Unter dem Problem der Dreiteilung des Winkels (auch: Trisektion des Winkels) versteht man in der Geometrie die Frage, ob man einen beliebigen Winkel mit Hilfe von Zirkel und Lineal (mit den euklidischen Werkzeugen) in drei gleich große Winkel unterteilen kann. Die Dreiteilung des Winkels gehört zu den drei klassischen Problemen der antiken Mathematik und ist nur für bestimmte Winkel durchführbar. Obwohl die Problemstellung der Winkeldreiteilung bis in die Antike zurückreicht, konnte erst im 19. Jahrhundert mit Methoden der Algebra gezeigt werden, dass sie mit Zirkel und Lineal im Allgemeinen nicht zu lösen ist.
Der erste Beweis dieser Negativaussage stammt von Pierre Wantzel aus dem Jahr 1837. In ihm wird das Problem auf eine algebraische Gleichung dritten Grades reduziert und argumentiert, dass deren Lösungen keine konstruierbaren Zahlen sind, sie sich also nicht in endlich vielen Schritten mit Zirkel und Lineal aus der Länge 1 konstruieren lassen. Um zu zeigen, dass es keine allgemeine Konstruktion für die Winkeldreiteilung gibt, reicht die Angabe eines einzigen Gegenbeispiels: Beispielsweise ist es nicht möglich, den konstruierbaren Winkel 60° zu dritteln, da 20° nicht konstruierbar ist. Es gibt jedoch auch Winkel, die mit Zirkel und Lineal nicht konstruiert, aber mit diesen Mitteln gedrittelt werden können (Näheres in Abzählbarkeit der Menge der drittelbaren Winkel), wenn sie zu Beginn gegeben sind.
Obwohl eine klassische Konstruktion nicht möglich ist, kann die Dreiteilung eines Winkels unter Zuhilfenahme von Hilfsmaterialien, wie eines markierten Lineals, als sogenannte Neusis-Konstruktion vollzogen werden. Einige dieser Techniken waren bereits in der Antike bekannt. In auffälligem Gegensatz zum Problem der Winkeldreiteilung steht die unter Verwendung der Winkelhalbierenden sehr leicht machbare Winkelhalbierung mit Zirkel und Lineal.
Klassisches Problem Bearbeiten
Für ein Drittel des Winkels 9° bedarf es z. B. zuerst der Winkel 30° und 18° um schließlich 3° zu erhalten (regelmäßiges Fünfeck).
Nach der klassischen Vorgabe zählt eine Lösung nur, wenn der gegebene Winkel allein mit Hilfe eines Zirkels und eines nichtskalierten Lineals in drei gleich große Teile aufgeteilt wird. Dies ist, wie bereits erwähnt, im Allgemeinen nicht möglich. Bei speziellen Winkeln ist eine Dreiteilung des Winkels mit den euklidischen Werkzeugen aber möglich, etwa bei jedem ganzzahligen Vielfachen von 9°.
Schon die alten Griechen versuchten vergeblich, eine allgemeine Lösung für beliebige Winkel zu finden. Um das Jahr 1830 schuf der französische Mathematiker Évariste Galois die Grundlagen des späteren Beweises dafür, dass dies nicht allgemein möglich ist. Warum dies unmöglich ist, wird im Abschnitt Beweis der Unmöglichkeit verdeutlicht.
Eine allgemeine Dreiteilung ist daher nur möglich, wenn neben Zirkel und Lineal auch zusätzliche Hilfsmittel Verwendung finden, etwa eine Trisektrix, oder wenn auf dem Lineal Markierungen angebracht werden. Andererseits sind mit Zirkel und Lineal beliebig gute Näherungslösungen darstellbar (siehe Abschnitt Näherungsverfahren).
Geschichte Bearbeiten
Antike Bearbeiten
Die Griechen waren es, die im 5. Jahrhundert v. Chr. das Problem, einen beliebigen Winkel in drei gleich große Winkel zu unterteilen, erkannten. Vermutlich trat dieses Problem in den Vordergrund mathematischen Interesses, als sie versuchten, für astronomische Zwecke eine Sehnentafel aufzustellen. Sie strebten nach einer Lösung, die allein mit Zirkel und einem unmarkierten Lineal – eine auf Oinopides von Chios (~ 440 v. Chr.) zurückgehende Beschränkung – zu bewältigen sei, aber sie fanden keine, die dieser Vorgabe gerecht wurde. Beispielsweise bei der Sehnentafel des Ptolemaios stößt man auf die elementargeometrisch nicht mehr zu bewältigende Aufgabe, aus der Sehne für die Sehne für zu gewinnen. Die für die Sehnengeometrie erforderliche Trigonometrie wurde viele Jahrhunderte bis Nikolaus Kopernikus (1473–1543) lediglich als Bestandteil der Astronomie aufgefasst und dementsprechend in astronomischen Werken behandelt. Das erste selbständige Lehrbuch der Trigonometrie verfasste Regiomontanus um 1464, doch erschien es erst posthum, fast 70 Jahre später, im Jahr 1533.
Hippias von Elis (um 460 bis um 400 v. Chr.) fand als Erster um 422 v. Chr. eine Lösung mithilfe eines sogenannten zusätzlichen Hilfsmittels. Es war eine Hilfskurve, sie wurde bekannt als die Trisektrix des Hippias oder Quadratrix des Hippias. Diese ist sogar für die Teilung eines Winkels in gleiche Teile erdacht. Der Name Quadratrix rührt daher, dass sie auch das Problem der Kreisquadratur beantwortet. Daraus kann gefolgert werden, dass es sich um eine transzendente Kurve handelt. Dennoch ist sie leicht beschreibbar, da sie durch zwei einfache Bewegungen erzeugt wird.
