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Regelmäßiges Polygon Regelmäßige PolygoneEin regelmäßiges Polygon reguläres Polygon regelmäßiges Vieleck reguläres Viele

Regelmäßiges Polygon


Regelmäßige Polygone

Ein regelmäßiges Polygon, reguläres Polygon, regelmäßiges Vieleck, reguläres Vieleck oder Isogon (von griechisch ἴσος, gleich und γωνία, Winkel) ist in der Geometrie ein ebenes Polygon, das sowohl gleichseitig als auch gleichwinklig ist. Bei einem regelmäßigen Polygon sind demnach alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß. Die Ecken eines regelmäßigen Polygons liegen alle auf einem gemeinsamen virtuellen oder realen Kreis, wobei benachbarte Ecken unter dem gleichen Mittelpunktswinkel erscheinen.

Regelmäßige Polygone können einfach oder überschlagen sein. Einfache regelmäßige Polygone sind stets konvex. Überschlagene regelmäßige Polygone lassen sich in einem Zug zeichnen und werden als reguläre Sternpolygone bezeichnet. Die Symmetriegruppe eines regelmäßigen -Ecks ist die Diedergruppe , bestehend aus genau Drehungen und Spiegelungen.

Alle Kenngrößen regelmäßiger Polygone, wie die Länge der Diagonalen, der Umfang oder der Flächeninhalt, können mit Hilfe trigonometrischer Funktionen angegeben werden. Nicht alle regelmäßigen Polygone sind jedoch mit Zirkel und Lineal konstruierbar. Regelmäßige Polygone werden unter anderem bei der Näherung der Kreiszahl , für Parkettierungen, in der Architektur und als Münzform verwendet.

Definition Bearbeiten

Ein Polygon mit den Seiten und den Innenwinkeln heißt regelmäßig, wenn

gilt. In einem regelmäßigen Polygon sind demnach alle Seiten zueinander kongruent und alle Winkel gleich groß.

Klassifikation Bearbeiten

Man unterscheidet einfache und überschlagene regelmäßige Polygone. Alle einfachen regelmäßigen Polygone mit gleich viel Ecken sind zueinander ähnlich und werden in der kombinatorischen Geometrie mit dem Schläfli-Symbol bezeichnet. Um degenerierte Fälle auszuschließen, wird in der Regel angenommen. Die ersten vier einfachen regelmäßigen Polygone sind:

Reguläre Sternpolygone weisen neben dem geschlossenen Polygonzug, auch eine größere Vielfalt an Formen auf. Sie werden mit dem Schläfli-Symbol bezeichnet, wobei die Umlaufzahl des Polygons um seinen Mittelpunkt angibt. Die Umlaufzahl muss dabei teilerfremd zu sein, ansonsten entartet das Polygon. Die ersten drei regelmäßigen Sternpolygone sind:

Die Anzahl der verschiedenen Typen regelmäßiger Polygone mit Ecken ist demnach , wobei die eulersche Phi-Funktion ist. Sind und nicht teilerfremd, werden mit dem Schläfli-Symbol Sterne bezeichnet, die aus mehreren regelmäßigen Polygonen zusammengesetzt sind. Beispiele sind das Hexagramm und das Oktagramm .

Bezeichnungen regelmäßiger Polygone und weiterer Sternformen

Kenngrößen Bearbeiten

Winkel Bearbeiten

Größen beim regelmäßigen Sechseck

Die Ecken eines regelmäßigen Polygons liegen konzyklisch auf einem gemeinsamen Kreis. Ein regelmäßiges Polygon ist damit ein Sehnenvieleck und besitzt so einen Umkreis mit Umkreisradius . Zudem liegen die Ecken gleichabständig auf dem Kreis, das heißt, nebeneinander liegende Ecken erscheinen unter dem gleichen Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel)

Damit ist ein regelmäßiges Polygon auch ein Tangentenvieleck mit einem Inkreis mit Inkreisradius . Der Inkreis berührt die Polygonseiten dabei in den Seitenmittelpunkten. Der Inkreismittelpunkt stimmt mit dem Umkreismittelpunkt überein und wird der Mittelpunkt des Polygons genannt. Nachdem die Winkelsumme in einem einfachen -Eck stets ergibt, messen in einem einfachen regelmäßigen Polygon alle Innenwinkel

