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Pierpont-Primzahl

Eine Pierpont-Primzahl ist eine Primzahl der Form . Mit Hilfe der Pierpont-Primzahlen lässt sich angeben, welche regelmäßigen Polygone mit Zirkel und Lineal sowie einem Hilfsmittel zur Winkeldreiteilung konstruiert werden können. Sie sind nach dem US-amerikanischen Mathematiker James Pierpont benannt.

Definition Bearbeiten

Eine Primzahl heißt Pierpont-Primzahl, wenn sie von der Form

ist, wobei natürliche Zahlen sind. Die Pierpont-Primzahlen sind damit diejenigen Primzahlen , für die 3-glatt ist.

Beispiele Bearbeiten

Die ersten Pierpont-Primzahlen sind:

Die derzeit größte bekannte Pierpont-Primzahl ist

mit 3.259.959 Dezimalstellen. Ihre Primalität wurde 2014 von Sai Yik Tang bewiesen.

Eigenschaften Bearbeiten

Spezialfälle Bearbeiten

  • Für und gibt es keine Pierpont-Primzahlen, denn ist eine gerade Zahl größer als zwei und damit zusammengesetzt.
  • Für und muss eine Potenz von zwei sein und eine Pierpont-Primzahl ist damit eine fermatsche Primzahl.
  • Für und hat eine Pierpont-Primzahl die Form .

Verteilung Bearbeiten

Verteilung der Exponenten der kleinen Pierpont-Primzahlen

Die Anzahl der Pierpont-Primzahlen kleiner als ist

Die Anzahl der Pierpont-Primzahlen kleiner als ist

Andrew Gleason vermutete, dass es unendlich viele Pierpont-Primzahlen gibt. Sie sind nicht besonders selten und haben wenige Einschränkungen bezüglich algebraischer Faktorisierungen. So gibt es beispielsweise keine Bedingungen, wie bei Mersenne-Primzahlen, dass der Exponent prim sein muss. Vermutlich gibt es

Pierpont-Primzahlen kleiner als , im Gegensatz zu Mersenne-Primzahlen im gleichen Bereich.

Faktoren von Fermat-Zahlen Bearbeiten

Als Teil der laufenden weltweiten Suche nach Faktoren der Fermat-Zahlen, wurden bereits einige Pierpont-Primzahlen als Faktoren gefunden. Die folgende Tabelle gibt Werte für , und an, sodass gilt:

Die linke Seite ist eine Pierpont-Primzahl, falls eine Potenz von drei ist; die rechte Seite ist eine Fermat-Zahl.

Jahr Entdecker
38 3 41 1903 Cullen, Cunningham & Western
63 9 67 1956 Robinson
207 3 209 1956 Robinson
452 27 455 1956 Robinson
9428 9 9431 1983 Keller
12185 81 12189 1993 Dubner
28281 81 28285 1996 Taura
157167 3 157169 1995 Young
213319 3 213321 1996 Young
303088 3 303093 1998 Young
382447 3 382449 1999 Cosgrave & Gallot
461076 9 461081 2003 Nohara, Jobling, Woltman & Gallot
495728 243 495732 2007 Keiser, Jobling, Penné & others
672005 27 672007 2005 Cooper, Jobling, Woltman & Gallot
2145351 3 2145353 2003 Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot
2478782 3 2478785 2003 Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot
2543548 9 2543551 2011 Brown, Reynolds, Penné & Fougeron

Anwendungen Bearbeiten

Ein regelmäßiges Polygon mit Seiten kann genau dann mit Zirkel und Lineal sowie einem Hilfsmittel zur Winkeldreiteilung konstruiert werden, wenn von der Form

ist, wobei mit verschiedene Pierpont-Primzahlen größer als drei sind. Die konstruierbaren Polygone, also die Polygone, die nur mit Zirkel und Lineal konstruiert werden können, sind hiervon Spezialfälle, bei denen und verschiedene Fermat-Primzahlen sind. Die kleinste Primzahl, die keine Pierpont-Primzahl ist, ist . Daher ist das Elfeck das kleinste regelmäßige Polygon, das nicht mit Zirkel, Lineal und Winkeldrittelung konstruiert werden kann. Alle anderen regelmäßigen -Ecke mit können mit Zirkel, Lineal und (gegebenenfalls) einem Hilfsmittel zur Winkeldreiteilung konstruiert werden.

