Die Kardioide oder Herzkurve von griechisch kardia Herz ist eine ebene Kurve genauer gesagt eine algebraische Kurve 4 Ordnung die ihren Namen wegen ihrer Form erhielt Kardioide erzeugt durch einen rollenden Kreis auf einem Kreis mit demselben Radius Erzeugung einer Kardioide durch Abrollen eines Kreises auf einem Kreis mit gleichem RadiusLasst man auf der Aussenseite eines gegebenen festen Kreises mit Mittelpunkt M und Radius a displaystyle a einen weiteren Kreis mit dem gleichen Radius abrollen und betrachtet man dabei einen bestimmten Punkt P auf dem abrollenden Kreis so beschreibt P eine Kardioide Damit erweist sich die Kardioide als spezielle Epizykloide Inhaltsverzeichnis 1 Gleichungen der Kardioide 2 Flacheninhalt Kurvenlange und Krummungsradius 3 Eigenschaften der Kardioide 3 1 Sehnen durch die Spitze 3 2 Kardioide als inverse Kurve einer Parabel 3 3 Kardioide als Einhullende einer Kreisschar 3 4 Kardioide als Einhullende einer Geradenschar 3 5 Kardioide als Kaustik eines Kreises 3 6 Kardioide als Fusspunktkurve eines Kreises 3 7 Kardioide als pascalsche Schnecke 3 8 Kardioide in Optik und Akustik 4 Evolute einer Kardioide 5 Orthogonaltrajektorien 6 Anders orientierte Kardioiden 7 Zur Geschichte der Kardioide 8 Literatur 9 Weblinks 10 EinzelnachweiseGleichungen der Kardioide BearbeitenIst a displaystyle a nbsp der gemeinsame Radius der erzeugenden Kreise mit den Mittelpunkten a 0 a 0 displaystyle a 0 a 0 nbsp f displaystyle varphi nbsp der Rollwinkel und der Nullpunkt der Startpunkt s Bild so erhalt man die Parameterdarstellung x f 2 a 1 cos f cos f displaystyle x varphi 2a 1 cos varphi cdot cos varphi nbsp y f 2 a 1 cos f sin f 0 f lt 2 p displaystyle y varphi 2a 1 cos varphi cdot sin varphi qquad 0 leq varphi lt 2 pi nbsp Hieraus ergibt sich die Darstellung in Polarkoordinaten r f 2 a 1 cos f displaystyle r varphi 2a 1 cos varphi nbsp Mit der Substitution cos f x r displaystyle cos varphi x r nbsp und r x 2 y 2 displaystyle r sqrt x 2 y 2 nbsp erhalt man nach Beseitigung der Wurzel die implizite Darstellung in Kartesische Koordinaten x 2 y 2 2 4 a x x 2 y 2 4 a 2 y 2 0 displaystyle x 2 y 2 2 4ax x 2 y 2 4a 2 y 2 0 nbsp Beweis der ParameterdarstellungDer Beweis der Parameterdarstellung lasst sich mit Hilfe komplexer Zahlen und ihrer Darstellung als Gausssche Zahlenebene leicht fuhren Die Rollbewegung des schwarzen Kreises auf dem blauen Kreis kann man in die Hintereinanderausfuhrung zweier Drehungen zerlegen Die Drehung eines Punktes z displaystyle z nbsp komplexe Zahl um den Nullpunkt 0 displaystyle 0 nbsp mit dem Winkel f displaystyle varphi nbsp wird durch die Multiplikation mit e i f displaystyle e i varphi nbsp bewirkt Die Drehung F displaystyle Phi nbsp um den Punkt a displaystyle a nbsp ist z a z a e i f displaystyle z mapsto a z a e i varphi nbsp Die Drehung F displaystyle Phi nbsp um den Punkt a displaystyle a nbsp ist z a z a e i f displaystyle z mapsto a z a e i varphi nbsp Ein Kardioidenpunkt p f displaystyle p varphi nbsp