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Mittelpunkt Dieser Artikel behandelt den in der Geometrie zu anderen gleichnamigen Bedeutungen siehe Zentrum zum Schrift

Mittelpunkt

Der Begriff Mittelpunkt steht in der Geometrie in engem Zusammenhang zur Punktsymmetrie:

  • Ist eine Punktmenge in der Ebene oder im Raum zu genau einem Punkt punktsymmetrisch, so nennt man den Mittelpunkt von .
Beispiele mit Mittelpunkten: Strecke, Kreis, Ellipse, Quader, Kugel, Ellipsoid

Beispiele mit Mittelpunkt:

  1. Strecke
  2. Kreis, Ellipse, Hyperbel
  3. Quadrat, Rechteck, reguläres Polygon mit einer geraden Anzahl von Ecken
  4. Quader, Kugel, Ellipsoid, Kegel
  5. Torus

Quadriken, die einen Mittelpunkt besitzen, nennt man Mittelpunktsquadriken.

Beispiele ohne Mittelpunkt: Dreieck, reguläres Polygon mit einer ungeraden Zahl von Ecken, Parabel, Zylinder.

Beispiele mit mehreren Symmetriepunkten: ein paralleles Geradenpaar, ein Zylinder.
Punktmengen, die punktsymmetrisch zu wenigstens zwei Punkten sind, sind dann auch gegenüber wenigstens einer Verschiebung invariant, da die Hintereinanderausführung zweier Punktspiegelungen eine Parallelverschiebung (Translation) ist.

Der Begriff Mittelpunkt ist typisch für die affine Geometrie. Projektiv entspricht der Mittelpunkt einer Strecke zwei Punktepaaren in harmonischer Lage. Ein Kreis oder Ellipse hat projektiv keinen Mittelpunkt, denn ein nichtausgearteter Kegelschnitt ist projektiv zu jedem Punkt nicht auf dem Kegelschnitt symmetrisch, d. h. es gibt eine zentrale Involution mit Zentrum , die den Kegelschnitt invariant lässt.

In der Physik nennt man den Schwerpunkt von Massen Massenmittelpunkt.

Beispiele in Koordinaten Bearbeiten

Für zwei Punkte (in der Ebene) ist

Im Raum entsprechend jeweils eine Koordinate mehr.

Der Mittelpunkt des Kreises mit der Gleichung ist .
Der Mittelpunkt der Ellipse mit der Gleichung ist .
Bei Kugel und Ellipsoid ist jeweils eine Koordinate mehr.

Der Torus mit der Gleichung

hat als Mittelpunkt. Die Symmetrie am Nullpunkt ist an dem ausschließlichen Auftreten von Quadraten der Koordinaten leicht zu erkennen.

Mittelpunkte besonderer Kreise Bearbeiten

In der Geometrie wird das Wort Mittelpunkt auch zur Kennzeichnung von Mittelpunkten besonderer Kreise geometrischer Objekte verwendet:

  1. Umkreismittelpunkt, Inkreismittelpunkt eines Dreiecks.
  2. Krümmungsmittelpunkt ist der Mittelpunkt des Krümmungskreises in einem Kurvenpunkt.
  3. Schmiegkreismittelpunkt in einem Kurvenpunkt.