In der Mathematik des Papierfaltens definieren die Huzita-Axiome sechs der sieben möglichen Faltungen. Diese Faltungen reichen ebenfalls aus, jedes regelmäßige Polygon mit Seiten zu bilden, wenn von der obigen Form ist.

Verallgemeinerung Bearbeiten

Eine Pierpont-Primzahl der 2.Art ist eine Primzahl der Form . Die ersten Zahlen dieser Art sind:

Eine verallgemeinerte Pierpont-Primzahl ist eine Primzahl der Form mit k verschiedenen, immer größer werdenden geordneten Primzahlen .

Eine verallgemeinerte Pierpont-Primzahl der 2.Art ist eine Primzahl der Form mit k verschiedenen, immer größer werdenden geordneten Primzahlen .

In beiden Fällen muss sein. Alle weiteren sind ungerade Primzahlen.

Diese vorherige Aussage resultiert aus der folgenden Überlegung: Wäre p1 nicht 2, so wäre das Produkt aus ungeraden Primzahlpotenzen wieder ungerade. Wenn man dann noch 1 addiert oder subtrahiert, wäre die so erhaltene Zahl auf jeden Fall gerade und somit nicht prim.

Es folgen ein paar verallgemeinerte Pierpont-Primzahlen:

{p1, p2, p3, …, pk} +1 OEIS-Folge -1 OEIS-Folge
{2} 2, 3, 5, 17, 257, 65537 (Folge A092506 in OEIS) 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, … (Folge A000668 in OEIS)
{2, 3} 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, … (Folge A005109 in OEIS) 2, 3, 5, 7, 11, 17, 23, 31, 47, 53, … (Folge A005105 in OEIS)
{2, 5} 2, 3, 5, 11, 17, 41, 101, … (Folge A077497 in OEIS) 3, 7, 19, 31, 79, 127, 199, … (Folge A077313 in OEIS)
{2, 3, 5} 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 31, 37, 41, … (Folge A002200 in OEIS)
{2, 7} 2, 3, 5, 17, 29, 113, 197, … (Folge A077498 in OEIS) 3, 7, 13, 31, 97, 127, 223, … (Folge A077314 in OEIS)
{2, 3, 5, 7} 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29, 31, 37, … (Folge A174144 in OEIS)
{2, 11} 2, 3, 5, 17, 23, 89, 257, 353, … (Folge A077499 in OEIS) 3, 7, 31, 43, 127, 241, 967, … (Folge A077315 in OEIS)
{2, 13} 2, 3, 5, 17, 53, 257, 677, … (Folge A173236 in OEIS) 3, 7, 31, 103, 127, 337, … (Folge A173062 in OEIS)

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Chris Caldwell: The largest known primes. In: The Prime Pages. 16. August 2016, abgerufen am 17. August 2016.
  2. Chris Caldwell: 3·210829346 + 1. In: The Prime Pages. 17. Januar 2014, abgerufen am 17. August 2016.
  3. ↑ Andrew Gleason: Angle Trisection, the Heptagon, and the Triskaidecagon. In: The American Mathematical Monthly. Band 95, Nr. 3, 1988, S. 185–194 (math.nthu.edu.tw [PDF]).
  4. Wilfrid Keller: (Nicht mehr online verfügbar.) 30. April 2015, archiviert vom Original am 10. Februar 2016; abgerufen am 17. August 2016.  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/www.prothsearch.net
  5. Folge A048135 in OEIS
Primzahl­mengen


