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Konchoide

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Die Konchoide (die „Muschelähnliche“ – wie lat. concha von griech. κόγχη bzw. κόγχος, Muschel) ist eine spezielle ebene Kurve. Sie beschreibt die Bewegung eines Punktes, der – von einem festen Punkt (Pol) aus gesehen – zu einer gegebenen Kurve konstanten Abstand einhält.

Eigentliche Konchoide Bearbeiten

Sie war schon im antiken Griechenland bekannt und wird nach Nikomedes als Konchoide von Nikomedes bezeichnet. Ein anderer Name ist Muschelkurve. Der Name leitet sich daher ab, dass der Graph den zwei Schalen einer Muschel ähnelt.

Drei Typen der Konchoide des Nikomedes

Eigenschaften Bearbeiten

  • Die Punkte der Konchoide des Nikomedes sind gekennzeichnet durch die folgende geometrische Eigenschaft: Gegeben seien eine Gerade g („Leitgerade“), ein Punkt A, der von g den Abstand hat (mit ), und eine reelle Zahl (mit ). Dann liegen für einen beliebigen Punkt B der Geraden g die beiden Punkte P und P', die auf der Geraden AB liegen und von B die Entfernung haben, auf der Konchoide.
Konstruktion der Konchoide, konstanter Abstand b
  • Die Fälle sind ein Typ der Kurven, die mit dem Trivialnamen Hundekurve bezeichnet werden, insbesondere für ähnelt der eine Ast der eigentlichen Traktrix.

Im Folgenden wird jeweils vorausgesetzt, dass die Koordinatenachsen so liegen wie in der Skizze, also der Pol im Ursprung liegt.

  • Die Konchoide des Nikomedes ist achsensymmetrisch bezüglich der x-Achse. Im Allgemeinen liegen drei Kurvenpunkte auf der Symmetrieachse, nämlich , und der Ursprung.
    • Für ist der Ursprung ein isolierter Punkt.
    • Für fallen zwei der drei Punkte im Ursprung zusammen, für ist der Ursprung ein Doppelpunkt der Kurve, wird also zweimal durchlaufen, der Graph hat eine Schleife.
      • Die beiden Tangenten im Ursprung haben die Gleichungen

Gewöhnliche Konchoide Bearbeiten

Der Begriff der Konchoide lässt sich verallgemeinern:

Gegeben seien eine Kurve k (Leitkurve), ein Punkt A (Pol) und eine positive reelle Zahl b. Zu jedem beliebigen Punkt B, der auf der Kurve k liegt, betrachtet man nun die beiden Punkte, die auf der Geraden AB liegen und von B die Entfernung b haben. Die Menge aller dieser Punkte bezeichnet man als die Konchoide der Leitkurve.

Die einfachste Darstellung benutzt Polarkoordinaten: Liegt A im Ursprung, und sei , dann lautet die Gleichung der gewöhnlichen Konchoide:

Eigenschaften Bearbeiten

Alle gewöhnlichen Konchoiden sind Zissoiden, wobei die eine Kurve ein Kreis im Ursprung ist.

Eine Pascalsche Schnecke ist eine Konchoide, wobei die gegebene Kurve ein Kreis ist.

Allgemeine Konchoide Bearbeiten

Erweitert man die Bildungsregel, indem man den Abstand b nicht entlang der Geraden AB aufträgt, sondern entlang einer Geraden, die im Punkt B einen konstanten Winkel zu AB hat, erhält man die allgemeine Konchoide. Im Falle und ergibt sich die gewöhnliche Konchoide, anderenfalls spricht man von einer schiefen Konchoide.

Konchoidenverzahnung in der Getriebetechnik Bearbeiten

In der Getriebetechnik ist die sogenannte Konchoidenverzahnung eine von mehreren Techniken zur Verzahnung von Zahnrädern und Zahnstangen.

