In der Zahlentheorie ist eine zirkulare Primzahl vom englischen circular prime eine Primzahl deren Ziffern man zyklisch vertauschen kann und die erhaltene Zahl trotzdem eine Primzahl bleibt 1 Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele im Dezimalsystem 2 Beispiele in anderen Basen 3 Eigenschaften 4 Ungeloste Probleme 5 Einzelnachweise 6 WeblinksBeispiele im Dezimalsystem BearbeitenDie Zahl p 1193 displaystyle p 1193 nbsp ist im Dezimalsystem eine zirkulare Primzahl weil man durch zyklische Vertauschung ihrer Ziffern folgende Primzahlen erhalt p 1193 P p 2 1931 P p 3 9311 P p 4 3119 P p displaystyle p 1193 in mathbb P longrightarrow p 2 1931 in mathbb P longrightarrow p 3 9311 in mathbb P longrightarrow p 4 3119 in mathbb P longrightarrow p nbsp dd Es sind im Dezimalsystem folgende zirkulare Primzahlen bekannt aus denen man durch zyklische Vertauschung weitere machen kann 2 3 5 7 11 13 17 37 79 113 197 199 337 1193 3779 11939 19937 193939 199933 R19 1111111111111111111 R23 11111111111111111111111 R317 R1031 R49081 R86453 R109297 R270343 R5794777 und R8177207 Folge A016114 in OEIS dd Dabei ist R n 11 11 displaystyle R n 11 ldots 11 nbsp mit insgesamt n displaystyle n nbsp Einsen sie hat also n displaystyle n nbsp Stellen Man nennt diese Zahlen Repunits Die Indizes der primen Repunits kann man auch bei der Folge A004023 in OEIS ablesen Die bisher letzten Repunits R 49081 R 86453 R 109297 R 270343 R 5794777 displaystyle R 49081 R 86453 R 109297 R 270343 R 5794777 nbsp und R 8177207 displaystyle R 8177207 nbsp sind PRP Zahlen es ist also noch nicht ganz gesichert ob sie wirklich Primzahlen sind 2 Es gibt keine weiteren zirkularen Primzahlen welche kleiner als 10 23 displaystyle 10 23 nbsp sind 3 Es sind im Dezimalsystem folgende 55 zirkulare Primzahlen bekannt inklusive der durch zyklische Vertauschung erhaltenen inklusive der vier einstelligen Trivialfalle 2 3 5 displaystyle 2 3 5 nbsp und 7 displaystyle 7 nbsp und der Repunit 11 displaystyle 11 nbsp ohne die grosseren Repunits 2 3 5 7 11 13 17 31 37 71 73 79 97 113 131 197 199 311 337 373 719 733 919 971 991 1193 1931 3119 3779 7793 7937 9311 9377 11939 19391 19937 37199 39119 71993 91193 93719 93911 99371 193939 199933 319993 331999 391939 393919 919393 933199 939193 939391 993319 999331 Folge A068652 in OEIS dd Wahrscheinlich gibt es abgesehen von den Repunits keine weiteren zirkularen Primzahlen 4 Beispiele in anderen Basen BearbeitenEs sind im Duodezimalsystem also mit Basis b 12 displaystyle b 12 nbsp folgende zirkulare Primzahlen bekannt aus die man durch zyklische Vertauschung weitere machen kann Aus Ermangelung an weiteren Ziffern wird A 10 und B 11 gesetzt 2 3 5 7 B 11 15 57 5B 111 117 11B 175 1B7 157B 555B 11111 115B77 R17 R81 R91 R225 R255 R4A5 R5777 R879B R198B1 R23175 und R311407 Dabei ist wie vorher R n 11 11 displaystyle R n 11 ldots 11 nbsp eine Repunit zur Basis b 12 displaystyle b 12 nbsp mit insgesamt n displaystyle n nbsp Einsen sie hat also n displaystyle n nbsp Stellen Es gibt bis 12 12 displaystyle 12 12 nbsp keine weiteren zirkularen Primzahlen im Duodezimalsystem Beispiel Es ist die Duodezimalzahl 157 B 12 1 12 3 5 12 2 7 12 1 11 12 0 2543 P displaystyle 157B 12 underline 1 cdot 12 3 underline 5 cdot 12 2 underline 7 cdot 12 1 underline 11 cdot 12 0 2543 in mathbb P nbsp eine Primzahl Vertauscht man ihre Ziffern zyklisch erhalt man drei weitere Primzahlen namlich 57 B 1 12 9781 P displaystyle 57B1 12 9781 in mathbb P nbsp 7 B 15 12 13697 P displaystyle 