Konchoide von Dürer Die oder auch Muschellinie ist eine spezielle ebene algebraische Kurve Albrecht Dürer zeichnete sie

Konchoide von Dürer

Die Konchoide von Dürer, oder auch Muschellinie, ist eine spezielle ebene algebraische Kurve. Albrecht Dürer zeichnete sie erstmals in seinem Buch Underweysung der Messung (1. Buch, Abb. 38) und nannte sie „ein muschellini“.

hochkan=1

Gleichung Bearbeiten

Kartesische Koordinaten:
Parametergleichung (2 Kurvenäste):

(Der zweite Kurvenast wurde von Dürer nicht entdeckt.)

Eigenschaften Bearbeiten

Für entartet die Kurve zu dem Geradenpaar und einem Kreis .
Für entarten die beiden Kurvenäste zu der Geraden .
Für hat die Kurve eine Spitze bei .

Konstruktion Bearbeiten

Dürers Konchoide (Muschellinie), eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal, siehe Animation

Es beginnt mit dem Bestimmen des Punktes (siehe Bild) auf einer Geraden und dem Abtragen sowie Beschriften von sechzehn gleich langen Teilen ab . Anschließend wird mit dem Setzen des Punktes die Länge der Strecke mit ca. achtzehn dieser Teile festgelegt. Es folgt eine Senkrechte im Punkt der Strecke , auf dem wieder sechzehn Teile, gleich denen auf , aufzutragen sind.

Weiter geht es mit einem Strahl ab Punkt der Strecke der durch den Punkt der Senkrechten zu zu ziehen ist. Anschließend wird der Punkt des Kurvenastes (blau, beginnt im Punkt ) durch Abtragen der Strecke auf dem Strahl erzeugt. Für das Bestimmen der Punkte bis des Kurvenastes (blau) gilt Gleiches, dementsprechend beginnen dann die Strahlen in den Punkten bis der Strecke .

Die so erzeugte Schar von Linien liefert eine Parabel als Hüllkurve des Kurvenastes beginnend im Punkt und sechzehn Zwischenpunkte des Kurvenastes (blau) beginnend im Punkt .

Für eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal bedarf es noch des Eintragens der Kurvenbögen für den Kurvenast (blau); sie ergeben die Näherung (Approximation) eines Teils der Muschellinie. Um den Kreisbogen vom Punkt bis Punkt ziehen zu können, erzeugt man zuerst die (nicht eingezeichneten) Mittelsenkrechten der Abstände und . Die beiden Mittelsenkrechten treffen sich im (nicht eingezeichneten) Mittelpunkt des Kreisbogens . Anschließend wird der Kreisbogen mit Radius von bis Punkt gezogen. Der Mittelpunkt des Kreisbogens von Punkt bis wird mittels der bereits vorhandenen Mittelsenkrechten des Abstandes und der Mittelsenkrechten des Abstandes gefunden. Diese Vorgehensweise setzt man fort bis schließlich die Mittelsenkrechten der Abstände und den Mittelpunkt für den letzten Kreisbogen liefern.

Alternativ kann die Linie des Kurvenastes (blau) auch mithilfe eines Kurvenlineals erzeugt werden.

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Wikisource: Underweysung der Messung – Quellen und Volltexte

Information zur Kurve (engl.)

Einzelnachweise Bearbeiten

Ingmar Rubin: (PDF) 5 Parameterdarstellung der Kurve. zum, S. 8, archiviert vom Original am 14. Februar 2022; abgerufen am 25. September 2023.
Max Steck: Dürers Gestaltlehre der Mathematik und der bildenden Künste. Band 1. Max Niemeyer Verlag, Halle (Saale) 1948, 19. Conchoide oder Muschellinie, S. 37–38 (uni-heidelberg.de [abgerufen am 26. September 2023]).

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Veröffentlichungsdatum: November 30, 2023, 07:45 am

