joseph H. Silverman: Wieferich’s criterion and the abc-conjecture. In: Journal of Number Theory, 30, Oktober 1988, S. 226–237 (englisch)
  8. D. Mirimanoff: Sur le dernier théorème de Fermat. In: Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’académie des sciences, 150, 1910, S. 204–206, Textarchiv – Internet Archive; erweiterte Version: Sur le dernier théorème de Fermat. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik, 139, 1911, S. 309–324 (französisch)
  9. K. E. Kloss: Some number-theoretic calculations. In: Journal of Research of the National Bureau of Standards, 69B, Oktober–Dezember 1965, S. 335–336 (englisch; Zentralblatt-Rezension)
  10. Eric W. Weisstein: Mersenne Number. In: MathWorld (englisch).
Primzahl­mengen


formelbasiert

Carol ((2n − 1)2 − 2) | Doppelte Mersenne (22p − 1 − 1) | Fakultät (n! ± 1) | Fermat (22n + 1) | Kubisch (x3 − y3)/(x − y) | Kynea ((2n + 1)2 − 2) | Leyland (xy + yx) | Mersenne (2p − 1) | Mills (A3n) | Pierpont (2u⋅3v + 1) | Primorial (pn# ± 1) | Proth (k⋅2n + 1) | Pythagoreisch (4n + 1) | Quartisch (x4 + y4) | Thabit (3⋅2n − 1) | Wagstaff ((2p + 1)/3) | Williams ((b-1)⋅bn − 1) | Woodall (n⋅2n − 1)

Primzahlfolgen

Bell | Fibonacci | Lucas | Motzkin | Pell | Perrin

eigenschaftsbasiert

Elitär | Fortunate | Gut | Glücklich | Higgs | Hochkototient | Isoliert | Pillai | Ramanujan | Regulär | Stark | Stern | Wall–Sun–Sun | Wieferich | Wilson

basis­abhängig

Belphegor | Champernowne | Dihedral | Einzigartig | Fröhlich | Keith | Lange | Minimal | Mirp | Permutierbar | Primeval | Palindrom | Repunit-Primzahl ((10n − 1)/9) | Schwach | Smarandache–Wellin | Strobogrammatisch | Tetradisch | Trunkierbar | Zirkular

basierend auf Tupel

Ausbalanciert (p − n, p, p + n) | Chen | Cousin (p, p + 4) | Cunningham (p, 2p ± 1, …) | Drilling (p, p + 2 oder p + 4, p + 6) | Konstellation | Sexy (p, p + 6) | Sichere (p, (p − 1)/2) | Sophie Germain (p, 2p + 1) | Vierling (p, p + 2, p + 6, p + 8) | Zwilling (p, p + 2) | Zwillings-Bi-Kette (n ± 1, 2n ± 1, …)

nach Größe

Titanisch (1.000+ Stellen) | Gigantisch (10.000+ Stellen) | Mega (1.000.000+ Stellen) | Beva (1.000.000.000+ Stellen)