Archimedes von Syrakus (287 bis 212 v. Chr.) fand eine pragmatische Lösung. Obgleich die Zuweisung an Archimedes nicht gesichert ist, existiert eine nur auf Arabisch überlieferte Konstruktion des regelmäßigen Siebenecks. Während die regelmäßigen Drei-, Vier-, Fünf- und Sechsecke sich bekanntlich mit Zirkel und Lineal in einem gegebenen Kreis beschreiben lassen, geht das beim Siebeneck nicht mehr. Algebraisch führt die Teilung des Kreises in sieben gleiche Teile auf eine kubische Gleichung und gehört daher der gleichen Problemklasse an wie die Würfelverdoppelung und die Winkeldreiteilung. Die angeblich von Archimedes gefundene Konstruktion arbeitet zwar auch nur mit diesen beiden Geräten, verwendet das Lineal allerdings in einer in der euklidischen Geometrie nicht erlaubten Weise: Es wird so lange um einen festen Punkt gedreht, bis zwei Dreiecke, von denen eines bei der Drehung anwächst, während das andere abnimmt, flächengleich sind. Es ist dies ein besonderer Typus einer Einschiebekonstruktion oder sog. Neusis. Das angewandte Verfahren ist zwar von theoretischem Interesse, aber nicht praktisch verwendbar. Heute wird es als Neusis-Konstruktion bezeichnet. Später schuf Archimedes eine spezielle Kurve, nannte sie Spirale (archimedische Spirale) und untersuchte damit die Winkelteilung und die Quadratur des Kreises.
Im 2. Jh. v. Chr. ersann Nikomedes ein Instrument, das die Forderung der von Pappos überlieferten Neusis-Konstruktion mechanisch zu erfüllen gestattet. Die damit konstruierbaren Kurven erhielten wegen ihrer Gestalt den Namen Konchoide, auf Deutsch Muschelkurven. Das Instrument besteht aus zwei T-förmig fest miteinander verbundenen Linealen, auf denen sich ein drittes in bestimmter Weise bewegen kann. Es diente ihm damit als zusätzliches Hilfsmittel für die Dreiteilung des Winkels.
Pappos von Alexandria (im 4. Jh. n. Chr.) gehörte dem Kreis der alexandrinischen Neuplatoniker an. Seine Collectiones sind ein Sammelwerk in acht Büchern; bis auf das erste und den Anfang des zweiten sind sie allesamt erhalten geblieben. In der frühen Neuzeit entnahmen die europäischen Mathematiker den Collectiones viele Anregungen, enthalten sie doch wichtige Auszüge aus den Schriften von Euklid, Apollonios, Archimedes und anderen Mathematikern. Pappos erweiterte diese Auszüge um kritische Kommentare und teils eigene Ergänzungen. Er zeigte u. a. zwei unterschiedliche Varianten für die Lösung der Winkeldreiteilung mit Hilfsmitteln – eine pragmatische mit einem markierten Lineal als zusätzlichem Hilfsmittel, sprich eine Neusis-Konstruktion (siehe hierzu den Abschnitt Die Methode des Pappos) und eine zweite, in der er die Hyperbel als Trisektrix nutzte.
Früh- bis Spätmittelalter Bearbeiten
Ahmad ibn Mûsâ lebte Mitte des 9. Jahrhunderts in Bagdad und war einer der drei Brüder, die sich Banū Mūsā nannten. Er war Astronom und Mathematiker. Seine Lösung zeigt zwei vorbestimmte Asymptoten einer Hyperbel, die durch einen gegebenen Punkt verläuft. Für die Drittelung des Winkels bedarf es eines markierten Lineals und somit einer Neusis-Konstruktion. Seine Lösung war der von Pappos’ Papierstreifenkonstruktion sehr ähnlich (siehe hierzu den Abschnitt Die Methode des Pappos).
Thabit ibn Qurra (826–901) aus Bagdad war anfangs Geldwechsler, fand Interesse an der Wissenschaft, wurde in Mathematik geschult und befasste sich auch mit Philosophie und Astronomie. Für seine Neusis-Konstruktion nutze er ebenfalls die Hyperbel. Seine Konstruktion war aber, im Gegensatz zu der von Ahmad ibn Mûsâ, exakter bezeichnet und ausführlicher begründet. Auch seine Lösung hatte große Ähnlichkeit mit Pappos Papierstreifenkonstruktion.
Ihren Höhepunkt erreichte die muslimische Astronomie und Trigonometrie im 15. Jahrhundert an der Sternwarte des Ulug Beg in Samarkand. Dort war al-Kaschi tätig, der sich eines geschickten Iterationsverfahrens bediente, um mit großer Genauigkeit aus der Winkeldreiteilungsgleichung den Sinus von zu berechnen. Im Prinzip ging er folgendermaßen vor. Da sich beliebig exakt bestimmen ließ (man konnte ihn z. B. aus der Differenz von am Fünfeck und am Sechseck mit Zirkel und Lineal konstruieren), verwendete er die Winkeldreiteilungsgleichung
In dieser trigonometrischen Schreibweise findet sie sich erstmals am Ende des 16. Jahrhunderts bei Vieta. Sie ist vom Typus (in der damaligen Klassifikation wurden die Koeffizienten – hier , – als positiv vorausgesetzt). Al-Kaschi berechnete die erste Näherung aus zu . Die zweite Näherung folgt dann analog aus usw., wobei sich als Besonderheit ergibt, dass sich mit jedem Schritt eine weitere Sexagesimalstelle exakt ermitteln lässt. Das Ergebnis al-Kaschis, in Dezimalschreibweise umgerechnet, liefert 18 Stellen:
Eine große Anzahl arabischer Handschriften befindet sich noch ungesichtet in orientalischen Bibliotheken, so dass die Forschung bisher kein vollständiges Bild der Entwicklung und des erreichten Wissens erarbeiten konnte.