entsteht durch Drehung des Nullpunktes um a displaystyle a nbsp und anschliessende Drehung um a displaystyle a nbsp jeweils um den Winkel f displaystyle varphi nbsp p f F F 0 F a a e i f a a a e i f a e i f a e i 2 f 2 e i f 1 displaystyle p varphi Phi Phi 0 Phi a ae i varphi a a ae i varphi a e i varphi a e i2 varphi 2e i varphi 1 nbsp hieraus ergibt sich x f a cos 2 f 2 cos f 1 2 a 1 cos f cos f y f a sin 2 f 2 sin f 2 a 1 cos f sin f displaystyle begin array cclcccc x varphi amp amp a cos 2 varphi 2 cos varphi 1 amp amp 2a 1 cos varphi cdot cos varphi amp amp y varphi amp amp a sin 2 varphi 2 sin varphi amp amp 2a 1 cos varphi cdot sin varphi amp amp end array nbsp Es wurden die Formeln e i f cos f i sin f cos f 2 sin f 2 1 cos 2 f cos f 2 sin f 2 sin 2 f 2 sin f cos f displaystyle e i varphi cos varphi i sin varphi cos varphi 2 sin varphi 2 1 cos 2 varphi cos varphi 2 sin varphi 2 sin 2 varphi 2 sin varphi cos varphi nbsp benutzt Siehe Formelsammlung Trigonometrie Flacheninhalt Kurvenlange und Krummungsradius BearbeitenFur die obige Kardioide ist der Flacheninhalt A 6 p a 2 displaystyle A 6 pi a 2 nbsp und die Kurvenlange L 16 a displaystyle L 16a nbsp Krummungsradius r f 8 3 a sin f 2 displaystyle rho varphi tfrac 8 3 a sin tfrac varphi 2 nbsp Die Beweise verwenden jeweils die Polardarstellung der obigen Kardioide Formeln fur den Flacheninhalt und die Kurvenlange findet man z B hier 1 Beweis fur den Flacheninhalt A 2 1 2 0 p r f 2 d f 0 p 4 a 2 1 cos f 2 d f 4 a 2 3 2 p 6 p a 2 displaystyle A 2 cdot tfrac 1 2 int 0 pi r varphi 2 d varphi int 0 pi 4a 2 1 cos varphi 2 d varphi cdots 4a 2 cdot tfrac 3 2 pi 6 pi a 2 nbsp Beweis fur die Kurvenlange L 2 0 p r f 2 r f 2 d f 8 a 0 p 1 2 1 cos f d f 8 a 0 p sin f 2 d f 16 a displaystyle L 2 int 0 pi sqrt r varphi 2 r varphi 2 d varphi cdots 8a int 0 pi sqrt tfrac 1 2 1 cos varphi d varphi 8a int 0 pi sin tfrac varphi 2 d varphi 16a nbsp Beweis fur den KrummungsradiusDer Krummungsradius r displaystyle rho nbsp einer Kurve in Polarkoordinaten r r f displaystyle r r varphi nbsp ist s Krummung r f r f 2 r f 2 3 2 r f 2 2 r f 2 r f r f displaystyle rho varphi frac left r varphi 2 dot r varphi 2 right 3 2 r varphi 2 2 dot r varphi 2 r varphi ddot r varphi nbsp dd Fur die Kardioide r f 2 a 1 cos f 4 a sin 2 f 2 displaystyle r varphi 2a 1 cos varphi 4a sin 2 tfrac varphi 2 nbsp ergibt sich r f 16 a 2 sin 2 f 2 3 2 24 a 2 sin 2 f 2 8 3 a sin f 2 displaystyle rho varphi cdots frac 16a 2 sin 2 frac varphi 2 frac 3 2 24a 2 sin 2 frac varphi 2 frac 8 3 a sin frac varphi 2 nbsp Eigenschaften der Kardioide Bearbeiten nbsp Sehnen einer KardioideSehnen durch die Spitze Bearbeiten S1 Die Sehnen durch die Spitze der Kardioide haben alle dieselbe Lange 4 a displaystyle 4a nbsp S2 Die Mittelpunkte der Sehnen durch die Spitze liegen auf dem festen Erzeugerkreis s Bild Beweis zu S1Die Punkte P p f Q p f p displaystyle P p varphi Q p varphi pi nbsp liegen auf einer Sehne durch die Spitze Nullpunkt Es ist P Q r f r f p displaystyle