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Glückliche Zahl en sind natürliche Zahlen die mit einem bestimmten Siebprinzip erzeugt werden Das Siebprinzip ähnelt dem

Glückliche Zahl

Glückliche Zahlen sind natürliche Zahlen, die mit einem bestimmten Siebprinzip erzeugt werden. Das Siebprinzip ähnelt dem Sieb des Eratosthenes zur Bestimmung von Primzahlen. Sie wurden erstmals von den Mathematikern Gardiner, Lazarus, Metropolis und Ulam im Jahr 1956 erwähnt. Das Siebprinzip nennen sie Sieb von Josephus Flavius, weil es sehr an das Josephus-Problem erinnert.

Definition Bearbeiten

Man beginnt mit einer Liste der positiven natürlichen Zahlen. Dann geht man die Zahlen der Liste durch, beginnend mit , und streicht jeweils jede x-te Zahl. Im Unterschied zum Sieb des Eratosthenes werden beim Abzählen der zu streichenden Zahlen die schon gestrichenen nicht mitgezählt, sondern nur die noch in der Liste stehenden. Auch beim Durchgehen der Liste, um das nächste x zu erhalten, werden die gestrichenen übergangen.

Erläuterung Bearbeiten

Diese Animation zeigt das Siebprinzip, mit dem man glückliche Zahlen erhält. Die roten übrig gebliebenen Zahlen sind die glücklichen Zahlen.

Im ersten Schritt streicht man jede zweite Zahl und damit alle geraden Zahlen.

Im zweiten Schritt ist die auf Zwei folgende Zahl in der Liste , und es wird jede dritte gestrichen:

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
21 23 25 27 29 31 33 35 37 39
41 43 45 47 49 51 53 55 57 59
61 63 65 67 69 71 73 75 77 79
81 83 85 87 89 91 93 95 97 99

Im dritten Schritt ist die auf Drei folgende Zahl , und es wird jede siebte gestrichen:

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
21 23 25 27 29 31 33 35 37 39
41 43 45 47 49 51 53 55 57 59
61 63 65 67 69 71 73 75 77 79
81 83 85 87 89 91 93 95 97 99

Nach der Sieben folgt die Zahl , und jede neunte wird gestrichen:

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
21 23 25 27 29 31 33 35 37 39
41 43 45 47 49 51 53 55 57 59
61 63 65 67 69 71 73 75 77 79
81 83 85 87 89 91 93 95 97 99

Dann streicht man jede 13., und so weiter. Daraus ergibt sich die Folge der glücklichen Zahlen als all die Zahlen, die nie gestrichen werden:

  • 1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, … (Folge A000959 in OEIS)

Eigenschaften Bearbeiten

  • Es gibt unendlich viele glückliche Zahlen.
  • Sei die -te glückliche Zahl und die -te Primzahl. Dann gilt:
Mit anderen Worten: ab einem gewissen Index ist die -te glückliche Zahl immer größer als die -te Primzahl.

Glückliche Primzahlen Bearbeiten

Primzahlen , die glückliche Zahlen sind, nennt man glückliche Primzahlen. Die glücklichen Primzahlen, welche kleiner als 1000 sind, lauten:

Es ist unbekannt, ob es unendlich viele glückliche Primzahlen gibt. Es gibt auch eine zur Goldbachschen analoge Vermutung.

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Verna Gardiner, Roger B. Lazarus, Nicholas Metropolis, Stanisław Marcin Ulam: On certain sequences of integers defined by sieves. In: Mathematics Magazine. 29. Jahrgang, Nr. 3, 1956, ISSN 0025-570X, S. 117–122, doi:10.2307/3029719.
  2. ↑ D. Hawkins, William Egbert Briggs: The lucky number theorem. In: Mathematics Magazine. 31. Jahrgang, Nr. 2, 1957, ISSN 0025-570X, S. 81–84,277–280, doi:10.2307/3029213.
Primzahl­mengen


formelbasiert

Carol ((2n − 1)2 − 2) | Doppelte Mersenne (22p − 1 − 1) | Fakultät (n! ± 1) | Fermat (22n + 1) | Kubisch (x3 − y3)/(x − y) | Kynea ((2n + 1)2 − 2) | Leyland (xy + yx) | Mersenne (2p − 1) | Mills (A3n) | Pierpont (2u⋅3v + 1) | Primorial (pn# ± 1) | Proth (k⋅2n + 1) | Pythagoreisch (4n + 1) | Quartisch (x4 + y4) | Thabit (3⋅2n − 1) | Wagstaff ((2p + 1)/3) | Williams ((b-1)⋅bn − 1) | Woodall (n⋅2n − 1)