Da sich an den Ecken eines Polygons Innen- und Außenwinkel zu ergänzen, sind in einem einfachen regelmäßigen Polygon auch alle Außenwinkel gleich groß und messen jeweils

Für die Winkel in regelmäßigen Polygonen ergeben sich beispielsweise folgende Werte:

Polygon Mittelpunktswinkel Innenwinkel Außenwinkel
Gradmaß Bogenmaß Gradmaß Bogenmaß Gradmaß Bogenmaß
n-Eck
Dreieck
Viereck
Fünfeck
Sechseck
Achteck
Zehneck
Zwölfeck

Längen Bearbeiten

Bestimmungsdreieck

Die wichtigsten Kenngrößen einfacher regelmäßiger Polygone können mit Hilfe des Bestimmungsdreiecks, das von dem Mittelpunkt und zwei benachbarten Ecken des Polygons gebildet wird, ermittelt werden. Das Bestimmungsdreieck ist gleichschenklig mit dem Spitzenwinkel , den Basiswinkeln , den Schenkeln , der Basis und der Höhe . Wird das Bestimmungsdreieck entlang der Höhe (dem Apothema) in zwei rechtwinklige Dreiecke unterteilt, ergeben sich mit dem oben angegebenen Mittelpunktswinkel und den trigonometrischen Funktionen (Sinus und Kosinus, Tangens und Kotangens sowie Sekans und Kosekans) die folgenden Beziehungen zwischen der Seitenlänge , dem Umkreisradius und dem Inkreisradius :

Für manche Werte von lassen sich explizite Formeln für die Funktionswerte der trigonometrischen Funktionen (siehe Formelsammlung Trigonometrie) und damit für die Längen in einfachen regelmäßigen Polygonen angeben, zum Beispiel:

Polygon Seitenlänge gegeben Umkreisradius gegeben Inkreisradius gegeben
Umkreisradius Inkreisradius Seitenlänge Inkreisradius Seitenlänge Umkreisradius
n-Eck
Dreieck
Viereck
Fünfeck
Sechseck
Achteck
Zehneck
Zwölfeck

Umfang und Flächeninhalt Bearbeiten

Der Umfang eines einfachen regelmäßigen Polygons ist das -fache der Seitenlänge und damit

Der Flächeninhalt eines einfachen regelmäßigen Polygons ist entsprechend das -Fache der Fläche des Bestimmungsdreiecks:

Die letzte Gleichung folgt dabei aus der Doppelwinkelformel. Damit ergeben sich beispielsweise die folgenden expliziten Formeln für den Umfang und den Flächeninhalt einfacher regelmäßiger Polygone:

Polygon Seitenlänge gegeben Umkreisradius gegeben Inkreisradius gegeben
Umfang Flächeninhalt Umfang Flächeninhalt Umfang Flächeninhalt
Monotonie steigend steigend steigend steigend fallend fallend
n-Eck
Dreieck
Viereck
Fünfeck
Sechseck
Achteck
Zehneck
Zwölfeck

Monotonie und Grenzwert von Flächeninhalt und Umfang Bearbeiten

Schrittweise Annäherung an einen Kreis durch ein- beziehungsweise umbeschriebene regelmäßige Polygone

Es ist nicht immer offensichtlich, dass der Umfang und der Flächeninhalt des regelmäßigen Polygons streng monoton steigt oder streng monoton fällt, wenn größer wird. Da bei der Beschreibung von Flächeninhalt und Umfang die Sinus- und Tangensfunktion eine wichtige Rolle spielen, werden zunächst nützliche Eigenschaften dieser Funktionen bereitgestellt.

Eigenschaften der Tangens- und Sinusfunktionen Bearbeiten

Aus der Reihendarstellung der Tangensfunktion folgt für :

  1. die Ungleichung und
  2. ist streng monoton steigend mit .

Ersetzt man durch , so folgt aus der Kettenregel für eine Umkehrung der Monotonie. Für gilt dann:

  • ist streng monoton fallend und .

Für gilt:

Die Monotonie ergibt sich mit Hilfe der Ableitung und , der Grenzwert mit der Regel von de L’Hospital. Ersetzt man durch , ergibt sich für :

  • ist streng monoton steigend und .

Bei vorgegebenem Umkreisradius Bearbeiten

Flächenfunktion

Wenn der Umkreisradius gegeben ist, kann der Flächeninhalt mit der Funktion beschrieben werden (siehe oben).