PQ r varphi r varphi pi nbsp 2 a 1 cos f 2 a 1 cos f p 4 a displaystyle 2a 1 cos varphi 2a 1 cos varphi pi cdots 4a nbsp dd dd Beweis zu S2Fur den Beweis wird die Darstellung in der gaussschen Zahlenebene s o verwendet Fur die Punkte P p f a e i 2 f 2 e i f 1 displaystyle P p varphi a e i2 varphi 2e i varphi 1 nbsp Q p f p a e i 2 f p 2 e i f p 1 a e i 2 f 2 e i f 1 displaystyle Q p varphi pi a e i2 varphi pi 2e i varphi pi 1 a e i2 varphi 2e i varphi 1 nbsp ist M 1 2 p f p f p a a e i 2 f displaystyle M tfrac 1 2 p varphi p varphi pi cdots a ae i2 varphi nbsp der Mittelpunkt der Sehne P Q displaystyle PQ nbsp und liegt auf dem Kreis der Gaussschen Zahlenebene mit Mittelpunkt a displaystyle a nbsp und Radius a displaystyle a nbsp s Bild nbsp Die Kardioide entsteht durch Spiegelung einer Parabel am Einheitskreis gestrichelt Kardioide als inverse Kurve einer Parabel Bearbeiten Hauptartikel Inversion Geometrie Die Kardioide ist das Bild einer Parabel unter einer Kreisspiegelung Inversion bei der das Inversionszentrum im Brennpunkt der Parabel liegt s Bild Im Beispiel des Bildes haben die Erzeugerkreise den Radius a 1 2 displaystyle a tfrac 1 2 nbsp Die gespiegelte Parabel genugt in x y Koordinaten der Gleichung x 1 2 y 2 1 displaystyle x tfrac 1 2 y 2 1 nbsp nbsp Kardioide als Einhullende einer KreisscharKardioide als Einhullende einer Kreisschar Bearbeiten Bildet man bei der Inversion der Parabel im vorigen Abschnitt die Tangenten mit ab so gehen sie als Geraden in eine Schar von Kreisen durch das Inversionszentrum Nullpunkt uber Eine genauere Untersuchung Nachrechnen zeigt Die Mittelpunkte der Kreise liegen alle auf dem festen Erzeugerkreis cyan der Kardioide Der Erzeugerkreis ist das Bild der Leitlinie der Parabel Da sich auf der Leitlinie einer Parabel die Tangenten senkrecht schneiden und die Kreisspiegelung winkeltreu ist schneiden sich Kreise der Kreisschar auf dem Erzeugerkreis auch senkrecht Die hier beschriebene Eigenschaft der Kreisschar erlaubt eine einfache Methode um eine Kardioide zu zeichnen 1 Wahle einen Kreis k und einen Punkt O darauf 2 zeichne Kreise durch O mit Mittelpunkte auf k 3 zeichne die Einhullende dieser Kreise Beweis mit Einhullenden BedingungEs sei durch F x y t 0 displaystyle F x y t 0 nbsp eine Schar von impliziten Kurven mit dem Scharparameter t displaystyle t nbsp gegeben Die Einhullende oder Hullkurve besteht aus Punkten x y displaystyle x y nbsp die fur festes t displaystyle t nbsp Losungen des i a nicht linearen Gleichungssystems F x y t 0 F t x y t 0 displaystyle F x y t 0 quad F t x y t 0 nbsp Einhullenden Bedingungen sind F t displaystyle F t nbsp bedeutet die partielle Ableitung nach t displaystyle t nbsp siehe Einhullende Es sei k der Kreis mit Mittelpunkt 1 0 displaystyle 1 0 nbsp und Radius 1 displaystyle 1 nbsp k hat die Parameterdarstellung 1 cos t sin t displaystyle 1 cos t sin t nbsp Die Kreisschar deren Mittelpunkte auf k liegen und die durch den Punkt O 0 0 displaystyle O 0 0 nbsp gehen lassen sich