Primzahlfolgen

Bell | Fibonacci | Lucas | Motzkin | Pell | Perrin

eigenschaftsbasiert

Elitär | Fortunate | Gut | Glücklich | Higgs | Hochkototient | Isoliert | Pillai | Ramanujan | Regulär | Stark | Stern | Wall–Sun–Sun | Wieferich | Wilson

basis­abhängig

Belphegor | Champernowne | Dihedral | Einzigartig | Fröhlich | Keith | Lange | Minimal | Mirp | Permutierbar | Primeval | Palindrom | Repunit-Primzahl ((10n − 1)/9) | Schwach | Smarandache–Wellin | Strobogrammatisch | Tetradisch | Trunkierbar | Zirkular

basierend auf Tupel

Ausbalanciert (p − n, p, p + n) | Chen | Cousin (p, p + 4) | Cunningham (p, 2p ± 1, …) | Drilling (p, p + 2 oder p + 4, p + 6) | Konstellation | Sexy (p, p + 6) | Sichere (p, (p − 1)/2) | Sophie Germain (p, 2p + 1) | Vierling (p, p + 2, p + 6, p + 8) | Zwilling (p, p + 2) | Zwillings-Bi-Kette (n ± 1, 2n ± 1, …)

nach Größe

Titanisch (1.000+ Stellen) | Gigantisch (10.000+ Stellen) | Mega (1.000.000+ Stellen) | Beva (1.000.000.000+ Stellen)