formelbasiert

Carol ((2n − 1)2 − 2) | Doppelte Mersenne (22p − 1 − 1) | Fakultät (n! ± 1) | Fermat (22n + 1) | Kubisch (x3 − y3)/(x − y) | Kynea ((2n + 1)2 − 2) | Leyland (xy + yx) | Mersenne (2p − 1) | Mills (A3n) | Pierpont (2u⋅3v + 1) | Primorial (pn# ± 1) | Proth (k⋅2n + 1) | Pythagoreisch (4n + 1) | Quartisch (x4 + y4) | Thabit (3⋅2n − 1) | Wagstaff ((2p + 1)/3) | Williams ((b-1)⋅bn − 1) | Woodall (n⋅2n − 1)

Primzahlfolgen

Bell | Fibonacci | Lucas | Motzkin | Pell | Perrin

eigenschaftsbasiert

Elitär | Fortunate | Gut | Glücklich | Higgs | Hochkototient | Isoliert | Pillai | Ramanujan | Regulär | Stark | Stern | Wall–Sun–Sun | Wieferich | Wilson

basis­abhängig

Belphegor | Champernowne | Dihedral | Einzigartig | Fröhlich | Keith | Lange | Minimal | Mirp | Permutierbar | Primeval | Palindrom | Repunit-Primzahl ((10n − 1)/9) | Schwach | Smarandache–Wellin | Strobogrammatisch | Tetradisch | Trunkierbar | Zirkular

basierend auf Tupel

Ausbalanciert (p − n, p, p + n) | Chen | Cousin (p, p + 4) | Cunningham (p, 2p ± 1, …) | Drilling (p, p + 2 oder p + 4, p + 6) | Konstellation | Sexy (p, p + 6) | Sichere (p, (p − 1)/2) | Sophie Germain (p, 2p + 1) | Vierling (p, p + 2, p + 6, p + 8) | Zwilling (p, p + 2) | Zwillings-Bi-Kette (n ± 1, 2n ± 1, …)

nach Größe

Titanisch (1.000+ Stellen) | Gigantisch (10.000+ Stellen) | Mega (1.000.000+ Stellen) | Beva (1.000.000.000+ Stellen)