implizit durch F x y t x 1 cos t 2 y sin t 2 2 2 cos t 0 displaystyle F x y t x 1 cos t 2 y sin t 2 2 2 cos t 0 nbsp beschreiben Multipliziert man die Klammern aus ergibt sich F x y t x 2 y 2 2 x 1 cos t 2 y sin t 0 displaystyle F x y t x 2 y 2 2x 1 cos t 2y sin t 0 nbsp Die 2 Scharbedingung ist F t x y t 2 x sin t 2 y cos t 0 displaystyle F t x y t 2x sin t 2y cos t 0 nbsp Man pruft leicht nach dass die Punkte der Kardioide mit der Parameterdarstellung x t 2 1 cos t cos t y t 2 1 cos t sin t displaystyle x t 2 1 cos t cos t quad y t 2 1 cos t sin t nbsp das nicht lineare Gleichungssystem erfullt Der Scharparameter t displaystyle t nbsp ist hier identisch mit dem Winkel Parameter der Kardioide Kardioide als Einhullende einer Geradenschar Bearbeiten nbsp Kardioide als Einhullende einer GeradenscharEine ahnlich einfache Methode eine Kardioide als Einhullende einer Geradenschar zu konstruieren geht auf L Cremona zuruck Zeichne einen Kreis unterteile ihn gleichmassig mit 2 N displaystyle 2N nbsp Punkten s Bild und nummeriere diese fortlaufend Zeichne die Sehnen 1 2 2 4 n 2 n N 2 N N 1 2 N 2 4 displaystyle 1 2 2 4 n 2n N 2N N 1 2 N 2 4 nbsp Man kann es so ausdrucken Der zweite Punkt der Sehne bewegt sich mit doppelter Geschwindigkeit Die Einhullende dieser Strecken ist eine Kardioide nbsp Kardioide Erzeugung nach Cremona zum BeweisBeweisIm Folgenden werden die trigonometrischen Formeln fur cos a cos b sin a sin b 1 cos 2 a cos 2 a sin 2 a displaystyle cos alpha cos beta sin alpha sin beta 1 cos 2 alpha cos 2 alpha sin 2 alpha nbsp verwendet Um die Rechnungen einfach zu halten wird der Beweis fur die Kardioide mit der Polardarstellung r 2 1 cos f displaystyle r 2 1 color red cos varphi nbsp gefuhrt s Abschnitt anders orientierte Kardioiden Gleichung der Tangente an die Kardioide mit der Polardarstellung r 2 1 cos f displaystyle r 2 1 cos varphi nbsp Aus der Parameterdarstellung x f 2 1 cos f cos f displaystyle x varphi 2 1 cos varphi cos varphi nbsp y f 2 1 cos f sin f displaystyle y varphi 2 1 cos varphi sin varphi nbsp berechnet man zunachst den Normalenvektoren n y x T displaystyle vec n dot y dot x T nbsp Die Gleichung der Tangente y f x x f x f y y f 0 displaystyle dot y varphi cdot x x varphi dot x varphi cdot y y varphi 0 nbsp ist dann cos 2 f cos f x sin 2 f sin f y 2 1 cos f 2 displaystyle cos 2 varphi cos varphi cdot x sin 2 varphi sin varphi cdot y 2 1 cos varphi 2 nbsp Mit Hilfe der trigonometrischen Formeln und der anschliessenden Division durch cos 1 2 f displaystyle cos tfrac 1 2 varphi nbsp lasst sich die Gleichung der Tangente so schreiben cos 3 2 f x sin 3 2 f y 4 cos 1 2 f 3 0 lt f lt 2 p f p displaystyle cos tfrac 3 2 varphi cdot x sin tfrac 3 2 varphi cdot y 4 cos tfrac 1 2 varphi 3 quad 0 lt varphi lt 2 pi varphi neq pi nbsp Gleichung der Sekante an den Kreis mit Mittelpunkt 1 0 displaystyle 1 0 nbsp und Radius 3 displaystyle 3 nbsp Fur die Gleichung der Sekante durch die beiden Punkte 1 3 cos 8 3 sin 8 1 3 cos 2 8 3 sin 2 8 