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Veröffentlichungsdatum:
Gluckliche Zahlen sind naturliche Zahlen die mit einem bestimmten Siebprinzip erzeugt werden Das Siebprinzip ahnelt dem Sieb des Eratosthenes zur Bestimmung von Primzahlen Sie wurden erstmals von den Mathematikern Gardiner Lazarus Metropolis und Ulam im Jahr 1956 erwahnt 1 Das Siebprinzip nennen sie Sieb von Josephus Flavius weil es sehr an das Josephus Problem erinnert Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Erlauterung 3 Eigenschaften 4 Gluckliche Primzahlen 5 Siehe auch 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenMan beginnt mit einer Liste der positiven naturlichen Zahlen Dann geht man die Zahlen der Liste durch beginnend mit x 2 displaystyle x 2 nbsp und streicht jeweils jede x te Zahl Im Unterschied zum Sieb des Eratosthenes werden beim Abzahlen der zu streichenden Zahlen die schon gestrichenen nicht mitgezahlt sondern nur die noch in der Liste stehenden Auch beim Durchgehen der Liste um das nachste x zu erhalten werden die gestrichenen ubergangen Erlauterung Bearbeiten nbsp Diese Animation zeigt das Siebprinzip mit dem man gluckliche Zahlen erhalt Die roten ubrig gebliebenen Zahlen sind die glucklichen Zahlen Im ersten Schritt streicht man jede zweite Zahl und damit alle geraden Zahlen Im zweiten Schritt ist die auf Zwei folgende Zahl in der Liste x 3 displaystyle x 3 nbsp und es wird jede dritte gestrichen 1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99Im dritten Schritt ist die auf Drei folgende Zahl x 7 displaystyle x 7 nbsp und es wird jede siebte gestrichen 1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99Nach der Sieben folgt die Zahl x 9 displaystyle x 9 nbsp und jede neunte wird gestrichen 1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99Dann streicht man jede 13 und so weiter Daraus ergibt sich die Folge der glucklichen Zahlen als all die Zahlen die nie gestrichen werden 1 3 7 9 13 15 21 25 31 33 37 43 49 51 63 67 69 73 75 79 87 93 99 105 111 115 127 129 133 135 141 151 159 163 169 171 189 193 195 201 205 211 219 223 231 235 237 241 259 261 267 273 283 285 289 297 Folge A000959 in OEIS Eigenschaften BearbeitenEs gibt unendlich viele gluckliche Zahlen Sei L n displaystyle L n nbsp die n displaystyle n nbsp te gluckliche Zahl und p n displaystyle p n nbsp die n displaystyle n nbsp te Primzahl Dann gilt 2 L n gt p n displaystyle L n gt p n nbsp fur ausreichend grosse n displaystyle n nbsp dd Mit anderen Worten ab einem gewissen Index n displaystyle n nbsp ist die n displaystyle n nbsp te gluckliche Zahl immer grosser als die n displaystyle n nbsp te Primzahl Die Zahlfunktion der glucklichen Zahlen ist asymptotisch aquivalent zu n ln n displaystyle frac n ln n nbsp vgl Primzahlsatz 2 Mit anderen Worten Sei g n displaystyle g n nbsp die Anzahl der glucklichen Zahlen welche kleiner oder gleich n displaystyle n nbsp sind Dann gilt lim n g n n ln n 1 displaystyle lim n to infty frac g n n ln n 1 nbsp dd Gluckliche Primzahlen BearbeitenPrimzahlen p P displaystyle p in mathbb P nbsp die gluckliche Zahlen sind nennt man gluckliche Primzahlen Die glucklichen Primzahlen welche kleiner als 1000 sind lauten 3 7 13 31 37 43 67 73 79 127 151 163 193 211 223 241 283 307 331 349 367 409 421 433 463 487 541 577 601 613 619 631 643 673 727 739 769 787 823 883 937 991 997 Folge A031157 in OEIS Es ist unbekannt ob es unendlich viele gluckliche Primzahlen gibt Es gibt auch eine zur Goldbachschen analoge Vermutung Siehe auch BearbeitenFrohliche Zahl Narzisstische Zahl Munchhausen ZahlWeblinks BearbeitenEric W Weisstein Lucky Numbers In MathWorld englisch und in Wolfram Demonstrations ProjectEinzelnachweise Bearbeiten Verna Gardiner Roger B Lazarus Nicholas Metropolis Stanislaw Marcin Ulam On certain sequences of integers defined by sieves In Mathematics Magazine 29 Jahrgang Nr 3 1956 ISSN 0025 570X S 117 122 doi 10 2307 3029719 a b D Hawkins William Egbert Briggs The lucky number theorem In Mathematics Magazine 31 Jahrgang Nr 2 1957 ISSN 0025 570X S 81 84 277 280 doi 10 2307 3029213 V DPrimzahl mengenformelbasiert Carol 2n 1 2 2 Doppelte Mersenne 22p 1 1 Fakultat n 1 Fermat 22n 1 Kubisch x3 y3 x y Kynea 2n 1 2 2 Leyland xy yx Mersenne 2p 1 Mills A3n Pierpont 2u 3v 1 Primorial pn 1 Proth k 2n 1 Pythagoreisch 4n 1 Quartisch x4 y4 Thabit 3 2n 1 Wagstaff 2p 1 3 Williams b 1 bn 1 Woodall n 2n 1 Primzahlfolgen Bell Fibonacci Lucas Motzkin Pell Perrineigenschaftsbasiert Elitar Fortunate Gut Glucklich Higgs Hochkototient Isoliert Pillai Ramanujan Regular Stark Stern Wall Sun Sun Wieferich Wilsonbasis abhangig Belphegor Champernowne Dihedral Einzigartig Frohlich Keith Lange Minimal Mirp Permutierbar Primeval Palindrom Repunit Primzahl 10n 1 9 Schwach Smarandache Wellin Strobogrammatisch Tetradisch Trunkierbar Zirkularbasierend auf Tupel Ausbalanciert p n p p n Chen Cousin p p 4 Cunningham p 2p 1 Drilling p p 2 oder p 4 p 6 Konstellation Sexy p p 6 Sichere p p 1 2 Sophie Germain p 2p 1 Vierling p p 2 p 6 p 8 Zwilling p p 2 Zwillings Bi Kette n 1 2n 1 nach Grosse Titanisch 1 000 Stellen Gigantisch 10 000 Stellen Mega 1 000 000 Stellen Beva 1 000 000 000 Stellen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gluckliche Zahl amp oldid 236585311