Renaissance bis Neuzeit Bearbeiten
Albrecht Dürer steuerte als Mathematiker ebenfalls zur Theorie der Winkeldreiteilung bei. Neben guten Näherungskonstruktionen für das reguläre 7-, 9-, 11- und 13-Eck finden sich im 2. Buch seiner Underweysung auch die näherungsweise Winkeldreiteilung. Sie wurde 1931 mit mehreren anderen Näherungslösungen der gleichen Aufgabe verglichen und dabei wurde gezeigt, dass sie nirgends um mehr als etwa 20 Bogensekunden vom genauen Wert abweicht und damit alle anderen späteren Lösungsvorschläge übertrifft. Dürers Konstruktionsidee lässt sich zudem leicht iterieren und liefert nach einigen Schritten eine sehr hohe Genauigkeit. Bei allem ist sich Dürer des grundlegenden Unterschiedes zwischen exakten, er nennt sie demonstrative, und Näherungslösungen, er nennt sie mechanice, jederzeit bewusst und hebt sich damit sogar von den meisten professionellen Mathematikern seiner Zeit ab.
Die erste Person, die den Nachweis der Unlösbarkeit des Problems – allein mit Zirkel und Lineal – erbrachte, war Pierre-Laurent Wantzel im Jahr 1837. Es wird von Historikern jedoch bezweifelt, dass Wantzel als Erster um einen Beweis wusste, da schon der junge Carl Friedrich Gauß sehr wahrscheinlich über einen solchen verfügt hat. Ein großer Teil seines 1801 erschienenen Werkes Disquisitiones arithmeticae ist der Frage gewidmet, welche Bedingungen eine Polynomgleichung erfüllen muss, um durch quadratische Radikale lösbar zu sein. Dort finden sich auch die nach Gauß benannten Sätze, mit deren Hilfe für die meisten klassischen Aufgaben die Unlösbarkeit mit Zirkel und Lineal nachgewiesen werden kann. Mit den von ihm entwickelten Techniken bewies Gauß zum Beispiel, dass sich das 17-Eck mit Zirkel und Lineal konstruieren lässt. Die Tatsache, dass Wantzel trotzdem von vielen Autoren als Urheber der Sätze genannt und zitiert wird, führen die Mathematikhistoriker Christoph Scriba und Peter Schreiber auf die „Kommunikationsschwierigkeiten“ der Wissenschaft des 19. Jahrhunderts zurück.
Beweis der Unmöglichkeit Bearbeiten
Geschichte des Beweises Bearbeiten
Pierre Wantzel veröffentlichte 1837 einen Beweis, dass es im Allgemeinen unmöglich ist, einen Winkel mit Zirkel und Lineal in drei gleiche Teile zu zerlegen. Sein Beweis benutzt, wenn man es in moderner Terminologie ausdrückt, Körpererweiterungen, wie sie in der abstrakten Algebra und insbesondere in der Galoistheorie behandelt werden. Wantzel veröffentlichte diese Ergebnisse früher als Galois (dessen Werk 1846 herauskam) und benötigte dabei nicht den Zusammenhang zwischen Körpererweiterungen und Gruppen, mit dem sich die Galoistheorie befasst. Sein Beweis beruhte auf folgenden algebraischen Überlegungen:
Die Unmöglichkeit der Konstruktion folgt nun als Korollar aus den Sätzen 1 bis 3: Wäre, beginnend mit den Strecken 0, 1 und , die Dreiteilung eines Winkels mit Zirkel und Lineal möglich, so müsste Nullstelle eines irreduziblen Polynoms über sein, das als Grad eine Zweierpotenz hat. Das Polynom ist im Allgemeinen irreduzibel über , hat aber den Grad 3. Dies ist ein Widerspruch.
Es ist zu beachten, dass Wantzels Originalpublikation von dem Mathematikhistoriker Jesper Lützen als lückenhaft und schwer zu verstehen angesehen wird – dies betrifft vor allen Dingen den „Beweis“ des Hauptsatzes 3. Von Lützen wurden die Lücken im Nachhinein geschlossen und die Resultate, wie oben beschrieben, in moderner Fachsprache formuliert. Wantzels Beweis für die Unmöglichkeit, die Dreiteilung des Winkels und die Verdoppelung des Würfels mit Lineal und Zirkel zu konstruieren, war nach seiner Veröffentlichung im Jahr 1837 fast ein Jahrhundert lang vergessen. Laut Lützen waren dabei die „mangelnde Berühmtheit des Autors“, die „Tatsache, dass einige seiner Zeitgenossen das Ergebnis als bekannt oder sogar als bewiesen ansahen“, und dass „das Ergebnis zum Zeitpunkt seiner Veröffentlichung nicht als wichtiges mathematisches Ergebnis angesehen wurde“, die treibenden Gründe.
Algebraischer Beweis Bearbeiten
Das Problem der Konstruktion eines Winkels von gegebener Größe ist äquivalent zur Konstruktion zweier Strecken, deren Längen im Verhältnis stehen. Die Lösung eines dieser beiden Probleme mit Zirkel und Lineal ergibt die Lösung des anderen. Mithilfe der Formel zum Kosinus des dreifachen Winkels
lässt sich eine algebraische Gleichung aufstellen, die die Werte und in Verbindung bringt. Daraus folgt, dass das Problem der Winkeldreiteilung äquivalent dazu ist, eine bestimmte Strecke zu konstruieren, bei der das Verhältnis zwischen Streckenlänge und Längeneinheit gleich einer Lösung einer bestimmten kubischen Gleichung ist. Damit ist das ursprünglich geometrische Problem auf ein rein algebraisches Problem zurückgeführt. Zu beachten ist hierbei, dass neben den zu Beginn einer Konstruktion mit Zirkel und Lineal zur Verfügung stehenden Strecken 0 und 1 noch auf die Strecke zugegriffen werden kann, da auch der Startwinkel bekannt ist. Dabei ist es insbesondere für die Fragestellung, ob zu gedrittelt werden kann, unerheblich, ob selbst aus 0 und 1 mit Zirkel und Lineal hätte konstruiert werden können.