displaystyle 1 3 cos theta 3 sin theta 1 3 cos color red 2 theta 3 sin color red 2 theta nbsp ergibt sich sin 8 sin 2 8 x cos 2 8 sin 8 y 2 cos 8 sin 2 8 displaystyle sin theta sin 2 theta cdot x cos 2 theta sin theta cdot y 2 cos theta sin 2 theta nbsp Mit Hilfe der trigonometrischen Formeln und der anschliessenden Division durch sin 1 2 8 displaystyle sin tfrac 1 2 theta nbsp lasst sich die Gleichung der Sekante so schreiben cos 3 2 8 x sin 3 2 8 y 4 cos 1 2 8 3 0 lt 8 lt 2 p displaystyle cos tfrac 3 2 theta cdot x sin tfrac 3 2 theta cdot y 4 cos tfrac 1 2 theta 3 quad 0 lt theta lt 2 pi nbsp Die beiden Winkel f 8 displaystyle varphi theta nbsp haben zwar verschiedene Bedeutungen s Bild fur f 8 displaystyle varphi theta nbsp ergibt sich aber dieselbe Gerade Also ist auch jede obige Sekante an den Kreis eine Tangente der Kardioide und die Kardioide ist die Einhullende der Kreissehnen Bemerkung Der Beweis lasst sich auch mit den Einhullen Bedingungen einer impliziten Kurvenschar s vorigen Abschnitt fuhren Dabei beschreibt F x y t cos 3 2 t x sin 3 2 t y 4 cos 1 2 t 3 0 displaystyle F x y t cos tfrac 3 2 t cdot x sin tfrac 3 2 t cdot y 4 cos tfrac 1 2 t 3 0 nbsp die Schar der Sekanten an den Kreis s o F t x y t 3 2 sin 3 2 t x 3 2 cos 3 2 t y 3 cos 1 2 t sin t 0 displaystyle F t x y t tfrac 3 2 sin tfrac 3 2 t cdot x tfrac 3 2 cos tfrac 3 2 t cdot y 3 cos tfrac 1 2 t sin t 0 nbsp Beide Gleichungen sind fur festen Parameter t Geradengleichungen Der Schnittpunkt x t 2 1 cos t cos t y t 2 1 cos t sin t displaystyle x t 2 1 cos t cos t quad y t 2 1 cos t sin t nbsp der Geraden ist ein Punkt der Kardioide mit der Polardarstellung r 2 1 cos t displaystyle r 2 1 cos t nbsp Bei Umformungen mussen immer wieder trigonometrische Formeln s o benutzt werden nbsp Zu Kardioide als Kaustik Lichtquelle Z displaystyle Z nbsp Lichtstrahl s displaystyle vec s nbsp reflektierter Strahl r displaystyle vec r nbsp nbsp Kardioide als Kaustik eines Kreises mit Lichtquelle rechts auf dem KreisKardioide als Kaustik eines Kreises Bearbeiten Die vorigen Uberlegungen liefern auch einen Beweis dafur dass als Kaustik eines Kreises mit der Lichtquelle auf dem Kreis eine Kardioide auftritt Gehen in der Ebene von einem Punkt Z displaystyle Z nbsp eines spiegelnden Kreises Lichtstrahlen gemass der Abbildung aus so sind die im Innern des Kreises reflektierten Lichtstrahlen die Tangenten einer Kardioide s Abschnitt Kardioide in Optik und Akustik BeweisDer Kreis habe wie im vorigen Abschnitt den Mittelpunkt 1 0 displaystyle 1 0 nbsp und den Radius 3 displaystyle 3 nbsp Der Kreis hat dann die Parameterdarstellung k f 1 3 cos f 3 sin f displaystyle k varphi 1 3 cos varphi 3 sin varphi nbsp Die Tangente im Kreispunkt K k f displaystyle K k varphi nbsp hat den Normalenvektor n t cos f sin f T displaystyle vec n t cos varphi sin varphi T nbsp Der reflektierte Strahl muss dann laut Abbildung den Normalenvektor n r cos 3 2 f sin 3 2 f T displaystyle vec n r cos color red tfrac 3 2 varphi sin color