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Veröffentlichungsdatum:
Eine Pierpont Primzahl ist eine Primzahl der Form 2 u 3 v 1 displaystyle 2 u 3 v 1 Mit Hilfe der Pierpont Primzahlen lasst sich angeben welche regelmassigen Polygone mit Zirkel und Lineal sowie einem Hilfsmittel zur Winkeldreiteilung konstruiert werden konnen Sie sind nach dem US amerikanischen Mathematiker James Pierpont benannt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 3 1 Spezialfalle 3 2 Verteilung 3 3 Faktoren von Fermat Zahlen 4 Anwendungen 5 Verallgemeinerung 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEine Primzahl p displaystyle p nbsp heisst Pierpont Primzahl wenn sie von der Form p 2 u 3 v 1 displaystyle p 2 u 3 v 1 nbsp ist wobei u v N 0 displaystyle u v in mathbb N 0 nbsp naturliche Zahlen sind Die Pierpont Primzahlen sind damit diejenigen Primzahlen p displaystyle p nbsp fur die p 1 displaystyle p 1 nbsp 3 glatt ist Beispiele BearbeitenDie ersten Pierpont Primzahlen sind 2 3 5 7 13 17 19 37 73 97 109 163 193 257 433 487 577 769 1153 1297 1459 2593 2917 3457 3889 Folge A005109 in OEIS Die derzeit grosste bekannte Pierpont Primzahl ist 3 2 10 829 346 1 displaystyle 3 cdot 2 10 829 346 1 nbsp mit 3 259 959 Dezimalstellen Ihre Primalitat wurde 2014 von Sai Yik Tang bewiesen 1 2 Eigenschaften BearbeitenSpezialfalle Bearbeiten Fur u 0 displaystyle u 0 nbsp und v gt 0 displaystyle v gt 0 nbsp gibt es keine Pierpont Primzahlen denn 3 v 1 displaystyle 3 v 1 nbsp ist eine gerade Zahl grosser als zwei und damit zusammengesetzt Fur u gt 0 displaystyle u gt 0 nbsp und v 0 displaystyle v 0 nbsp muss u displaystyle u nbsp eine Potenz von zwei sein und eine Pierpont Primzahl ist damit eine fermatsche Primzahl Fur u gt 0 displaystyle u gt 0 nbsp und v gt 0 displaystyle v gt 0 nbsp hat eine Pierpont Primzahl die Form 6 k 1 displaystyle 6k 1 nbsp Verteilung Bearbeiten nbsp Verteilung der Exponenten der kleinen Pierpont PrimzahlenDie Anzahl der Pierpont Primzahlen kleiner als 10 100 1000 displaystyle 10 100 1000 ldots nbsp ist 4 10 18 25 32 42 50 58 65 72 78 83 93 106 114 125 139 displaystyle 4 10 18 25 32 42 50 58 65 72 78 83 93 106 114 125 139 ldots nbsp Folge A113420 in OEIS Die Anzahl der Pierpont Primzahlen kleiner als 10 1 10 2 10 4 10 8 displaystyle 10 1 10 2 10 4 10 8 ldots nbsp ist 4 10 25 58 125 250 505 1020 2075 4227 8597 17213 displaystyle 4 10 25 58 125 250 505 1020 2075 4227 8597 17213 ldots nbsp Folge A113412 in OEIS Andrew Gleason vermutete dass es unendlich viele Pierpont Primzahlen gibt 3 Sie sind nicht besonders selten und haben wenige Einschrankungen bezuglich algebraischer Faktorisierungen So gibt es beispielsweise keine Bedingungen wie bei Mersenne Primzahlen dass der Exponent prim sein muss Vermutlich gibt es O log N displaystyle O log N nbsp Pierpont Primzahlen kleiner als N displaystyle N nbsp im Gegensatz zu O log log N displaystyle O log log N nbsp Mersenne Primzahlen im gleichen Bereich Faktoren von Fermat Zahlen Bearbeiten Als Teil der laufenden weltweiten Suche nach Faktoren der Fermat Zahlen wurden bereits einige Pierpont Primzahlen als Faktoren gefunden Die folgende Tabelle 4 gibt Werte fur m displaystyle m nbsp k displaystyle k nbsp und n displaystyle n nbsp an sodass gilt k 2 n 1 teilt 