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Evolute Die einer ebenen Kurve istdie Bahn auf der sich der Mittelpunkt des Krümmungskreises der Kurve bewegt wenn diese

Evolute

Die Evolute einer ebenen Kurve ist

Die Evolute (rot) einer Kurve (Parabel, blau) ist der geometrische Ort aller Krümmungsmittelpunkte oder auch die Einhüllende ihrer Normalen

Oder auch:

Evoluten stehen in engem Zusammenhang mit den Evolventen einer gegebenen Kurve, denn es gilt: Eine Kurve ist die Evolute jeder ihrer Evolventen.

Evolute einer parametrisierten Kurve Bearbeiten

Beschreibt eine reguläre Kurve in der euklidischen Ebene, deren Krümmung nirgends 0 ist, und sind der Krümmungskreisradius und die zum Krümmungsmittelpunkt weisende Einheitsnormale, so ist

die Evolute der gegebenen Kurve.

Ist und , so ist

  • und

Eigenschaften der Evolute Bearbeiten

Evolute: Die Normale in P ist Tangente in M.

Um Eigenschaften einer regulären Kurve herzuleiten, ist es vorteilhaft, die Bogenlänge der gegebenen Kurve als Parameter zu verwenden. Denn dann gilt (s. Frenetsche Formeln) und . Daraus folgt für den Tangentenvektor der Evolute :

Aus dieser Gleichung ergeben sich die folgenden Eigenschaften einer Evolute:

  • Die Evolute ist in Punkten mit nicht regulär, d. h., sie hat in Punkten maximaler oder minimaler Krümmung Spitzen (s. Parabel, Ellipse, Nephroide).
  • Die Normalen der gegebenen Kurve sind Tangenten der Evolute, d. h.: Die Evolute ist die Einhüllende der Normalen der gegebenen Kurve.
  • In Abschnitten der gegebenen Kurve, in denen bzw. gilt, ist sie eine Evolvente ihrer Evolute. (Im Bild ist die blaue Parabel eine Evolvente der roten Neilschen Parabel.)

Beweis der letzten Eigenschaft:
In dem betrachteten Abschnitt sei . Eine Evolvente der Evolute lässt sich folgendermaßen beschreiben:

wobei eine Fadenverlängerung bedeutet (s. Evolvente).
Mit und ergibt sich

D. h., für die Fadenverlängerung erhält man die gegebene Kurve wieder.

  • Parallele Kurven besitzen dieselbe Evolute.

Beweis: Eine zur gegebenen Kurve im Abstand parallele Kurve besitzt die Parameterdarstellung und den Krümmungsradius (s. Parallelkurve) . Die Evolute der Parallelkurve ist also

Beispiele Bearbeiten

Evolute der Normalparabel Bearbeiten

Die Normalparabel lässt sich durch die Parameterdarstellung beschreiben. Nach den obigen Formeln ergeben sich für die Evolute die folgenden Gleichungen:

Dies ist die Parameterdarstellung einer Neilschen Parabel.

Evolute (rot) einer Ellipse
Die Evolute der großen Nephroide (blau) ist die kleine Nephroide (rot)

Evolute einer Ellipse Bearbeiten

Für die Ellipse mit der Parameterdarstellung ergibt sich:

Diese Gleichungen beschreiben eine schiefe Astroide. Elimination von liefert die implizite Darstellung

Evoluten bekannter Kurven Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. R.Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. Band 1, Springer-Verlag, 1955, S. 268.

Literatur Bearbeiten

  • K. Burg, H. Haf, F. Wille, A. Meister: Vektoranalysis: Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und … Springer-Verlag, 2012, ISBN 3-8348-8346-8, S. 30.
  • Kleine Enzyklopädie Mathematik. Harry Deutsch Verlag, 1977, ISBN 3-87144-323-9, S. 475.