red tfrac 3 2 varphi T nbsp haben und durch den Kreispunkt K 1 3 cos f 3 sin f displaystyle K 1 3 cos varphi 3 sin varphi nbsp gehen Der reflektierte Strahl liegt also s vorigen Abschnitt auf der Gerade mit der Gleichung cos 3 2 f x sin 3 2 f y 4 cos 1 2 f 3 displaystyle cos tfrac 3 2 varphi cdot x sin tfrac 3 2 varphi cdot y 4 cos tfrac 1 2 varphi 3 nbsp die wiederum Tangente an die Kardioide mit der Polardarstellung r 2 1 cos f displaystyle r 2 1 cos varphi nbsp des vorigen Abschnitts ist Bemerkung Mehrfachreflexionen am Kreis werden bei diesen Uberlegungen ublicherweise nicht berucksichtigt Kardioide als Fusspunktkurve eines Kreises Bearbeiten nbsp Kardioide Lotfusspunkte auf KreistangentenDie Cremona Erzeugung einer Kardioide sollte nicht verwechselt werden mit der folgenden Erzeugung Es sei ein Kreis k displaystyle k nbsp und ein fester Punkt O displaystyle O nbsp auf diesem Kreis gegeben Es gilt Die Lotfusspunkte vom Punkt O displaystyle O nbsp auf die Tangenten des Kreises k displaystyle k nbsp bilden eine Kardioide Eine Kardioide ist somit eine spezielle Fusspunktkurve engl pedal curve eines Kreises BeweisIn der x y Ebene habe der Kreis k displaystyle k nbsp den Mittelpunkt 2 a 0 displaystyle 2a 0 nbsp und den Radius 2 a displaystyle 2a nbsp Die Tangente im Kreispunkt 2 a 2 a cos f 2 a sin f displaystyle 2a 2a cos varphi 2a sin varphi nbsp hat die Gleichung x 2 a cos f y sin f 2 a displaystyle x 2a cdot cos varphi y cdot sin varphi 2a nbsp Der Lotfusspunkt von O displaystyle O nbsp auf die Tangente ist der Punkt r cos f r sin f displaystyle r cos varphi r sin varphi nbsp mit dem noch unbekannten Abstand r displaystyle r nbsp zum Nullpunkt O displaystyle O nbsp Einsetzen in die Tangentengleichung ergibt r cos f 2 a cos f r sin 2 f 2 a r 2 a 1 cos f displaystyle r cos varphi 2a cos varphi r sin 2 varphi 2a quad rightarrow quad r 2a 1 cos varphi nbsp die Polardarstellung einer Kardioide Bemerkung Liegt der Punkt O displaystyle O nbsp nicht auf dem Kreis k displaystyle k nbsp so entsteht eine pascalsche Schnecke s nachsten Abschnitt Kardioide als pascalsche Schnecke Bearbeiten Eine pascalsche Schnecke ist eine ebene Kurve mit einer Polardarstellung r b a cos t displaystyle r b a cos t nbsp Im Fall b a displaystyle b a nbsp ergibt sich eine Kardioide Also gilt Die Kardioide ist ein Spezialfall der pascalschen Schnecke diese ist wiederum ein Spezialfall der Konchoide nbsp Kardioide auf der Glasur eines SchmortopfesKardioide in Optik und Akustik Bearbeiten Die Lichterscheinung Kaustik in einer Kaffeetasse die von Licht aus einer am Tassenrand platzierten Lichtquelle getroffen wird ist eine Kardioide Die Kaustik die von parallel eintreffendem Licht erzeugt wird wird allerdings durch eine andere Kurve Nephroide beschrieben in anderen Fallen entsteht eine Mischform In der Tontechnik wird das Polardiagramm der Richtcharakteristik einer Kardioide mit Niere bezeichnet auch wenn es eine Herzkurve darstellt Evolute einer Kardioide Bearbeiten nbsp Evolute