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Eine Wieferich Primzahl ist eine Primzahl p displaystyle p mit der Eigenschaft dass 2 p 1 1 displaystyle 2 p 1 1 durch p 2 displaystyle p 2 teilbar ist Alternativ kann man dies auch als Kongruenz schreiben 2 p 1 1 mod p 2 displaystyle 2 p 1 equiv 1 pmod p 2 Solche Primzahlen wurden 1909 von dem deutschen Mathematiker Arthur Wieferich erstmals beschrieben 1 Inhaltsverzeichnis 1 Bekannte Wieferich Primzahlen 2 Verwandtschaft mit dem grossen Fermatschen Satz 3 Eigenschaften von Wieferich Primzahlen 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseBekannte Wieferich Primzahlen BearbeitenMan kennt bisher nur zwei Wieferich Primzahlen namlich 1093 Waldemar Meissner 1913 2 und 3511 Beeger 1922 3 Mit Computerhilfe wurden bis November 2008 alle Zahlen bis 6 7 1015 untersucht weitere Wieferich Primzahlen fand man dabei nicht 4 Es ist nicht bekannt ob es unendlich viele Wieferich Primzahlen gibt Es besteht sowohl die Vermutung dass dies nicht der Fall ist 5 als auch die gegenteilige genauer dass zwischen x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp etwa log log y log x displaystyle log log y log x nbsp Wieferich Primzahlen liegen 6 Es ist sogar noch offen ob es unendlich viele Primzahlen gibt die keine Wieferich Primzahlen sind Joseph Silverman zeigte dies 1988 unter Annahme der abc Vermutung 7 Verwandtschaft mit dem grossen Fermatschen Satz BearbeitenWieferich beschaftigte sich mit dem grossen Fermatschen Satz 1909 veroffentlichte er als Ergebnis den Satz 1 Wenn x p y p z p 0 displaystyle x p y p z p 0 nbsp wobei x y displaystyle x y nbsp und z displaystyle z nbsp ganze Zahlen sind p displaystyle p nbsp eine Primzahl ist und das Produkt x y z displaystyle xyz nbsp nicht teilbar durch p displaystyle p nbsp dann ist p displaystyle p nbsp eine Wieferich Primzahl also 2 p 1 1 displaystyle 2 p 1 1 nbsp durch p 2 displaystyle p 2 nbsp teilbar 1910 zeigte Dmitry Mirimanoff dass dann auch 3 p 1 1 displaystyle 3 p 1 1 nbsp durch p 2 displaystyle p 2 nbsp teilbar ist 8 Die einzigen bekannten Primzahlen die diese Bedingung erfullen sind p 11 displaystyle p 11 nbsp und p 1006003 displaystyle p 1006003 nbsp Kloss 1965 9 Aus dem 1995 bewiesenen grossen Fermatschen Satz folgt dass die Voraussetzungen des Satzes von Wieferich nicht erfullt werden konnen Eigenschaften von Wieferich Primzahlen BearbeitenAus der Wieferich Primzahl w displaystyle w nbsp kann die Mersenne Zahl M n M w 1 2 w 1 1 displaystyle M n M w 1 2 w 1 1 nbsp als Produkt M w 1 k w 2 displaystyle M w 1 kw 2 nbsp konstruiert werden n w 1 displaystyle n w 1 nbsp ist somit trivialerweise da n displaystyle n nbsp geradzahlig nicht prim und M n displaystyle M n nbsp keine Mersenne Primzahl Offen ist die Frage ob es Mersenne Zahlen M p lt M w 1 displaystyle M p lt M w 1 nbsp mit primen Exponenten p displaystyle p nbsp gibt die durch w 2 displaystyle w 2 nbsp teilbar sind Dabei muss p displaystyle p nbsp ein Teiler von w 1 displaystyle w 1 nbsp sein wenn M p displaystyle M p nbsp durch w displaystyle w nbsp teilbar sein soll Dieser Sachverhalt kann mit gruppentheoretischen Begriffen ausgedruckt werden Da w 1 displaystyle w 1 nbsp nicht prim ist handelt es sich bei 2 w 1 1 displaystyle 2 w 1 1 nbsp nicht um eine mersennesche Zahl Es musste also eine mersennesche Zahl 2 p 1 displaystyle 2 p 1 nbsp mit p w 1 x displaystyle p frac w 1 x nbsp geben die durch w 2 displaystyle w 2 nbsp teilbar ist d h dass die Lange g w displaystyle g w nbsp der multiplikativen zyklischen Subgruppe von w displaystyle w nbsp zur Basis 2 prim sein musste Es sind aber empirisch die Gruppenordnungen der einzigen bekannten Wieferichprimzahlen g 1093 364 4 7 13 displaystyle g 1093 364 4 cdot 7 cdot 13 nbsp und g 3511 1755 3 3 5 13 displaystyle g 3511 1755 3 3 cdot 5 cdot 13 nbsp nicht prim dd Dass Mersenne Zahlen quadratfrei sind scheint bisher nur ein empirisches Resultat zu sein Mathworld formuliert bspw Alle bekannten Mersenne Zahlen 2 p 1 displaystyle 2 p 1 nbsp sind quadratfrei Allerdings vermutet GUY 1994 