Die kubische Gleichung kann einfach aus der Formel von De Moivre für die komplexe Exponentialfunktion gefolgert werden. Nach der Eulerschen Formel gilt
und durch beidseitiges Potenzieren mit 3 kann die Gleichung über einen Vergleich der Realteile und abgelesen werden. Dabei bezeichnet die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen.
Im Detail kann der Beweis der Unmöglichkeit der Winkeldreiteilung über folgende Ideen aus der Algebra vollzogen werden. Es seien eine Menge von Punkten (komplexen Zahlen), die mindestens 0 und 1 enthält, und ein beliebiger Punkt gegeben. Es ist für diese Überlegungen von Wichtigkeit, dass die komplexen Zahlen als Ebene aufgefasst werden können – im Gegensatz dazu werden die reellen Zahlen schlicht als Gerade aufgefasst. Dann gilt, dass der Punkt genau dann mit Zirkel und Lineal aus den Punkten konstruierbar ist, wenn er in einem Körper (dabei ist der Körper der komplexen Zahlen) liegt, der durch Adjunktion einer Quadratwurzel aus dem Körper
hervorgeht. Dabei ist grob gesprochen die Menge, die durch Bilden aller Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten aus rationalen Zahlen mit entsteht. Hier ist die Menge der komplex Konjugierten aller Elemente von und das Symbol steht für die Vereinigung zweier Mengen. Adjunktion einer Quadratwurzel bedeutet, dass es ein geben muss, so dass . Zum Beispiel geht durch die Adjunktion einer Quadratwurzel aus den rationalen Zahlen hervor, da eine rationale Zahl ist – entsprechend ist die Menge aller Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten rationaler Zahlen mit der Zahl . Bei handelt es sich um eine sogenannte Körpererweiterung. Das Problem der Winkeldreiteilung mittels Zirkel und Lineal lässt sich also auf die Frage reduzieren, ob die Zahl in einem Teilkörper von liegt, der aus durch sukzessive Adjunktion von Quadratwurzeln gewonnen werden kann. Das bedeutet jedoch, dass der Erweiterungsgrad von aus eine Potenz von 2 sein muss. Es ist aber im Allgemeinen
womit es unmöglich ist, die Winkeldreiteilung mittels Zirkel und Lineal vorzunehmen. Dass die Körpererweiterung im Allgemeinen vom Grad 3 ist, kann wie folgt gesehen werden: Wäre das Polynom für reduzibel über den rationalen Zahlen, müsste es eine rationale Nullstelle besitzen. Wegen kann äquivalenterweise studiert werden. Nach dem Satz über rationale Nullstellen kommen nur die Werte , , und als rationale Nullstellen dieser Gleichung in Frage. Alle diese Werte können durch Einsetzen als Nullstelle ausgeschlossen werden. Somit muss irreduzibel über sein, und das Minimalpolynom von über hat den Grad 3.
Es kann gezeigt werden, dass sich der Winkel nicht mit Zirkel und Lineal dreiteilen lässt, falls eine transzendente Zahl ist.
Winkel, für die die Dreiteilung mit Zirkel und Lineal möglich ist, werden als drittelbare Winkel bezeichnet.
Abzählbarkeit der Menge der drittelbaren Winkel Bearbeiten
Wie oben gesehen, ist der Winkel , also 60°, zwar konstruierbar, aber nicht drittelbar. Allgemein können die zueinander unabhängigen Eigenschaften konstruierbar und drittelbar auf vier verschiedene Weisen kombiniert werden, und es stellt sich die Frage, wie häufig jeder Fall auftritt. Es wird damit nach der Wahrscheinlichkeit gefragt, mit der diese vier Fälle für zufällig gewählte Winkel eintreffen.
- Der Winkel ist konstruierbar und drittelbar. Dann ist der Winkel ebenfalls konstruierbar (und zwar auch ohne zu verwenden). Beispiele: Vielfache von 9° (siehe Grafik in Klassisches Problem).
- Der Winkel ist konstruierbar, aber nicht drittelbar (der Winkel ist dann nicht konstruierbar). Beispiel: 60° (wie gerade gezeigt).
- Der Winkel ist nicht konstruierbar, aber drittelbar (der Winkel ist dann ohne Verwendung von nicht konstruierbar, mit aber schon). Beispiel (siehe Grafik rechts): Winkel mit .
- Der Winkel ist weder konstruierbar, noch drittelbar (der Winkel ist dann nicht konstruierbar, auch nicht unter Verwendung von ). Beispiele: Jeder Winkel , für den transzendent ist (siehe Algebraischer Beweis).
Um abzuschätzen, wie häufig die jeweiligen Fälle auftreten, kann die Mächtigkeit der vier Winkelklassen untersucht werden. Die ersten drei Klassen liefern nur abzählbar viele Winkel. Für die ersten beiden Klassen folgt dies unmittelbar: Jede konstruierbare Zahl ist algebraisch und daher gibt es nur abzählbar viele konstruierbare Zahlen. Es ist jedoch im dritten Fall nicht sofort klar, dass für jeden drittelbaren Winkel die Zahl immer algebraisch ist. Da aber Winkel mit transzendentem nicht drittelbar sind (4. Fall), folgt die Algebraizität von im Umkehrschluss.