grun einer Kardioide rot magenta ein Punkt P sein Krummungsmittelpunkt M und der zugehorige KrummungskreisDie Evolute einer ebenen Kurve ist der geometrische Ort aller Krummungsmittelpunkte dieser Kurve Fur eine parametrisierte Kurve x s c s displaystyle vec x s vec c s nbsp mit Krummungsradius r s displaystyle rho s nbsp hat die Evolute die Parameterdarstellung X s c s r s n s displaystyle vec X s vec c s rho s vec n s nbsp wobei n s displaystyle vec n s nbsp die geeignet orientierte Einheitsnormale ist n s displaystyle vec n s nbsp zeigt zu dem Krummungsmittelpunkt hin Fur eine Kardioide gilt Die Evolute einer Kardioide ist wieder eine Kardioide ein Drittel so gross siehe Bild BeweisFur die Kardioide mit der Parameterdarstellung x f 2 a 1 cos f cos f 4 a sin 2 f 2 cos f displaystyle x varphi 2a 1 cos varphi cos varphi 4a sin 2 tfrac varphi 2 cos varphi nbsp y f 2 a 1 cos f sin f 4 a sin 2 f 2 sin f displaystyle y varphi 2a 1 cos varphi sin varphi 4a sin 2 tfrac varphi 2 sin varphi nbsp ist die Einheitsnormale n f sin 3 2 f cos 3 2 f displaystyle vec n varphi sin tfrac 3 2 varphi cos tfrac 3 2 varphi nbsp und der Krummungskreisradius s oben r f 8 3 a sin f 2 displaystyle rho varphi tfrac 8 3 a sin tfrac varphi 2 nbsp Also hat die Evolute die Parameterdarstellung X f 4 a sin 2 f 2 cos f 8 3 a sin f 2 sin 3 2 f 4 3 a cos 2 f 2 cos f 4 3 a displaystyle X varphi 4a sin 2 tfrac varphi 2 cos varphi tfrac 8 3 a sin tfrac varphi 2 cdot sin tfrac 3 2 varphi cdots tfrac 4 3 a cos 2 tfrac varphi 2 cos varphi tfrac 4 3 a nbsp Y f 4 a sin 2 f 2 sin f 8 3 a sin f 2 cos 3 2 f 4 3 a cos 2 f 2 sin f displaystyle Y varphi 4a sin 2 tfrac varphi 2 sin varphi tfrac 8 3 a sin tfrac varphi 2 cdot cos tfrac 3 2 varphi cdots tfrac 4 3 a cos 2 tfrac varphi 2 sin varphi nbsp Diese Gleichungen beschreiben eine Kardioide die ein Drittel so gross wie die gegebene Kardioide um 180 Grad gedreht und um 4 3 a displaystyle tfrac 4 3 a nbsp entlang der x Achse verschoben ist Es wurden trigonometrische Formeln benutzt sin 3 2 f sin f 2 cos f cos f 2 sin f cos 3 2 f sin f 2 sin f 2 cos f 2 cos f displaystyle sin tfrac 3 2 varphi sin tfrac varphi 2 cos varphi cos tfrac varphi 2 sin varphi cos tfrac 3 2 varphi cdots sin varphi 2 sin tfrac varphi 2 cos tfrac varphi 2 cos varphi cdots nbsp Orthogonaltrajektorien Bearbeiten nbsp orthogonale KardioidenEine Orthogonaltrajektorie einer Kurvenschar ist eine Kurve die jede Kurve der Schar senkrecht schneidet Fur Kardioiden gilt Die Orthogonaltrajektorien der Kardioidenschar mit den Gleichungenr 2 a 1 cos f a gt 0 displaystyle r 2a 1 cos varphi a gt 0 nbsp dd sind die Kardioiden mit den Gleichungenr 2 b 1 cos f b gt 0 displaystyle r 2b 1 cos varphi b gt 0 nbsp dd Die zweite Schar entsteht durch Spiegelung der ersten an der y Achse Siehe Bild Beweis Ist eine Kurve in Polarkoordinaten durch eine Funktion r f displaystyle r varphi nbsp gegeben so besteht zwischen den kartesischen Koordinaten und den Polarkoordinaten eines Punktes die folgende