In der Zahlentheorie wird eine Primzahl p displaystyle p elitar genannt wenn nur endlich viele Fermat Zahlen F n 2 2 n 1 displaystyle F n 2 2 n 1 quadratische Reste modulo p displaystyle p sind Ihren Namen verdanken sie dem osterreichischen Mathematiker Alexander Aigner der sie 1986 beschrieb und als erster untersuchte 1 Aigner nannte diese Primzahlen elitar da sie nur sehr selten auftauchen er selbst fand lediglich 14 solche Primzahlen die kleiner als 35 000 000 sind Da Fermat Zahlen die Beziehung F n 1 F n 1 2 1 displaystyle F n 1 F n 1 2 1 erfullen wird die Kongruenzfolge F n displaystyle F n mod p displaystyle p ab einem bestimmten Index s displaystyle s periodisch d h es existiert eine minimale naturliche Zahl L displaystyle L derart dass F s k L F s k displaystyle F s k L equiv F s k mod p displaystyle p fur alle naturlichen Zahlen k displaystyle k gilt Die Terme F s F s 1 F s L 1 displaystyle F s F s 1 ldots F s L 1 werden als Fermat Reste von p displaystyle p bezeichnet Demnach ist eine Primzahl p displaystyle p genau dann elitar wenn alle Fermat Reste quadratische Nichtreste modulo p displaystyle p sind Die ersten elitaren Primzahlen sind 3 5 7 41 15 361 23 041 26 881 61 441 87 041 163 841 Folge A102742 in OEIS Es ist unbekannt ob es unendlich viele elitare Primzahlen gibt Es konnte jedoch nachgewiesen werden dass die Anzahl C x displaystyle C x aller elitarer Primzahlen x displaystyle leq x die Abschatzung C x O x ln 2 x displaystyle C x O left frac x ln 2 x right erfullt 2 Einzelnachweise Bearbeiten A Aigner Uber Primzahlen nach denen fast alle Fermatzahlen quadratische Nichtreste sind In Monatshefte Mathematik 101 1986 S 85 93 Krizek et al On the convergence of series of reciprocals of prims related to the Fermat numbers In Journal of Number Theory 97 2002 S 95 112 Weblinks BearbeitenAlain Chaumont Tom Muller All Elite Primes Up to 250 Billion In Journal of Integer Sequences Band 9 Nr 06 3 8 2006 cs uwaterloo ca PDF V DPrimzahl mengenformelbasiert Carol 2n 1 2 2 Doppelte Mersenne 22p 1 1 Fakultat n 1 Fermat 22n 1 Kubisch x3 y3 x y Kynea 2n 1 2 2 Leyland xy yx Mersenne 2p 1 Mills A3n Pierpont 2u 3v 1 Primorial pn 1 Proth k 2n 1 Pythagoreisch 4n 1 Quartisch x4 y4 Thabit 3 2n 1 Wagstaff 2p 1 3 Williams b 1 bn 1 Woodall n 2n 1 Primzahlfolgen Bell Fibonacci Lucas Motzkin Pell Perrineigenschaftsbasiert Elitar Fortunate Gut Glucklich Higgs Hochkototient Isoliert Pillai Ramanujan Regular Stark Stern Wall Sun Sun Wieferich Wilsonbasis abhangig Belphegor Champernowne Dihedral Einzigartig Frohlich Keith Lange Minimal Mirp Permutierbar Primeval Palindrom Repunit Primzahl 10n 1 9 Schwach Smarandache Wellin Strobogrammatisch Tetradisch Trunkierbar Zirkularbasierend auf Tupel Ausbalanciert p n p p n Chen Cousin p p 4 Cunningham p 2p 1 Drilling p p 2 oder p 4 p 6 Konstellation Sexy p p 6 Sichere p p 1 2 Sophie Germain p 2p 1 Vierling p p 2 p 6 p 8 Zwilling p p 2 Zwillings Bi Kette n 1 2n 1 nach Grosse Titanisch 1 000 Stellen Gigantisch 10 000 Stellen Mega 1 000 000 Stellen Beva 1 000 000 000 Stellen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Elitare Primzahl amp oldid 237737052