Der Kosinus jedes drittelbaren Winkels ist also algebraisch und daher gibt es nur abzählbar viele drittelbare Winkel. Im Gegensatz dazu enthält die vierte Klasse überabzählbar viele Winkel (da es überabzählbar viele transzendente Zahlen im Intervall gibt). Ein zufällig gewählter Winkel kann also fast sicher mit Zirkel und Lineal nicht gedrittelt werden. Dennoch liegen sowohl drittelbare, als auch nicht drittelbare Winkel in dicht. Es gibt also in beliebig kleinen Umgebungen eines jeden Winkels sowohl drittelbare, als auch nicht drittelbare Winkel. Um das zu zeigen, reichen bereits Winkel der Form für natürliche Zahlen und (für drittelbare Winkel) und Winkel der Form (für nicht drittelbare Winkel).
Verallgemeinerung Bearbeiten
Die allgemeinere Frage, für welche natürliche Zahlen die -Teilung beliebiger Winkel möglich ist, hat keine überraschende Antwort: Es gibt nur die fortgesetzte Winkelhalbierung als allgemeines -Teilungsverfahren und daher muss eine Zweierpotenz sein (Beispiel: dreimaliges Halbieren eines Winkels ergibt die Achtelung des Winkels). Das kann man wie folgt einsehen: Wenn es ein allgemeines Verfahren für ein gibt, das einen Primfaktor > 2 hat, dann könnte man den Vollkreis durch zweimaliges Anwenden des Verfahrens in gleiche Winkel aufteilen und so ein regelmäßiges Polygon mit Ecken konstruieren. Das widerspricht aber der Bedingung für konstruierbare regelmäßige Polygone (die Primteiler > 2 dürfen jeweils nur einmal vorkommen). Daher hat keinen Primfaktor > 2 und muss eine Zweierpotenz sein.
Für Winkel dieser Art gibt es auch ein allgemeines Ergebnis: ( für Eckenanzahl eines Vielecks) lässt sich genau dann in gleich große Winkel teilen, wenn das Produkt einer Zweierpotenz und paarweise verschiedener Fermatscher Primzahlen ist, die nicht teilen. Man kann also beispielsweise (siehe Grafik rechts) den zu Beginn gegebenen Zentriwinkel eines regelmäßigen Vierzehnecks mit Zirkel und Lineal in , in und auch in gleich große Winkel teilen.
Lösungsversuche durch Amateure Bearbeiten
Obwohl also die Unmöglichkeit der Dreiteilung eines beliebigen Winkels allein mit Zirkel und Lineal schon lange bekannt ist, werden bis in die Gegenwart mathematische Zeitschriften und Fakultäten mit Beweisversuchen von Amateuren überhäuft. Underwood Dudley, der das Phänomen analysierte, beschreibt den typischen Trisektor als älteren Mann, der in seiner Jugend von dem Problem hörte (es ist von den drei klassischen Problemen wahrscheinlich das für Laien zugänglichste) und im Ruhestand daran tüftelte. Dudley, der hunderte ihrer Beweisversuche sammelte, fand nur zwei Frauen unter den Winkeldreiteilern.
Ein weiteres Kennzeichen sei, so Dudley, dass Laien die Bedeutung von „unmöglich“ in der Mathematik nicht verstünden und dies stattdessen eher als Herausforderung sähen. Typischerweise hätten sie nur geringe Mathematikkenntnisse, dies müsse aber nicht unbedingt heißen, dass die Fehler in ihren Konstruktionen einfach zu finden sind. Charakteristischerweise seien ihre Diagramme sehr komplex, könnten aber mit geometrischen Kenntnissen häufig drastisch vereinfacht werden. Des Weiteren seien sie von der Wichtigkeit ihrer Lösungen für technische Anwendungen überzeugt, was wiederum für viele Patent- und Geheimhaltungsfragen nicht unwichtig ist.
Nachdem Dudley viele Methoden im Umgang mit hartnäckigen Winkeldreiteilern ausprobiert hatte, empfahl er, deren Arbeit als Beitrag zu einer besseren Näherungslösung an das Problem zu loben (wahlweise für deren Einfachheit oder Eleganz). Darüber hinaus soll man ihnen einen Computerausdruck, der den Fehler des Versuchs für verschiedene Winkel aufzeigt, zukommen lassen sowie Beispiele von „Näherungslösungen“ anderer Winkeldreiteiler.
Nichtklassische Verfahren Bearbeiten
Beschränkt man sich nicht auf die klassischen Konstruktionvorschriften für Zirkel und Lineal, sondern lässt darüber hinaus die Verwendung anderer Konstruktionswerkzeuge und mathematischer Hilfsobjekte zu oder begnügt sich auch mit Näherungslösungen, so ergibt sich eine Vielzahl von möglichen Verfahren, einen beliebigen Winkel dreizuteilen. In den folgenden Abschnitten werden einige von ihnen beispielhaft vorgestellt.
Die Methode des Archimedes Bearbeiten
Archimedes war ein Pragmatiker, er gab zwar eine Lösung in seinem Liber Assumptorum an, aber er und ebenso die nachfolgenden Autoren ließen in den Überlieferungen seiner Werke die Vorgehensweise der sogenannten Einschiebung (Neusis) offen.
Es sei der dreizuteilende Winkel wie in nebenstehender Zeichnung. Gehe dann wie folgt vor:
- Schlage einen Halbkreis um mit beliebigem Radius .
- Am Lineal bringe zwei Markierungen im Abstand an.