Beziehung x f r f cos f displaystyle x varphi r varphi cos varphi qquad nbsp y f r f sin f displaystyle y varphi r varphi sin varphi qquad nbsp und damit d x d f r f cos f r f sin f displaystyle frac dx d varphi r varphi cos varphi r varphi sin varphi qquad nbsp d y d f r f sin f r f cos f displaystyle frac dy d varphi r varphi sin varphi r varphi cos varphi nbsp Dividiert man die letzten beiden Gleichungen erhalt man die Steigung in kartesischen Koordinaten d y d x r f sin f r f cos f r f cos f r f sin f displaystyle frac dy dx frac r varphi sin varphi r varphi cos varphi r varphi cos varphi r varphi sin varphi nbsp Fur die Kardioiden mit den Gleichungen r 2 a 1 cos f displaystyle r 2a 1 cos varphi nbsp bzw r 2 b 1 cos f displaystyle r 2b 1 cos varphi nbsp ergibt sich d y a d x cos f cos 2 f sin 2 f sin f displaystyle frac dy a dx frac cos varphi cos 2 varphi sin 2 varphi sin varphi quad nbsp bzw d y b d x cos f cos 2 f sin 2 f sin f displaystyle quad frac dy b dx frac cos varphi cos 2 varphi sin 2 varphi sin varphi nbsp Die Steigungen hangen jeweils nur von f displaystyle varphi nbsp ab und nicht mehr von den Parametern a b displaystyle a b nbsp Hieraus ergibt sich d y a d x d y b d x cos 2 f cos 2 2 f sin 2 2 f sin 2 f 1 cos 2 f 1 cos 2 2 f sin 2 2 f sin 2 f 1 displaystyle frac dy a dx cdot frac dy b dx cdots frac cos 2 varphi cos 2 2 varphi sin 2 2 varphi sin 2 varphi frac 1 cos 2 varphi 1 cos 2 2 varphi sin 2 2 varphi sin 2 varphi 1 nbsp D h jede Kurve der einen Schar schneidet jede Kurve der anderen Schar senkrecht nbsp 4 Kardioiden mit Polardarstellung und Lage im KoordinatensystemAnders orientierte Kardioiden BearbeitenWahlt man andere Lagen der Kardioide im Koordinatensystem so andern sich die Gleichungen die sie beschreiben Im Bild sind die 4 ublichen Orientierungen und ihre zugehorigen Polardarstellungen zu sehen Zur Geschichte der Kardioide BearbeitenBei der Suche nach einer optimalen Form von Zahnradern untersuchte Ole Roemer 1674 Epizykloiden und damit auch Kardioiden Der Name Kardioide wurde zuerst von Johann Francesco Melchiore Salvemini Castillon verwendet Die Lange einer Kardioide wurde 1708 von Philippe de la Hire berechnet Eine Kardioide ist eine spezielle Pascalsche Schnecke benannt nach Etienne Pascal dem Vater von Blaise Pascal Literatur BearbeitenKleine Enzyklopadie Mathematik Harri Deutsch Verlag 1977 ISBN 3 87144 323 9 S 479Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Kardioide Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien nbsp Wiktionary Kardioide Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Eric W Weisstein Cardioid In MathWorld englisch John J O Connor Edmund F Robertson Cardioid In MacTutor History of Mathematics archive Xah Lee Cardioid englisch Curves amp Surfaces Cardioid englisch Cardioid MathcurveEinzelnachweise Bearbeiten Meyberg Vachenauer Hohere Mathematik 1 Springer Verlag 1995 ISBN 3 540 59188 5 S 198 199 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kardioide amp oldid 234017726