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Commons: Mittelpunkt – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Mittelpunkt – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. K. P. Grotemeyer: Analytische Geometrie. Sammlung Göschen, 1962, S. 113.
  2. Grotemeyer, S. 113
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Veröffentlichungsdatum:
Dieser Artikel behandelt den Mittelpunkt in der Geometrie zu anderen gleichnamigen Bedeutungen siehe Zentrum zum Schriftzeichen Mittelpunkt siehe Mittelpunkt Schriftzeichen zu geografischen Mittelpunkten siehe Liste geographischer Mittelpunkte Der Begriff Mittelpunkt steht in der Geometrie in engem Zusammenhang zur Punktsymmetrie 1 Ist eine Punktmenge P displaystyle mathcal P in der Ebene oder im Raum zu genau einem Punkt M displaystyle M punktsymmetrisch so nennt man M displaystyle M den Mittelpunkt von P displaystyle mathcal P Beispiele mit Mittelpunkten Strecke Kreis Ellipse Quader Kugel Ellipsoid Beispiele mit Mittelpunkt Strecke Kreis Ellipse Hyperbel Quadrat Rechteck regulares Polygon mit einer geraden Anzahl von Ecken Quader Kugel Ellipsoid Kegel TorusQuadriken die einen Mittelpunkt besitzen nennt man Mittelpunktsquadriken 2 Beispiele ohne Mittelpunkt Dreieck regulares Polygon mit einer ungeraden Zahl von Ecken Parabel Zylinder Beispiele mit mehreren Symmetriepunkten ein paralleles Geradenpaar ein Zylinder Punktmengen die punktsymmetrisch zu wenigstens zwei Punkten sind sind dann auch gegenuber wenigstens einer Verschiebung invariant da die Hintereinanderausfuhrung zweier Punktspiegelungen eine Parallelverschiebung Translation ist Der Begriff Mittelpunkt ist typisch fur die affine Geometrie Projektiv entspricht der Mittelpunkt einer Strecke zwei Punktepaaren in harmonischer Lage Ein Kreis oder Ellipse hat projektiv keinen Mittelpunkt denn ein nichtausgearteter Kegelschnitt ist projektiv zu jedem Punkt Z displaystyle Z nicht auf dem Kegelschnitt symmetrisch d h es gibt eine zentrale Involution mit Zentrum Z displaystyle Z die den Kegelschnitt invariant lasst In der Physik nennt man den Schwerpunkt von Massen Massenmittelpunkt Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele in Koordinaten 2 Mittelpunkte besonderer Kreise 3 Siehe auch 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseBeispiele in Koordinaten BearbeitenMittelpunkt einer StreckeFur zwei Punkte A a 1 a 2 B b 1 b 2 displaystyle A a 1 a 2 B b 1 b 2 nbsp in der Ebene ist M a 1 b 1 2 a 2 b 2 2 displaystyle M tfrac a 1 b 1 2 tfrac a 2 b 2 2 nbsp der Mittelpunkt Im Raum entsprechend jeweils eine Koordinate mehr Mittelpunkt von Kreis EllipseDer Mittelpunkt des Kreises mit der Gleichung x x 0 2 y y 0 2 r 2 displaystyle x x 0 2 y y 0 2 r 2 nbsp ist M x 0 y 0 displaystyle M x 0 y 0 nbsp Der Mittelpunkt der Ellipse mit der Gleichung x x 0 2 a 2 y y 0 2 b 2 1 displaystyle tfrac x x 0 2 a 2 tfrac y y 0 2 b 2 1 nbsp ist M x 0 y 0 displaystyle M x 0 y 0 nbsp Bei Kugel und Ellipsoid ist jeweils eine Koordinate mehr TorusDer Torus mit der Gleichung x 2 y 2 z 2 R 2 r 2 2 4 R 2 x 2 y 2 displaystyle left x 2 y 2 z 2 R 2 r 2 right 2 4R 2 left x 2 y 2 right nbsp hat M 0 0 0 displaystyle M 0 0 0 nbsp als Mittelpunkt Die Symmetrie am Nullpunkt ist an dem ausschliesslichen Auftreten von Quadraten der Koordinaten leicht zu erkennen Mittelpunkte besonderer Kreise BearbeitenIn der Geometrie wird das Wort Mittelpunkt auch zur Kennzeichnung von Mittelpunkten besonderer Kreise geometrischer Objekte verwendet Umkreismittelpunkt Inkreismittelpunkt eines Dreiecks Krummungsmittelpunkt ist der Mittelpunkt des Krummungskreises in einem Kurvenpunkt Schmiegkreismittelpunkt in einem Kurvenpunkt Siehe auch BearbeitenAusgezeichnete Punkte im Dreieck Mittenpunkt Optischer MittelpunktWeblinks Bearbeiten nbsp Commons Mittelpunkt Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien nbsp Wiktionary Mittelpunkt Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme UbersetzungenEinzelnachweise Bearbeiten K P Grotemeyer Analytische Geometrie Sammlung Goschen 1962 S 113 Grotemeyer S 113 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Mittelpunkt amp oldid 235220061