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Pascalsche Schnecke Die pascalsche Schnecke auch pascalsche Limaçon ist eine spezielle ebene Kurve genauer gesagt eine a

Pascalsche Schnecke

Die pascalsche Schnecke, auch pascalsche Limaçon, ist eine spezielle ebene Kurve, genauer gesagt eine algebraische Kurve 4. Ordnung. Die Kardioide stellt einen Sonderfall der pascalschen Schnecke dar.

Pascalsche Schnecken

Sie ist benannt nach dem französischen Juristen Étienne Pascal, dem Vater des Mathematikers, Physikers und Philosophen Blaise Pascal, obwohl Albrecht Dürer sie bereits ein halbes Jahrhundert vorher in seinem Buch Underweysung der Messung erstmals gezeichnet und sie wegen der Hilfslinien seiner Konstruktion „Spinnenlinie“ genannt hat.

Gleichungen Bearbeiten

Pascalsche Schnecke mit Parametern und

Eigenschaften Bearbeiten

  • Die folgende geometrische Eigenschaft kann zur Definition der Kurve herangezogen werden: Gegeben seien ein Kreis mit Durchmesser a, ein Punkt A auf diesem Kreis und eine positive reelle Zahl b. Dann liegen für einen beliebigen Punkt B des Kreises die beiden Punkte P und P', die auf der Geraden AB liegen und von B den Abstand b haben, auf der pascalschen Schnecke. Es handelt sich also um einen Spezialfall der allgemeinen Konchoide.
  • Die von der pascalschen Schnecke eingeschlossene Fläche hat den Flächeninhalt . Dabei ist zu beachten, dass für der Flächeninhalt der inneren Schleife doppelt gezählt wird, da die Punkte im Inneren dieser Schleife von der Kurve zweimal umlaufen werden.
  • Die Bogenlänge der pascalschen Schnecken beträgt
  • Für Werte entsteht eine Schleife, für zumindest noch eine Einbuchtung.
  • Für Werte nähert sich der Flächeninhalt der Schnecke dem eines entsprechenden Kreises (mit Radius und Mittelpunkt ) auf weniger als 1 % an.

Pascalsche Schnecke als Trisektrix Bearbeiten

Pascalsche Schnecke als Trisektrix mit

Die pascalsche Schnecke mit der Parameterbeziehung wird auch als Trisektrix bezeichnet, da sich mit ihrer Hilfe die Dreiteilung eines Winkels vornehmen lässt. Hierzu wählt man auf dem einen der Schenkel des gegebenen Winkels mit Spitze A einen Punkt B und konstruiert eine pascalsche Schnecke mit |AB| als Durchmesser ihres zugehörigen Kreises mit Mittelpunkt M und dem Radius dieses Kreises als der Abstandsparameter b. Der Kreis um A mit dem Radius b schneidet den zweiten Schenkel in C. Nun schneidet die Strecke CM die innere Schleife der pascalsche Schnecke in P' und der von der Strecke AP' mit der Strecke AB gebildete Winkel beträgt ein Drittel des Ausgangswinkels, also .

Anwendungen in der Astronomie Bearbeiten

Die Schatten von rotierenden Schwarzen Löchern können mit sehr hoher Genauigkeit durch pascalsche Limaçons beschrieben werden, was im Vergleich zur rechenintensiven Raytracing-Methode eine sehr große Vereinfachung darstellt.

Literatur Bearbeiten

  • Höhere Mathematik griffsbereit. Vieweg, 1974, S. 719–722 (Auszug (Google))
  • I.N. Bronshtein, K.A. Semendyayev, Gerhard Musiol, Heiner Mühlig: Handbook of Mathematics. Springer, 2015, S. 98–99 (Auszug (Google))
  • E. H. Lockwood: Book of Curves. Cambridge University Press, 1961, S. 44–51
  • J. Dennis Lawrence: A Catalog of Special plane Curves. Dover Publications, 1972, S. 113–117 (Auszug (Google))
  • Robert C. Yates: Curves and their Properties. National Council of Teachers of Mathematics, 1974, S. 148–151