2 2 m 1 displaystyle k cdot 2 n 1 text teilt 2 2 m 1 nbsp Die linke Seite ist eine Pierpont Primzahl falls k displaystyle k nbsp eine Potenz von drei ist die rechte Seite ist eine Fermat Zahl m displaystyle m nbsp k displaystyle k nbsp n displaystyle n nbsp Jahr Entdecker38 3 41 1903 Cullen Cunningham amp Western63 9 67 1956 Robinson207 3 209 1956 Robinson452 27 455 1956 Robinson9428 9 9431 1983 Keller12185 81 12189 1993 Dubner28281 81 28285 1996 Taura157167 3 157169 1995 Young213319 3 213321 1996 Young303088 3 303093 1998 Young382447 3 382449 1999 Cosgrave amp Gallot461076 9 461081 2003 Nohara Jobling Woltman amp Gallot495728 243 495732 2007 Keiser Jobling Penne amp others672005 27 672007 2005 Cooper Jobling Woltman amp Gallot2145351 3 2145353 2003 Cosgrave Jobling Woltman amp Gallot2478782 3 2478785 2003 Cosgrave Jobling Woltman amp Gallot2543548 9 2543551 2011 Brown Reynolds Penne amp FougeronAnwendungen BearbeitenEin regelmassiges Polygon mit N displaystyle N nbsp Seiten kann genau dann mit Zirkel und Lineal sowie einem Hilfsmittel zur Winkeldreiteilung konstruiert werden wenn N displaystyle N nbsp von der Form N 2 m 3 n p 1 p k displaystyle N 2 m 3 n p 1 cdots p k nbsp ist wobei p 1 p k displaystyle p 1 ldots p k nbsp mit k N 0 displaystyle k in mathbb N 0 nbsp verschiedene Pierpont Primzahlen grosser als drei sind 3 5 Die konstruierbaren Polygone also die Polygone die nur mit Zirkel und Lineal konstruiert werden konnen sind hiervon Spezialfalle bei denen n 0 displaystyle n 0 nbsp und p 1 p k displaystyle p 1 ldots p k nbsp verschiedene Fermat Primzahlen sind Die kleinste Primzahl die keine Pierpont Primzahl ist ist 11 displaystyle 11 nbsp Daher ist das Elfeck das kleinste regelmassige Polygon das nicht mit Zirkel Lineal und Winkeldrittelung konstruiert werden kann Alle anderen regelmassigen n displaystyle n nbsp Ecke mit 3 n 21 displaystyle 3 leq n leq 21 nbsp konnen mit Zirkel Lineal und gegebenenfalls einem Hilfsmittel zur Winkeldreiteilung konstruiert werden In der Mathematik des Papierfaltens definieren die Huzita Axiome sechs der sieben moglichen Faltungen Diese Faltungen reichen ebenfalls aus jedes regelmassige Polygon mit N displaystyle N nbsp Seiten zu bilden wenn N displaystyle N nbsp von der obigen Form ist Verallgemeinerung BearbeitenEine Pierpont Primzahl der 2 Art ist eine Primzahl der Form 2 u 3 v 1 displaystyle 2 u cdot 3 v 1 nbsp Die ersten Zahlen dieser Art sind 2 3 5 7 11 17 23 31 47 53 71 107 127 191 383 431 647 863 971 1151 2591 4373 6143 6911 8191 8747 Folge A005105 in OEIS Eine verallgemeinerte Pierpont Primzahl ist eine Primzahl der Form p 1 n 1 p 2 n 2 p 3 n 3 p k n k 1 displaystyle p 1 n 1 cdot p 2 n 2 cdot p 3 n 3 cdot ldots cdot p k n k 1 nbsp mit k verschiedenen immer grosser werdenden geordneten Primzahlen p 1 p 2 p k displaystyle p 1 p 2 ldots p k nbsp Eine verallgemeinerte Pierpont Primzahl der 2 Art ist eine Primzahl der Form p 1 n 1 p 2 n 2 p 3 n 3 p k n k 1 displaystyle p 1 n 1 cdot p 2 n 2 cdot p 3 n 3 cdot ldots cdot p k n k 1 nbsp mit k verschiedenen immer grosser werdenden geordneten Primzahlen p 1 p 2 p k displaystyle p 1 p 2 ldots p k nbsp In beiden Fallen muss p 1 2 displaystyle p 1 2 nbsp sein Alle weiteren p i displaystyle p i nbsp sind ungerade Primzahlen Diese