7B15 12 13697 in mathbb P nbsp und B 157 12 19219 P displaystyle B157 12 19219 in mathbb P nbsp dd dd Eigenschaften BearbeitenIm Dezimalsystem darf bis auf p 2 displaystyle p 2 nbsp und p 5 displaystyle p 5 nbsp eine zirkulare Primzahl nur aus den Ziffern 1 3 7 displaystyle 1 3 7 nbsp oder 9 displaystyle 9 nbsp bestehen Beweis Waren bei einer zirkularen Primzahl auch die Ziffern 0 2 4 5 6 displaystyle 0 2 4 5 6 nbsp oder 8 displaystyle 8 nbsp erlaubt so konnte man sie so lange zyklisch vertauschen bis diese Ziffern an der Einerstelle stehen Dann waren sie aber durch p 2 displaystyle p 2 nbsp oder p 5 displaystyle p 5 nbsp teilbar und somit keine Primzahlen mehr displaystyle Box nbsp dd dd Jede prime Repunit ist eine zirkulare Primzahl Beweis Eine Repunit besteht ausschliesslich aus Einsen wie zum Beispiel R 19 1111111111111111111 displaystyle R 19 1111111111111111111 nbsp Somit erhalt man durch zyklische Vertauschung ihrer Ziffern keine andere Zahl deswegen bleibt die neu erhaltene Zahl eine Primzahl displaystyle Box nbsp dd dd Sei n displaystyle n nbsp eine zirkulare Primzahl im Dualsystem also mit Basis b 2 displaystyle b 2 nbsp Dann gilt n displaystyle n nbsp ist eine Mersenne Primzahl Beweis Im Dualsystem gibt es nur die beiden Ziffern 0 displaystyle 0 nbsp und 1 displaystyle 1 nbsp Wenn in einer Dualzahl eine 0 displaystyle 0 nbsp vorkommt wurde man durch zyklische Vertauschung erreichen dass die 0 displaystyle 0 nbsp an der Einerstelle ist Dualzahlen mit einer 0 displaystyle 0 nbsp an der Einerstelle sind aber gerade Zahlen und somit keine Primzahlen zum Beispiel ist 11110 2 1 2 4 1 2 3 1 2 2 1 2 1 0 2 0 16 8 4 2 0 30 displaystyle 11110 2 underline 1 cdot 2 4 underline 1 cdot 2 3 underline 1 cdot 2 2 underline 1 cdot 2 1 underline 0 cdot 2 0 16 8 4 2 0 30 nbsp eine gerade Zahl Also darf eine zirkulare Primzahl zur Basis b 2 displaystyle b 2 nbsp keine Nullen enthalten muss also ausschliesslich aus Einsen bestehen Dualzahlen die nur aus Einsen bestehen haben aber umgerechnet ins Dezimalsystem die Form n 2 n 1 displaystyle n 2 n 1 nbsp zum Beispiel ist 11111 2 1 2 4 1 2 3 1 2 2 1 2 1 1 2 0 16 8 4 2 1 31 2 5 1 displaystyle 11111 2 underline 1 cdot 2 4 underline 1 cdot 2 3 underline 1 cdot 2 2 underline 1 cdot 2 1 underline 1 cdot 2 0 16 8 4 2 1 31 2 5 1 nbsp Diese Zahlen sind Mersenne Zahlen Wenn sie prim sind sind es Mersenne Primzahlen displaystyle Box nbsp dd dd Jede permutierbare Primzahl ist eine zirkulare Primzahl Beweis Eine permutierbare Primzahl ist eine Primzahl bei der man ihre Ziffern beliebig neu anordnen kann und trotzdem wieder eine Primzahl entsteht Bei zirkularen Primzahlen wird aber lediglich eine zyklische Vertauschung gefordert welche bei permutierbaren Primzahlen naturlich auch erlaubt ist zyklische Vertauschungen sind nur etwas speziellere Neuanordnungen ihrer Ziffern Somit ist eine permutierbare Primzahl auch immer eine zirkulare Zahl displaystyle Box nbsp dd dd Nicht jede zirkulare Primzahl ist eine permutierbare Primzahl Beweis Es genugt ein Gegenbeispiel Wenn man bei der zirkularen Primzahl p 1193 displaystyle p 1193 nbsp die Ziffern geeignet vertauscht erhalt man die zusammengesetzte Zahl 1139 17 67 displaystyle 1139 17 cdot 67 nbsp Somit ist p 1193 displaystyle p 1193 nbsp keine permutierbare Primzahl displaystyle Box nbsp dd dd Ungeloste Probleme BearbeitenEs wird vermutet dass es unendlich viele zirkulare Primzahlen gibt weil es wahrscheinlich unendlich viele prime Repunits gibt welche allesamt