- Lege das Lineal so an , dass eine der beiden Markierungen auf der Geraden im Punkt und die andere auf der Kreislinie im Punkt liegt, und zeichne die Strecke bzw. .
- Der Winkel bei ist der gesuchte Drittelwinkel.
Zur Begründung beachte man, dass wegen der speziellen Positionierung des Lineals die Länge der Strecke gleich dem Abstand der Markierungen ist, also gleich dem Radius des Kreises, der sich auch als und wiederfindet. Insbesondere ist das Dreieck gleichschenklig, weshalb der Winkel auch bei auftritt. Der Winkel des Dreiecks bei ist einerseits gleich (Winkelsumme im Dreieck), andererseits der Nebenwinkel von , also ist . Da das Dreieck ebenfalls gleichschenklig ist, taucht der Winkel auch bei auf, und der Winkel dieses Dreiecks bei ist gleich . Beachtet man nun, dass sich die Winkel bei zu addieren, ergibt sich .
Dass mit dieser Methode jeder Winkel wie bewiesen dreigeteilt werden kann, steht nicht in Widerspruch zur Unlösbarkeit des klassischen Problems, denn die obige Konstruktion wurde nicht nach den klassisch geforderten Regeln durchgeführt. Eine Markierung am Lineal und ein geschicktes Anlegen des Lineals entsprechen keinen klassischen Konstruktionsmethoden. Es wurde also ein abweichender Instrumentensatz verwendet und die möglichen Konstruktionen sind vom Instrumentensatz abhängig.
Die Methode des Pappos Bearbeiten
Aus dem späten Altertum stammt die im Folgenden beschriebene Neusis-Konstruktion des Pappos zur Dreiteilung spitzer Winkel.
Zu teilen sei der Winkel , vgl. die rechte Abbildung:
Nach dem Zeichnen der beiden Winkelschenkel und wird eine beliebige Länge als Strecke auf dem Schenkel bestimmt. Eine Parallele zu ab sowie das Lot ab mit Fußpunkt auf schließen sich an. Nun wird das Lineal, auf dem die Länge gleich markiert ist, so lange verschoben, bis der Eckpunkt auf der Parallelen zu liegt, die Länge die Strecke in schneidet und dabei die Kante des Lineals durch den Scheitel verläuft. Der so gefundene Winkel ist der gesuchte Winkel
Denn dieser Winkel ist als Wechselwinkel gleich dem Umfangswinkel der Kreissehne und nach dem Kreiswinkelsatz ist der zugehörige Mittelpunktswinkel gleich Weil das Dreieck gleichschenklig ist, gilt auch Dieser Winkel ist aber gleich der Differenz also gilt und daraus folgt
Die gestrichelten Linien und der Mittelpunkt sind für die Konstruktion nicht erforderlich, sie dienen lediglich der Beweisführung.
Teilung mit Tomahawk Bearbeiten
Der Tomahawk ist eine Figur, die aus mathematischer Sicht aus zwei aufeinander senkrecht stehenden Strecken und einem an einer der Geraden anliegenden Halbkreis besteht; das hintere Ende ist dabei so lang wie der Radius des Halbkreises (siehe Zeichnung). Die Bezeichnung Tomahawk rührt daher, dass die Figur vage an einen Tomahawk (eine indianische Streitaxt) erinnert. Um einen Winkel mit Hilfe des Tomahawks dreizuteilen, muss man ihn so positionieren (siehe Bild 1), dass sein „Stiel“ (Griff des Tomahawks) durch den Winkelscheitel geht, während der Halbkreis (die Klinge des Tomahawks) und der „Haken“ (die hintere Spitze des Tomahawks) jeweils die Schenkel des Winkels berühren. In dieser Position bildet der Stiel mit einem der Schenkel einen Winkel, der genau ein Drittel des Ausgangswinkels beträgt. Die Verbindung des Mittelpunktes des Halbkreises mit der Winkelspitze teilt das zweite und dritte Drittel des Ausgangswinkels. Da der Tomahawk eine Figur ist, die angelegt werden muss, ist diese Methode nicht mit den klassischen Konstruktionsregeln (Lineal und Zirkel) konform.
Ist eine direkte Dreiteilung eines Winkels mithilfe eines Tomahawks nicht möglich, weil der gegebene Winkel zu klein ist, um den Tomahawk positionieren zu können, so lässt sich die Dreiteilung des kleinen Winkels aus der Dreiteilung des zugehörigen großen Nebenwinkels konstruieren. Betrachtet man einen Winkel mit seinem Nebenwinkel an einem Halbkreis mit Radius , so erhält man wegen einen konstanten Winkel, der nicht von der Größe des Winkels abhängt (siehe Bild 3). Dieser -Winkel ist Bestandteil eines gleichschenkligen Dreiecks, dessen Höhe beträgt. Damit ergibt sich dann die im nächsten Absatz beschriebene Konstruktion.
Es beginnt (siehe Bild 4) mit dem Einzeichnen des Durchmessers , dessen Halbierung in und dem Ziehen des Halbkreises über . Es folgt das Eintragen des gegebenen Winkels mit seinen beiden Winkelschenkeln. Nun wird der Tomahawk folgendermaßen positioniert: der „Haken“ liegt auf der Strecke der Halbkreis berührt den oberen Winkelschenkel und der „Stiel“ verläuft durch den Mittelpunkt Mit dem Einzeichnen der beiden Strecken und erhält man die Dreiteilung des Supplementwinkels . Um eine Dreiteilung des Winkels zu erzielen, wird nun der Punkt auf den Kreisbogen gespiegelt. Hierzu wird der Radius in halbiert und ein Halbkreis um ab gezogen, daraus ergibt sich der Schnittpunkt . Abschließend bedarf es noch eines Halbkreises um mit Radius , des Schnittpunktes und der geraden Linie ab durch bis zum Kreisbogen . Der so erzeugte Schnittpunkt ist eine Spiegelung des Punktes an der virtuellen Strecke . Somit ist der konstruierte Winkel exakt ein Drittel des gegebenen Winkels .