Anmerkungen Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Commons: Conchoid – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Konchoide In: Schülerduden – Mathematik II. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 2004, ISBN 3-411-04275-3, S. 211–212
  2. ↑ Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik - Band 3. Springer/Spektrum, 2-te Auflage 2017, S. 159–160 (online)
  3. ↑ Dörte Haftendorn: Kurven erkunden und verstehen: Mit GeoGebra und anderen Werkzeugen. Springer, 2016, ISBN 978-3-658-14749-5, S. 38–50
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Dieser Artikel oder nachfolgende Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen beispielsweise Einzelnachweisen ausgestattet Angaben ohne ausreichenden Beleg konnten demnachst entfernt werden Bitte hilf Wikipedia indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfugst Die Konchoide die Muschelahnliche wie lat concha von griech kogxh bzw kogxos Muschel ist eine spezielle ebene Kurve Sie beschreibt die Bewegung eines Punktes der von einem festen Punkt Pol aus gesehen zu einer gegebenen Kurve konstanten Abstand einhalt 1 2 Inhaltsverzeichnis 1 Eigentliche Konchoide 1 1 Eigenschaften 2 Gewohnliche Konchoide 2 1 Eigenschaften 3 Allgemeine Konchoide 4 Konchoidenverzahnung in der Getriebetechnik 5 Anmerkungen 6 Literatur 7 Weblinks 8 EinzelnachweiseEigentliche Konchoide BearbeitenSie war schon im antiken Griechenland bekannt und wird nach Nikomedes als Konchoide von Nikomedes bezeichnet 2 Ein anderer Name ist Muschelkurve 1 Der Name leitet sich daher ab dass der Graph den zwei Schalen einer Muschel ahnelt nbsp Drei Typen der Konchoide des Nikomedes 3 Kartesische Koordinaten x a 2 x 2 y 2 b 2 x 2 0 displaystyle x a 2 x 2 y 2 b 2 x 2 0 nbsp 2 Polarkoordinaten r a cos f b displaystyle r frac a cos varphi pm b nbsp 2 Parameterdarstellung x f a b cos f y f a tan f b sin f displaystyle x varphi a b cos varphi qquad y varphi a tan varphi b sin varphi nbsp 2 Eigenschaften Bearbeiten Die Punkte der Konchoide des Nikomedes sind gekennzeichnet durch die folgende geometrische Eigenschaft Gegeben seien eine Gerade g Leitgerade ein Punkt A der von g den Abstand a displaystyle a nbsp hat mit a gt 0 displaystyle a gt 0 nbsp und eine reelle Zahl b displaystyle b nbsp mit b gt 0 displaystyle b gt 0 nbsp Dann liegen fur einen beliebigen Punkt B der Geraden g die beiden Punkte P und P die auf der Geraden AB liegen und von B die Entfernung b displaystyle b nbsp haben auf der Konchoide 2 nbsp Konstruktion der Konchoide konstanter Abstand bDie Falle b a displaystyle b leq a nbsp sind ein Typ der Kurven die mit dem Trivialnamen Hundekurve bezeichnet werden insbesondere fur b a displaystyle b a nbsp ahnelt der eine Ast der eigentlichen Traktrix Im Folgenden wird jeweils vorausgesetzt dass die Koordinatenachsen so liegen wie in der Skizze also der Pol im Ursprung liegt Die Konchoide des Nikomedes ist achsensymmetrisch bezuglich der x Achse Im Allgemeinen liegen drei Kurvenpunkte auf der Symmetrieachse namlich a b 0 displaystyle a b 0 nbsp a b 0 displaystyle a b 0 nbsp und der Ursprung Fur b lt a displaystyle b lt a nbsp ist der Ursprung ein isolierter Punkt Fur b a displaystyle b geq a nbsp fallen zwei der drei Punkte im Ursprung zusammen fur b gt a displaystyle b gt a nbsp ist der Ursprung ein Doppelpunkt der Kurve wird also zweimal durchlaufen der Graph hat eine Schleife Die beiden Tangenten im Ursprung haben die Gleichungeny b 2 a 2 a x displaystyle y frac sqrt b 2 a 2 a x nbsp und y b 2 a 2 a x displaystyle y frac sqrt b 2 a 2 a x nbsp Fur b a displaystyle b a nbsp fallen beide Tangenten mit der x Achse zusammen Der Ursprung ist also eine eigentliche Spitze dd Gewohnliche Konchoide BearbeitenDer Begriff der Konchoide lasst sich verallgemeinern Gegeben seien eine Kurve k Leitkurve ein Punkt A Pol und eine positive reelle Zahl b Zu jedem beliebigen Punkt B der auf der Kurve k liegt betrachtet man nun die beiden Punkte die auf der Geraden AB liegen und von B die Entfernung b haben Die Menge aller dieser Punkte bezeichnet man als die Konchoide der Leitkurve 3 Die einfachste Darstellung benutzt Polarkoordinaten Liegt A im Ursprung und sei r f f displaystyle r f varphi nbsp dann lautet die Gleichung der gewohnlichen Konchoide 3 r f f b displaystyle r f varphi pm b nbsp Eigenschaften Bearbeiten Alle gewohnlichen Konchoiden sind Zissoiden wobei die eine Kurve ein Kreis im Ursprung ist Eine Pascalsche Schnecke ist eine Konchoide wobei die gegebene Kurve ein Kreis ist 3 Allgemeine Konchoide BearbeitenErweitert man die Bildungsregel indem man den Abstand b nicht entlang der Geraden AB auftragt sondern entlang einer Geraden die im Punkt B einen konstanten Winkel a displaystyle alpha nbsp zu AB hat erhalt man die allgemeine Konchoide Im Falle a 0 displaystyle alpha 0 nbsp und a p displaystyle alpha pi nbsp ergibt sich die gewohnliche Konchoide anderenfalls spricht man von einer schiefen Konchoide Konchoidenverzahnung in der Getriebetechnik BearbeitenIn der Getriebetechnik ist die sogenannte Konchoidenverzahnung eine von mehreren Techniken zur Verzahnung von Zahnradern und Zahnstangen Anmerkungen BearbeitenDie sogenannte Konchoide von de Sluze ist tatsachlich eine spezielle Zissoide Die sogenannte Konchoide von Durer ist eine allgemeinere Konstruktion Literatur BearbeitenDorte Haftendorn Kurven erkunden und verstehen Mit GeoGebra und anderen Werkzeugen Springer 2016 ISBN 978 3 658 14749 5 S 38 50 Gino Loria Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven deutsch von F Schutte Leipzig B G Teubner 1902 Heinrich Wieleitner Spezielle ebene 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