Weblinks Bearbeiten

Commons: Evolute – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
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Die Evolute einer ebenen Kurve istdie Bahn auf der sich der Mittelpunkt des Krummungskreises der Kurve bewegt wenn dieser die gesamte Kurve durchlauft Die Evolute rot einer Kurve Parabel blau ist der geometrische Ort aller Krummungsmittelpunkte oder auch die Einhullende ihrer Normalen Oder auch die Hullkurve Enveloppe der Normalen der gegebenen Kurve Evoluten stehen in engem Zusammenhang mit den Evolventen einer gegebenen Kurve denn es gilt Eine Kurve ist die Evolute jeder ihrer Evolventen Inhaltsverzeichnis 1 Evolute einer parametrisierten Kurve 2 Eigenschaften der Evolute 3 Beispiele 3 1 Evolute der Normalparabel 3 2 Evolute einer Ellipse 4 Evoluten bekannter Kurven 5 Einzelnachweise 6 Literatur 7 WeblinksEvolute einer parametrisierten Kurve BearbeitenBeschreibt x c t t t 1 t 2 displaystyle vec x vec c t t in t 1 t 2 nbsp eine regulare Kurve in der euklidischen Ebene deren Krummung nirgends 0 ist und sind r t displaystyle rho t nbsp der Krummungskreisradius und n t displaystyle vec n t nbsp die zum Krummungsmittelpunkt weisende Einheitsnormale so ist E t c t r t n t displaystyle vec E t vec c t rho t vec n t nbsp die Evolute der gegebenen Kurve Ist c t x t y t T displaystyle vec c t x t y t T nbsp und E X Y T displaystyle vec E X Y T nbsp so ist X t x t y t x t 2 y t 2 x t y t x t y t displaystyle displaystyle X t x t frac y t cdot Big x t 2 y t 2 Big x t cdot y t x t cdot y t nbsp undY t y t x t x t 2 y t 2 x t y t x t y t displaystyle displaystyle Y t y t frac x t cdot Big x t 2 y t 2 Big x t cdot y t x t cdot y t nbsp Eigenschaften der Evolute Bearbeiten nbsp Evolute Die Normale in P ist Tangente in M Um Eigenschaften einer regularen Kurve herzuleiten ist es vorteilhaft die Bogenlange s displaystyle s nbsp der gegebenen Kurve als Parameter zu verwenden Denn dann gilt s Frenetsche Formeln c 1 displaystyle vec c 1 nbsp und n c r displaystyle vec n vec c rho nbsp Daraus folgt fur den Tangentenvektor der Evolute E c r n displaystyle vec E vec c rho vec n nbsp E c r n r n r n displaystyle vec E vec c rho vec n rho vec n rho vec n nbsp Aus dieser Gleichung ergeben sich die folgenden Eigenschaften einer Evolute Die Evolute ist in Punkten mit r 0 displaystyle rho 0 nbsp nicht regular d h sie hat in Punkten maximaler oder minimaler Krummung Spitzen s Parabel Ellipse Nephroide Die Normalen der gegebenen Kurve sind Tangenten der Evolute d h Die Evolute ist die Einhullende der Normalen der gegebenen Kurve In Abschnitten der gegebenen Kurve in denen r gt 0 displaystyle rho gt 0 nbsp bzw r lt 0 displaystyle rho lt 0 nbsp gilt ist sie eine Evolvente ihrer Evolute Im Bild ist die blaue Parabel eine Evolvente der roten Neilschen Parabel Beweis der letzten Eigenschaft In dem betrachteten Abschnitt sei r gt 0 displaystyle rho gt 0 nbsp Eine Evolvente der Evolute lasst sich folgendermassen beschreiben C 0 E E E 0 s E w d w l 0 displaystyle vec C 0 vec E frac vec E vec E Big int 0 s vec E w mathrm d w l 0 Big nbsp wobei l 0 displaystyle