Teilung mit einem rechtwinkligen dreieckigen Lineal Bearbeiten
Im Jahr 1932 veröffentlichte Ludwig Bieberbach seine Arbeit Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen. Er führt darin aus:
„Im folgenden soll gezeigt werden, daß man alle kubischen Konstruktionen lösen kann, wenn man neben üblichem Gebrauch von Zirkel und Lineal noch folgende Verwendung des Rechtwinkelhakens gestattet: Er ist so hinzulegen, daß sein einer Schenkel durch einen gegebenen Punkt geht, daß sein anderer Schenkel einen gegebenen Kreis berührt, sein Scheitel aber auf einer gegebenen Gerade liegt, wo er den neu zu konstruierenden Punkt markiert.“
Der Winkel soll gedrittelt werden. Setzt man
führt dies zur Gleichung
Die folgende Beschreibung der nebenstehenden animierten Konstruktion – angelehnt an die von Bieberbach – enthält deren Weiterführung bis zur vollständigen Dreiteilung des Winkels.
Es beginnt mit dem ersten Einheitskreis (Basis für Bieberbachs Beweisführung, prinzipiell ist auch ein Kreis mit beliebigem Radius zielführend) um seinen Mittelpunkt , dem ersten Winkelschenkel und dem daran anschließenden zweiten Einheitskreis um . Nun wird der Durchmesser ab bis zur Kreislinie des zweiten Einheitskreises verlängert, dabei ergibt sich der Schnittpunkt . Es folgen der Kreisbogen um mit dem Radius und das Einzeichnen des zweiten Winkelschenkels des zu drittelnden Winkels , dabei ergibt sich der Punkt .
Jetzt kommt das so genannte zusätzliche Konstruktionsmittel zum Einsatz, im dargestellten Beispiel ist es das Geodreieck. Dieses legt man jetzt auf folgende Art und Weise auf die Zeichnung: Der Scheitel des Winkels bestimmt auf dem Winkelschenkel den Punkt , eine Kathete des Dreiecks verläuft durch den Punkt und die andere tangiert den Einheitskreis um . Nach dem Verbinden des Punktes mit und dem Einzeichnen der Tangente ab an den Einheitskreis um zeigt sich der oben genannte Rechtwinkelhaken. Der von den Strecken und eingeschlossene Winkel ist somit exakt . Es geht weiter mit der Parallelen zu ab , dabei ergeben sich der Wechselwinkel oder Z-Winkel und der Punkt auf dem Kreisbogen um . Eine weitere Parallele zu ab bestimmt den Berührungspunkt der Tangente an den Einheitskreis um . Abschließend noch eine gerade Linie von durch ziehen, bis sie den Kreisbogen um in schneidet.
Somit ist der Winkel wegen exakt gedrittelt.
Kurven Bearbeiten
Als Trisektrix bezeichnet man eine Kurve, die das exakte Dritteln eines Winkels mit Zirkel und Lineal ermöglicht. Die Existenz beziehungsweise Konstruierbarkeit der Kurve mit anderen Mitteln als Zirkel und Lineal ist hierbei gegeben und unter Zuhilfenahme dieser Kurve als einziges zusätzliches Hilfsmittel ist es dann möglich, einen Winkel zu dritteln. Im Gegensatz zur reinen Konstruktion mit Zirkel und Lineal können Punkte so nicht nur durch den Schnitt von Geraden und Kreisen konstruiert werden, sondern auch durch den Schnitt von Geraden und Kreisen mit der gegebenen Kurve. Die Gesamtheit der Kurvenpunkte selbst ist dabei aber nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar, weshalb die Verwendung einer solchen Kurve eine Verletzung der klassischen Regeln zur Winkeldreiteilung darstellt.
Dreiteilung unterschiedlicher Winkel mithilfe der Sinuskurve Bearbeiten
→ Hauptartikel: Sinus und Kosinus
Hung Tao Sheng veröffentlichte im Jahr 1969 im Mathematics Magazine den Artikel A Method of Trisection of an Angle and X-Section of an Angle. Darin beschreibt u. a. eine Methode die zur Dreiteilung eines beliebigen Winkels die Sinuskurve verwendet.
Vorgehensweise
Es beginnt mit dem Viertelkreis um mit Radius gleich und der Verlängerung der Strecke über hinaus. Beim Eintragen der Sinuskurve mittels Schablone oder einer sogenannten Dynamische-Geometrie-Software (DGS) ergibt sich auf der Verlängerung die Kreiszahl als Schnittpunkt. Der zu drittelnde Winkel wird mit den Winkelschenkeln und bestimmt.
Es folgt eine Parallele zu ab bis sie die Sinuskurve im 2. Quadranten im Punkt schneidet. Das anschließend gefällte Lot ab hat den Fußpunkt . Die darauffolgende Dreiteilung des Abstandes erzeugt, unter Verwendung des ersten Strahlensatzes, die Teilungspunkte und . Die Übertragung dieser Punkte auf die Sinuskurve ergeben die Schnittpunkte und . Schließlich liefern die zwei Parallelen zu ab und mit den Schnittpunkten und die Dreiteilung des gegebenen Winkels .