Weblinks Bearbeiten

Commons: Pascalsche Schnecke – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Albrecht Dürer: Underweysung der Messung. S. 40
  2. Andreas de Vries: Shadows of rotating black holes approximated by Dürer-Pascal limaçons (PDF; 227 kB) In: Ralf Wilhelm Muno (Hrsg.): Jahresschrift der Bochumer Interdisziplinären Gesellschaft eV 2003. Ibidem-Verlag, Stuttgart 2005, ISBN 3-89821-456-7, S. 1–20 (Auszug bei Google Books)
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Veröffentlichungsdatum:
Die pascalsche Schnecke auch pascalsche Limacon ist eine spezielle ebene Kurve genauer gesagt eine algebraische Kurve 4 Ordnung Die Kardioide stellt einen Sonderfall der pascalschen Schnecke dar Pascalsche SchneckenSie ist benannt nach dem franzosischen Juristen Etienne Pascal dem Vater des Mathematikers Physikers und Philosophen Blaise Pascal obwohl Albrecht Durer sie bereits ein halbes Jahrhundert vorher in seinem Buch Underweysung der Messung 1 erstmals gezeichnet und sie wegen der Hilfslinien seiner Konstruktion Spinnenlinie genannt hat Inhaltsverzeichnis 1 Gleichungen 2 Eigenschaften 3 Pascalsche Schnecke als Trisektrix 4 Anwendungen in der Astronomie 5 Literatur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseGleichungen Bearbeiten nbsp Pascalsche Schnecke mit Parametern a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp Kartesische Koordinaten x 2 y 2 a x 2 b 2 x 2 y 2 0 displaystyle x 2 y 2 ax 2 b 2 x 2 y 2 0 nbsp Polarkoordinaten r a cos f b displaystyle r a cos varphi b nbsp Parametergleichung x a cos t 2 b cos t y a cos t sin t b sin t displaystyle x a cos t 2 b cos t qquad y a cos t sin t b sin t nbsp Eigenschaften BearbeitenDie folgende geometrische Eigenschaft kann zur Definition der Kurve herangezogen werden Gegeben seien ein Kreis mit Durchmesser a ein Punkt A auf diesem Kreis und eine positive reelle Zahl b Dann liegen fur einen beliebigen Punkt B des Kreises die beiden Punkte P und P die auf der Geraden AB liegen und von B den Abstand b haben auf der pascalschen Schnecke Es handelt sich also um einen Spezialfall der allgemeinen Konchoide Die von der pascalschen Schnecke eingeschlossene Flache hat den Flacheninhalt 1 2 a 2 p b 2 p displaystyle tfrac 1 2 a 2 pi b 2 pi nbsp Dabei ist zu beachten dass fur b lt a displaystyle b lt a nbsp der Flacheninhalt der inneren Schleife doppelt gezahlt wird da die Punkte im Inneren dieser Schleife von der Kurve zweimal umlaufen werden Die Bogenlange der pascalschen Schnecken betragt 0 2 p a 2 2 a b c o s f b 2 d f displaystyle int 0 2 pi mathrm sqrt a 2 2abcos varphi b 2 mathrm d varphi nbsp Fur Werte b lt a displaystyle b lt a nbsp entsteht eine Schleife fur b lt 2 a displaystyle b lt 2a nbsp zumindest noch eine Einbuchtung Fur Werte b gt 7 a displaystyle b gt 7a nbsp nahert sich der Flacheninhalt der Schnecke dem eines entsprechenden Kreises mit Radius r b displaystyle r b nbsp und Mittelpunkt M 1 0 displaystyle M 1 0 nbsp auf weniger als 1 an Pascalsche Schnecke als Trisektrix Bearbeiten nbsp Pascalsche Schnecke als Trisektrix mit a A B b M B displaystyle a AB b MB nbsp Hauptartikel Dreiteilung des Winkels Die pascalsche Schnecke mit der Parameterbeziehung b a 2 displaystyle b tfrac a 2 nbsp wird auch als Trisektrix bezeichnet da sich mit ihrer Hilfe die Dreiteilung eines Winkels vornehmen lasst Hierzu wahlt man auf dem einen der Schenkel des gegebenen Winkels a displaystyle alpha nbsp mit Spitze A einen Punkt B und konstruiert eine pascalsche Schnecke mit AB als Durchmesser ihres zugehorigen Kreises mit Mittelpunkt M und dem Radius dieses Kreises als der Abstandsparameter b Der Kreis um A mit dem Radius b schneidet den zweiten Schenkel in C Nun schneidet die Strecke CM die innere Schleife der pascalsche Schnecke in P und der von der Strecke AP mit der Strecke AB gebildete Winkel b displaystyle beta nbsp betragt ein Drittel des Ausgangswinkels also b a 3 displaystyle beta tfrac alpha 3 nbsp Anwendungen in der Astronomie BearbeitenDie Schatten von rotierenden Schwarzen Lochern konnen mit sehr hoher Genauigkeit durch pascalsche Limacons beschrieben werden 2 was im Vergleich zur rechenintensiven Raytracing Methode eine sehr grosse Vereinfachung darstellt Literatur BearbeitenHohere Mathematik griffsbereit Vieweg 1974 S 719 722 Auszug Google I N Bronshtein K A Semendyayev Gerhard Musiol Heiner Muhlig Handbook of Mathematics Springer 2015 S 98 99 Auszug Google E H Lockwood Book of Curves Cambridge University Press 1961 S 44 51 J Dennis Lawrence A Catalog of Special plane Curves Dover Publications 1972 S 113 117 Auszug Google Robert C Yates Curves and their Properties National Council of Teachers of Mathematics 1974 S 148 151Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Pascalsche Schnecke Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Durers Konstruktion der pascalschen Schnecke in seiner Underweysung der Messung S 40 PDF 197 kB John J O Connor Edmund F Robertson Pascal s Limacon In MacTutor History of Mathematics archive Eric W Weisstein Limacon In MathWorld englisch Pascal limacon in der Encyclopaedia of MathematicsEinzelnachweise Bearbeiten Albrecht Durer Underweysung der Messung S 40 Andreas de Vries Shadows of rotating black holes approximated by Durer Pascal limacons PDF 227 kB In Ralf Wilhelm Muno Hrsg Jahresschrift der Bochumer Interdisziplinaren Gesellschaft eV 2003 Ibidem Verlag Stuttgart 2005 ISBN 3 89821 456 7 S 1 20 Auszug bei Google Books Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Pascalsche Schnecke amp oldid 217025060