vorherige Aussage resultiert aus der folgenden Uberlegung Ware p1 nicht 2 so ware das Produkt p 1 n 1 p 2 n 2 p 3 n 3 p k n k displaystyle p 1 n 1 cdot p 2 n 2 cdot p 3 n 3 cdot ldots cdot p k n k nbsp aus ungeraden Primzahlpotenzen wieder ungerade Wenn man dann noch 1 addiert oder subtrahiert ware die so erhaltene Zahl auf jeden Fall gerade und somit nicht prim Es folgen ein paar verallgemeinerte Pierpont Primzahlen p1 p2 p3 pk 1 OEIS Folge 1 OEIS Folge 2 2 3 5 17 257 65537 Folge A092506 in OEIS 3 7 31 127 8191 131071 Folge A000668 in OEIS 2 3 2 3 5 7 13 17 19 37 73 97 Folge A005109 in OEIS 2 3 5 7 11 17 23 31 47 53 Folge A005105 in OEIS 2 5 2 3 5 11 17 41 101 Folge A077497 in OEIS 3 7 19 31 79 127 199 Folge A077313 in OEIS 2 3 5 2 3 5 7 11 13 17 19 31 37 41 Folge A002200 in OEIS 2 7 2 3 5 17 29 113 197 Folge A077498 in OEIS 3 7 13 31 97 127 223 Folge A077314 in OEIS 2 3 5 7 2 3 5 7 11 13 17 19 29 31 37 Folge A174144 in OEIS 2 11 2 3 5 17 23 89 257 353 Folge A077499 in OEIS 3 7 31 43 127 241 967 Folge A077315 in OEIS 2 13 2 3 5 17 53 257 677 Folge A173236 in OEIS 3 7 31 103 127 337 Folge A173062 in OEIS Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Pierpont Prime In MathWorld englisch Chris Caldwell Pierpont prime In The Prime Pages Abgerufen am 16 Mai 2013 englisch Einzelnachweise Bearbeiten Chris Caldwell The largest known primes In The Prime Pages 16 August 2016 abgerufen am 17 August 2016 Chris Caldwell 3 210829346 1 In The Prime Pages 17 Januar 2014 abgerufen am 17 August 2016 a b Andrew Gleason Angle Trisection the Heptagon and the Triskaidecagon In The American Mathematical Monthly Band 95 Nr 3 1988 S 185 194 math nthu edu tw PDF Wilfrid Keller Prime factors of Fermat numbers and complete factoring status Nicht mehr online verfugbar 30 April 2015 archiviert vom Original am 10 Februar 2016 abgerufen am 17 August 2016 nbsp Info Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht gepruft Bitte prufe Original und Archivlink gemass Anleitung und entferne dann diesen Hinweis 1 2 Vorlage Webachiv IABot www prothsearch net Folge A048135 in OEISV DPrimzahl mengenformelbasiert Carol 2n 1 2 2 Doppelte Mersenne 22p 1 1 Fakultat n 1 Fermat 22n 1 Kubisch x3 y3 x y Kynea 2n 1 2 2 Leyland xy yx Mersenne 2p 1 Mills A3n Pierpont 2u 3v 1 Primorial pn 1 Proth k 2n 1 Pythagoreisch 4n 1 Quartisch x4 y4 Thabit 3 2n 1 Wagstaff 2p 1 3 Williams b 1 bn 1 Woodall n 2n 1 Primzahlfolgen Bell Fibonacci Lucas Motzkin Pell Perrineigenschaftsbasiert Elitar Fortunate Gut Glucklich Higgs Hochkototient Isoliert Pillai Ramanujan Regular Stark Stern Wall Sun Sun Wieferich Wilsonbasis abhangig Belphegor Champernowne Dihedral Einzigartig Frohlich Keith Lange Minimal Mirp Permutierbar Primeval Palindrom Repunit Primzahl 10n 1 9 Schwach Smarandache Wellin Strobogrammatisch Tetradisch Trunkierbar Zirkularbasierend auf Tupel Ausbalanciert p n p p n Chen Cousin p p 4 Cunningham p 2p 1 Drilling p p 2 oder p 4 p 6 Konstellation Sexy p p 6 Sichere p p 1 2 Sophie Germain p 2p 1 Vierling p p 2 p 6 p 8 Zwilling p p 2 Zwillings Bi Kette n 1 2n 1 nach Grosse Titanisch 1 000 Stellen Gigantisch 10 000 Stellen Mega 1 000 000 Stellen Beva 1 000 000 000 Stellen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Pierpont Primzahl amp oldid 236863376