Dreiteilung unterschiedlicher Winkel mithilfe einer einzigen Hyperbel Bearbeiten
Hyperbelgleichung
die Kreissehne (grün) ist konstant
→ Hauptartikel: Hyperbel, Hyperbel als Trisektrix
Im Jahr 1902 veröffentlichte K. Matter den Aufsatz Zur Trisektion des Winkels. Darin zeigt er eine Methode, die es ermöglicht, mit nur einer Hyperbel unterschiedliche Winkel zu dritteln.
„Eine von der […] allgemeinen Methode etwas abweichende, hübsche und einfache geometrische Lösung unseres Problems der Dreiteilung des Winkels ist die folgende, bei welcher die Konstruktion einer einzigen Hyperbel in Verbindung mit einem Kreis nötig wird.“
Auswahl der bekanntesten Trisektrizes Bearbeiten
- Trisektrix des Hippias (5. Jahrhundert v. Chr.) sowie die
- Spirale des Archimedes (3. Jahrhundert v. Chr.) gehören zu den ältesten Beispielen für solche Kurven.
- Hyperbel als Trisektrix, diese Kurve nutzte Pappos im 4. Jahrhundert n. Chr. zur Lösung dieses Problems.
- Parabel als Trisektrix, beschrieben von René Descartes in seinem Werk La Geometria aus dem Jahr 1637.
- Pascalschnecke als Trisektrix, gefunden vom französischen Juristen Étienne Pascal um das Jahr 1637.
- Zykloide von Ceva, entdeckt vom italienischen Jesuiten Tommaso Ceva (1648–1736), ermöglicht ebenfalls, einen beliebigen Winkel zu dritteln.
- Maclaurin-Trisektrix, wurde von Colin Maclaurin im Jahr 1742 untersucht.
- Trisektrix von Longchamps, stammt vom französischen Mathematiker Gohierre de Longchamps (1842–1906).
Dreiteilung des Winkels mit Origami Bearbeiten
Während die Dreiteilung des Winkels mit den klassischen Instrumenten der Geometrie nicht möglich ist, kann die Aufgabe mit der Papierfalttechnik Origami – so wie die Würfelverdoppelung – gelöst werden. Verwendet wird hierfür ein rechteckiges oder quadratisches Blatt Papier. Für die Dreiteilung eines Winkels bedarf es sechs Faltungen des Blattes.
Zuerst wird das Blatt in der Mitte gefaltet (siehe Bild 1), dabei ergeben sich an den beiden Blattkanten die Punkte und Alternativ kann auch mit einer frei wählbaren Länge der Strecke festgelegt werden. Es folgt die Falte sie halbiert die Strecke Punkt wird nun nach Belieben (siehe Bild 2) auf der Strecke bestimmt und im Anschluss das Blatt von bis gefaltet. Damit ergibt sich der Winkel am Scheitel
Jetzt folgt die maßgebende vierte Faltung (siehe Bild 3) zur Dreiteilung des Winkels , indem man zuerst die Ecke auf die Falte und den Punkt auf die Falte legt. Nach dem Markieren des Punktes auf das Blatt, wird die Ecke zurückgebogen und der Schnittpunkt markiert – entstanden durch die vierte Falte mit – das Blatt hat so wieder seine rechteckige Form.
Abschließend (siehe Bild 4) noch die Falte von durch sowie die von durch knicken. Die Faltlinien und teilen den Winkel in drei (exakt) gleiche Teile.
Dreiteilung des Winkels mithilfe eines flexiblen Lineals Bearbeiten
In dieser Methode wird auf einer zylindrischen Mantelfläche eine Schraubenlinie (Helix) aufgetragen, die von einer dreidimensionalen Linie an vier Stellen geschnitten wird. Die beiden inneren Schnittpunkte dritteln den Winkel, der durch die beiden äußeren vorgegeben ist. Bei genauer Betrachtung sieht man die Ähnlichkeit der Konstruktion mit der Methode Quadratrix des Hippias. Anstatt der euklidischen Werkzeuge – Zirkel und Lineal – werden hierfür ein zylindrischer Körper mit gegebenem Kreismittelpunkt des Zylinders, ein flexibles Lineal (z. B. Rollbandmaß) und z. B. ein Anschlagwinkel verwendet.
Vorgehensweise
Zuerst wird vom Kreismittelpunkt der Winkelschenkel eingezeichnet (siehe Bild 1) und der zu drittelnde Winkel mittels des Winkelschenkels bestimmt. Es folgt das Einzeichnen der beiden (roten) Strecken und auf die Mantelfläche mithilfe des flexiblen Lineals oder alternativ z. B. mithilfe eines (rechtwinkligen) Anschlagwinkels.
Es geht weiter mit dem Auftragen der Schraubenlinie (grün) auf die zylindrische Mantelfläche (siehe Bild 2). Das flexible Lineal wird an die Zylinderkante gelegt und fixiert. Es folgen fünf Wicklungen mit gleicher Ganghöhe sie entspricht der Breite des Lineals. Das Einzeichnen der Schraubenlinie geschieht bei schrittweisem Abwickeln, jeweils an der freien Kante des Lineals. Nun werden die Schnittpunkte mit der ersten Wicklung der Schraubenlinie und mit der vierten Wicklung markiert.
Das flexible Lineal wird nun so auf die zylindrische Mantelfläche (siehe Bild 3) gesetzt, dass die Kante des Lineals durch die Punkte und verläuft. Nach dem Einzeichnen der Kurvenlinie (hellblau) durch und folgt das Markieren der Schnittpunkte und auf der Schraubenlinie. In diesem Fall ist diese Linie – ebenfalls eine Schraubenlinie mit einer sehr großen Ganghöhe – die kürzeste Verbindung der beiden Punkte und Abschließend werden mithilfe des flexiblen Lineals, oder alternativ z. B. mithilfe eines Anschlagwinkels, die Strecken