Die Konchoide von Durer oder auch Muschellinie ist eine spezielle ebene algebraische Kurve Albrecht Durer zeichnete sie erstmals in seinem Buch Underweysung der Messung 1 Buch Abb 38 und nannte sie ein muschellini hochkan 1Inhaltsverzeichnis 1 Gleichung 2 Eigenschaften 3 Konstruktion 4 Siehe auch 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseGleichung BearbeitenKartesische Koordinaten y 2 x y a y b 2 2 b 2 y 2 y x a 2 displaystyle y 2 xy ay b 2 2 b 2 y 2 y x a 2 nbsp Parametergleichung 2 Kurvenaste x t t b a t a 2 2 a t 2 t 2 y t b t a 2 2 a t 2 t 2 displaystyle x t t frac b a t sqrt a 2 2at 2t 2 y t frac bt sqrt a 2 2at 2t 2 nbsp x t t b a t a 2 2 a t 2 t 2 y t b t a 2 2 a t 2 t 2 displaystyle x t t frac b a t sqrt a 2 2at 2t 2 y t frac bt sqrt a 2 2at 2t 2 nbsp Der zweite Kurvenast wurde von Durer nicht entdeckt 1 Eigenschaften BearbeitenFur a 0 displaystyle a 0 nbsp entartet die Kurve zu dem Geradenpaar y b 2 displaystyle y pm b sqrt 2 nbsp und einem Kreis x 2 y 2 b 2 displaystyle x 2 y 2 b 2 nbsp Fur b 0 displaystyle b 0 nbsp entarten die beiden Kurvenaste zu der Geraden y 0 displaystyle y 0 nbsp Fur b 2 a displaystyle b 2a nbsp hat die Kurve eine Spitze bei x y 2 a a displaystyle x y 2a a nbsp Konstruktion Bearbeiten nbsp Durers Konchoide Muschellinie eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal siehe AnimationEs beginnt mit dem Bestimmen des Punktes A displaystyle A nbsp siehe Bild auf einer Geraden und dem Abtragen sowie Beschriften von sechzehn gleich langen Teilen ab A displaystyle A nbsp Anschliessend wird mit dem Setzen des Punktes B displaystyle B nbsp die Lange der Strecke A B displaystyle overline AB nbsp mit ca achtzehn dieser Teile festgelegt Es folgt eine Senkrechte im Punkt 13 displaystyle 13 nbsp der Strecke A B displaystyle overline AB nbsp auf dem wieder sechzehn Teile gleich denen auf A B displaystyle overline AB nbsp aufzutragen sind Weiter geht es mit einem Strahl ab Punkt 1 displaystyle 1 nbsp der Strecke A B displaystyle overline AB nbsp der durch den Punkt 1 displaystyle 1 nbsp der Senkrechten zu A B displaystyle overline AB nbsp zu ziehen ist Anschliessend wird der Punkt 1 displaystyle 1 nbsp des Kurvenastes blau beginnt im Punkt B displaystyle B nbsp durch Abtragen der Strecke A B displaystyle overline AB nbsp auf dem Strahl erzeugt Fur das Bestimmen der Punkte 2 displaystyle 2 nbsp bis 16 displaystyle 16 nbsp des Kurvenastes blau gilt Gleiches dementsprechend beginnen dann die Strahlen in den Punkten 2 displaystyle 2 nbsp bis 16 displaystyle 16 nbsp der Strecke A B displaystyle overline AB nbsp Die so erzeugte Schar von Linien liefert eine Parabel als Hullkurve des Kurvenastes beginnend im Punkt A displaystyle A nbsp und sechzehn Zwischenpunkte des Kurvenastes blau beginnend im Punkt B displaystyle B nbsp 2 Fur eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal bedarf es noch des Eintragens der Kurvenbogen fur den Kurvenast blau sie ergeben die Naherung Approximation eines Teils der Muschellinie Um den Kreisbogen vom Punkt B displaystyle B nbsp bis Punkt 2 displaystyle 2 nbsp ziehen zu konnen erzeugt man zuerst die nicht eingezeichneten Mittelsenkrechten der Abstande d B 1 displaystyle d B 1 nbsp und d 1 2 displaystyle d 1 2 nbsp Die beiden Mittelsenkrechten treffen sich im nicht eingezeichneten Mittelpunkt M 1 displaystyle M 1 nbsp des Kreisbogens B M 1 2 displaystyle BM 1 2 nbsp Anschliessend wird der Kreisbogen mit Radius M 1 B displaystyle M 1 B nbsp von B displaystyle B nbsp bis Punkt 2 displaystyle 2 nbsp gezogen Der Mittelpunkt des Kreisbogens von Punkt 2 displaystyle 2 nbsp bis 3 displaystyle 3 nbsp wird mittels der bereits vorhandenen Mittelsenkrechten des Abstandes d 1 2 displaystyle d 1 2 nbsp und der Mittelsenkrechten des Abstandes d 2 3 displaystyle d 2 3 nbsp gefunden Diese Vorgehensweise setzt man fort bis schliesslich die Mittelsenkrechten der Abstande d 14 15 displaystyle d 14 15 nbsp und d 15 16 displaystyle d 15 16 nbsp den Mittelpunkt fur den letzten Kreisbogen liefern Alternativ kann die Linie des Kurvenastes blau auch mithilfe eines Kurvenlineals erzeugt werden Siehe auch BearbeitenKonchoide Konchoide von de SluzeWeblinks Bearbeiten nbsp Wikisource Underweysung der Messung Quellen und Volltexte Information zur Kurve engl Einzelnachweise Bearbeiten Ingmar Rubin Albrecht Durer und die Mathematik der Renaissance PDF 5 Parameterdarstellung der Kurve zum S 8 archiviert vom Original am 14 Februar 2022 abgerufen am 25 September 2023 Max Steck Durers Gestaltlehre der Mathematik und der bildenden Kunste Band 1 Max Niemeyer Verlag Halle Saale 1948 19 Conchoide oder Muschellinie S 37 38 uni heidelberg de abgerufen am 26 September 2023 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Konchoide von Durer amp oldid 238913867