l 0 nbsp eine Fadenverlangerung bedeutet s Evolvente Mit E c r n E r n displaystyle vec E vec c rho vec n vec E rho vec n nbsp und r gt 0 displaystyle rho gt 0 nbsp ergibt sich C 0 c r n n 0 s r w d w l 0 c r 0 l 0 n displaystyle vec C 0 vec c rho vec n vec n Big int 0 s rho w mathrm d w l 0 Big vec c rho 0 l 0 vec n nbsp D h fur die Fadenverlangerung l 0 r 0 displaystyle l 0 rho 0 nbsp erhalt man die gegebene Kurve wieder Parallele Kurven besitzen dieselbe Evolute Beweis Eine zur gegebenen Kurve im Abstand d displaystyle d nbsp parallele Kurve besitzt die Parameterdarstellung c d c d n displaystyle vec c d vec c d vec n nbsp und den Krummungsradius s Parallelkurve r d r d displaystyle rho d rho d nbsp Die Evolute der Parallelkurve ist also E d c d r d n c d n r d n c r n E displaystyle vec E d vec c d rho d vec n vec c d vec n rho d vec n vec c rho vec n vec E nbsp Beispiele BearbeitenEvolute der Normalparabel Bearbeiten Die Normalparabel lasst sich durch die Parameterdarstellung t t 2 displaystyle t t 2 nbsp beschreiben Nach den obigen Formeln ergeben sich fur die Evolute die folgenden Gleichungen X 4 t 3 displaystyle X cdots 4t 3 nbsp Y 1 2 3 t 2 displaystyle Y cdots frac 1 2 3t 2 nbsp Dies ist die Parameterdarstellung einer Neilschen Parabel nbsp Evolute rot einer Ellipse nbsp Die Evolute der grossen Nephroide blau ist die kleine Nephroide rot Evolute einer Ellipse Bearbeiten Fur die Ellipse mit der Parameterdarstellung a cos t b sin t displaystyle a cos t b sin t nbsp ergibt sich 1 X a 2 b 2 a cos 3 t displaystyle X cdots frac a 2 b 2 a cos 3 t nbsp Y b 2 a 2 b sin 3 t displaystyle Y cdots frac b 2 a 2 b sin 3 t nbsp Diese Gleichungen beschreiben eine schiefe Astroide Elimination von t displaystyle t nbsp liefert die implizite Darstellung a X 2 3 b Y 2 3 a 2 b 2 2 3 displaystyle aX tfrac 2 3 bY tfrac 2 3 a 2 b 2 tfrac 2 3 nbsp Evoluten bekannter Kurven BearbeitenZu einer Astroide wiederum eine Astroide doppelt so gross Zu einer Ellipse eine schiefe Astroide Zu einer Kardioide wiederum eine Kardioide ein Drittel so gross Zu einem Kreis ein Punkt namlich dessen Mittelpunkt Zu einer Deltoide wiederum eine Deltoide dreimal so gross Zu einer Zykloide eine kongruente Zykloide Zu einer Epizykloide eine vergrosserte Epizykloide Zu einer Hypozykloide eine ahnliche Hypozykloide Zu einer logarithmischen Spirale die gleiche logarithmische Spirale Zu einer Nephroide wiederum eine Nephroide halb so gross Zu einer Parabel eine Neilsche Parabel Zu einer Traktrix eine Katenoide Kettenlinie Einzelnachweise Bearbeiten R Courant Vorlesungen uber Differential und Integralrechnung Band 1 Springer Verlag 1955 S 268 Literatur BearbeitenK Burg H Haf F Wille A Meister Vektoranalysis Hohere Mathematik fur Ingenieure Naturwissenschaftler und Springer Verlag 2012 ISBN 3 8348 8346 8 S 30 Kleine Enzyklopadie Mathematik Harry Deutsch Verlag 1977 ISBN 3 87144 323 9 S 475 Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Evolute Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Eric W Weisstein Evolute In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Evolute amp oldid 237983414