gleichzeitig zirkulare Primzahlen sind 4 Es wird vermutet dass es keine weiteren zirkularen Primzahlen gibt welche nicht gleichzeitig Repunits sind 4 Es wird vermutet dass die folgenden Zahlen die nicht gleichzeitig Repunits sind sogenannte Nicht Repunits die grossten zirkularen Primzahlen sind im Dezimalsystem angegeben die Liste beginnt mit b 3 displaystyle b 3 nbsp weil fur b 2 displaystyle b 2 nbsp also im Dualsystem jede zirkulare Primzahl eine Mersenne Primzahl und somit in diesem Zahlensystem eine Repunit ist wie bei den Eigenschaften weiter oben schon gezeigt wurde 5 7 1013 3121 211 13143449029 16244441 4717103 999331 378470237117827 2894561 Folge A293142 in OEIS dd Die obigen grossten Nicht Repunits die wahrscheinlich zirkulare Primzahlen sind werden im jeweiligen Stellenwertsystem wie folgt geschrieben beginnend mit der Basis b 3 displaystyle b 3 nbsp 5 21 33311 44441 551 643464321244 75757331 8778575 999331 AA657365177398 B77115 dd Die Anzahl der zirkularen Primzahlen die Nicht Repunits sind gibt die folgende Liste an beginnend mit der Basis b 3 displaystyle b 3 nbsp ohne die einstelligen Trivialfalle 5 0 3 10 24 5 141 42 50 54 37 dd Beispiel Sei b 8 displaystyle b 8 nbsp Dann gibt die erste obige Liste an dass die Zahl p 16244441 displaystyle p 16244441 nbsp wahrscheinlich die grosste zirkulare Primzahl ist die nicht aus allen Einsen besteht Der zweiten Liste kann man entnehmen dass man diese Zahl im Stellenwertsystem mit der Basis b 8 displaystyle b 8 nbsp als p 75757331 8 displaystyle p 75757331 8 nbsp schreibt Aus der dritten Liste kann man ablesen dass es insgesamt wahrscheinlich genau 141 zirkulare Primzahlen zur Basis b 8 displaystyle b 8 nbsp gibt die nicht gleichzeitig Repunits sind dd dd dd Einzelnachweise Bearbeiten Eric W Weisstein Circular Prime In MathWorld englisch Henri Lifchitz Renaud Lifchitz PRP Records Probable Primes Top 10000 Search for 10 x 1 9 PRP Records abgerufen am 16 August 2021 Patrick De Geest Circular Primes World Of Numbers abgerufen am 8 Juli 2018 englisch a b c Chris K Caldwell Circular Prime Prime Pages abgerufen am 8 Juli 2018 englisch a b c Mersenneforum Type of primes in various basesWeblinks BearbeitenEric W Weisstein Circular Prime In MathWorld englisch Chris K Caldwell Circular Prime Prime Pages abgerufen am 8 Juli 2018 englisch V DPrimzahl mengenformelbasiert Carol 2n 1 2 2 Doppelte Mersenne 22p 1 1 Fakultat n 1 Fermat 22n 1 Kubisch x3 y3 x y Kynea 2n 1 2 2 Leyland xy yx Mersenne 2p 1 Mills A3n Pierpont 2u 3v 1 Primorial pn 1 Proth k 2n 1 Pythagoreisch 4n 1 Quartisch x4 y4 Thabit 3 2n 1 Wagstaff 2p 1 3 Williams b 1 bn 1 Woodall n 2n 1 Primzahlfolgen Bell Fibonacci Lucas Motzkin Pell Perrineigenschaftsbasiert Elitar Fortunate Gut Glucklich Higgs Hochkototient Isoliert Pillai Ramanujan Regular Stark Stern Wall Sun Sun Wieferich Wilsonbasis abhangig Belphegor Champernowne Dihedral Einzigartig Frohlich Keith Lange Minimal Mirp Permutierbar Primeval Palindrom Repunit Primzahl 10n 1 9 Schwach Smarandache Wellin Strobogrammatisch Tetradisch Trunkierbar Zirkularbasierend auf Tupel Ausbalanciert p n p p n Chen Cousin p p 4 Cunningham p 2p 1 Drilling p p 2 oder p 4 p 6 Konstellation Sexy p p 6 Sichere p p 1 2 Sophie Germain p 2p 1 Vierling p p 2 p 6 p 8 Zwilling p p 2 Zwillings Bi Kette n 1 2n 1 nach Grosse Titanisch 1 000 Stellen Gigantisch 10 000 Stellen Mega 1 000 000 Stellen Beva 1 000 000 000 Stellen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zirkulare Primzahl amp oldid 227016303