dass es Mersenne Zahlen gibt die nicht quadratfrei sind 10 Unterschied zu anderen Basen als 2 fur andere Basen als 2 und die entsprechenden Aquivalente zu Mersenne und Wieferichzahlen trifft dies nicht zu Bspw ist zur Basis 3 mit 3 5 1 3 1 11 2 displaystyle frac 3 5 1 3 1 11 2 nbsp die Bedingung w 2 displaystyle w 2 nbsp teilt 3 p 1 displaystyle 3 p 1 nbsp mit w p displaystyle w p nbsp prim erfullt Zur Basis 2819 tritt w 19 displaystyle w 19 nbsp bei 2819 3 1 x 19 4 displaystyle 2819 3 1 x cdot 19 4 nbsp das Wieferich analog w 19 displaystyle w 19 nbsp sogar zur Potenz 4 auf Die Quadratfreiheit von Mersenne Zahlen zur Basis 2 muss demnach eine besondere Eigenschaft der Basis 2 und moglicherweise weiterer Basen sein falls sie generell zutreffen sollte Fur eine Wieferich Primzahl p displaystyle p nbsp gilt 2 p 2 2 mod p 2 displaystyle 2 p 2 equiv 2 pmod p 2 nbsp Mit 2 n 1 mod p displaystyle 2 n equiv 1 pmod p nbsp tritt stets gleichzeitig 2 n 1 mod p 2 displaystyle 2 n equiv 1 pmod p 2 nbsp auf Literatur BearbeitenPaulo Ribenboim Die Welt der Primzahlen Geheimnisse und Rekorde Springer Berlin u a 2006 ISBN 3 540 34283 4 Springer Lehrbuch aktualisierte Ubersetzung von The little book of bigger primes Springer New York 2004 Weblinks BearbeitenWieferich Home search for Wieferich prime englisch Eric W Weisstein Wieferich Prime In MathWorld englisch Wieferich prime bei den Prime Pages von Chris K Caldwell englisch Einzelnachweise Bearbeiten a b Arthur Wieferich Zum letzten Fermatschen Theorem In Journal fur die reine und angewandte Mathematik 136 1909 S 293 302 Waldemar Meissner Uber die Teilbarkeit von 2p 2 durch das Quadrat der Primzahl p 1093 In Sitzungsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften 10 Juli 1913 S 663 667 N G W H Beeger On a new case of the congruence 2p 1 1 mod p2 In Messenger of Mathematics 51 1922 S 149 150 englisch Textarchiv Internet Archive Francois G Dorais Dominic W Klyve A Wieferich prime search up to 6 7 1015 In Journal of Integer Sequences 14 16 Oktober 2011 Artikel 11 9 2 englisch Wieferich prime bei den Prime Pages von Chris K Caldwell englisch Richard Crandall Karl Dilcher Carl Pomerance A search for Wieferich and Wilson primes In Mathematics of Computation 66 Januar 1997 S 433 449 englisch Joseph H Silverman Wieferich s criterion and the abc conjecture In Journal of Number Theory 30 Oktober 1988 S 226 237 englisch D Mirimanoff Sur le dernier theoreme de Fermat In Comptes rendus hebdomadaires des seances de l academie des sciences 150 1910 S 204 206 Textarchiv Internet Archive erweiterte Version Sur le dernier theoreme de Fermat In Journal fur die reine und angewandte Mathematik 139 1911 S 309 324 franzosisch K E Kloss Some number theoretic calculations In Journal of Research of the National Bureau of Standards 69B Oktober Dezember 1965 S 335 336 englisch Zentralblatt Rezension Eric W Weisstein Mersenne Number In MathWorld englisch V DPrimzahl mengenformelbasiert Carol 2n 1 2 2 Doppelte Mersenne 22p 1 1 Fakultat n 1 Fermat 22n 1 Kubisch x3 y3 x y Kynea 2n 1 2 2 Leyland xy yx Mersenne 2p 1 Mills A3n Pierpont 2u 3v 1 Primorial pn 1 Proth k 2n 1 Pythagoreisch 4n 1 Quartisch x4 y4 Thabit 3 2n 1 Wagstaff 2p 1 3 Williams b 1 bn 1 Woodall n 2n 1 Primzahlfolgen Bell Fibonacci Lucas Motzkin Pell Perrineigenschaftsbasiert Elitar Fortunate Gut Glucklich Higgs Hochkototient Isoliert Pillai Ramanujan Regular Stark Stern Wall Sun Sun Wieferich Wilsonbasis abhangig Belphegor Champernowne Dihedral Einzigartig Frohlich Keith Lange Minimal Mirp Permutierbar Primeval Palindrom Repunit Primzahl 10n 1 9 Schwach Smarandache Wellin Strobogrammatisch Tetradisch Trunkierbar Zirkularbasierend auf Tupel Ausbalanciert p n p p n Chen Cousin p p 4 Cunningham p 2p 1 Drilling p p 2 oder p 4 p 6 Konstellation Sexy p p 6 Sichere p p 1 2 Sophie Germain p 2p 1 Vierling p p 2 p 6 p 8 Zwilling p p 2 Zwillings Bi Kette n 1 2n 1 nach Grosse Titanisch 1 000 Stellen Gigantisch 10 000 Stellen Mega 1 000 000 Stellen Beva 1 000 000 000 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