Aus den Eigenschaften der Sinusfunktion (siehe oben) folgt, dass die Funktion für alle reellen Zahlen streng monoton steigt. Für den Grenzwert erhält man mit

Dies ist der Flächeninhalt des Umkreises.

Analog ergibt sich die strenge Monotonie des Umfangs . Der Grenzwert des Umfangs ist

Dies ist der Umfang des Umkreises.

Bei vorgegebenem Inkreisradius Bearbeiten

In diesem Fall wird der Flächeninhalt durch die Funktion beschrieben. Wie im vorigen Abschnitt zeigt man: Für alle reellen Zahlen ist streng monoton steigend und es ist . Die strenge Monotonie des Umfangs lässt sich ebenso beweisen.

Diagonalen Bearbeiten

Diagonalen im regelmäßigen Achteck

Von jeder Ecke eines regelmäßigen -Ecks gehen Diagonalen bis aus. Die Länge der Diagonalen kann wiederum mit Hilfe des Bestimmungsdreiecks, das von dem Mittelpunkt des Polygons und den beiden Endpunkten der Diagonale gebildet wird, ermittelt werden. Das Bestimmungsdreieck der -ten Diagonale, , ist wieder gleichschenklig und hat die Schenkel , die Basis und den Spitzenwinkel . Damit ergibt sich für die Länge der -ten Diagonale

Für die Längen der Diagonalen in einem einfachen regelmäßigen Polygon gilt die Identität

Durch Drehung der Diagonalen um den Winkel mit dem Mittelpunkt als Drehzentrum oder aus dem Kreiswinkelsatz, denn jedes regelmäßige Polygon hat einen Umkreis, folgt, dass die kleinen Dreiecke der Dreieckszerlegung mit den Seitenlängen , und die Innenwinkel , und hat. Daraus ergibt sich mithilfe des Sinussatz die genannte Formel für die Länge der -ten Diagonale.

Eine andere Möglichkeit ist die Verwendung des Kosinussatz und vollständige Induktion.

Wenn der Umkreis des regelmäßigen Polygons mit dem Durchmesser betrachtet wird, kann alternativ der Satz des Thales oder auch der Sekanten-Tangenten-Satz verwendet werden.

Ist die Eckenzahl des Polygons gerade, sind daher Diagonalen unterschiedlich lang. Ist die Eckenzahl ungerade, gibt es verschieden lange Diagonalen.

Bei gegebener Seitenlänge ergeben sich beispielsweise die folgenden expliziten Formeln für die Längen der Diagonalen einfacher regelmäßiger Polygone:

Polygon Diagonalen
Diagonale Diagonale Diagonale Diagonale Diagonale
Viereck
Fünfeck
Sechseck
Achteck
Zehneck
Zwölfeck

Eigenschaften Bearbeiten

Symmetrien Bearbeiten

Symmetrieachsen beim regelmäßigen Fünfeck und Sechseck

Die Symmetriegruppe eines regelmäßigen -Ecks ist die Diedergruppe . Die Diedergruppe weist die Ordnung auf und besteht aus

Ist gerade, dann verläuft die eine Hälfte der Symmetrieachsen durch zwei gegenüberliegende Ecken und die andere Hälfte durch zwei Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten. Ist ungerade, dann verlaufen alle Symmetrieachsen durch eine Ecke und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite.

Jedes regelmäßige Polygon mit gerader Eckenzahl ist auch punktsymmetrisch bezüglich seines Mittelpunkts.

Zerlegungen Bearbeiten

Zerlegungen eines regelmäßigen Siebenecks und eines regelmäßigen Achtecks entlang aller Diagonalen

Die Gesamtzahl aller Diagonalen in einem regelmäßigen -Eck ergibt sich zu (Folge A000096 in OEIS), da von jeder der Ecken Diagonalen ausgehen und bei dieser Zählung alle Diagonalen doppelt gezählt werden. Bei einem einfachen regelmäßigen Polygon mit gerader Eckenzahl verlaufen alle Diagonalen durch den Mittelpunkt des Polygons. Bei ungerader Eckenzahl wird durch die Diagonalen im Inneren eine verkleinerte Kopie des Polygons gebildet. Die Anzahl der Schnittpunkte der Diagonalen im Inneren eines einfachen regelmäßigen -Ecks ergibt die Folge

Diese Folge ganzer Zahlen ist nicht monoton steigend.

Jeweils 4 beliebige Eckpunkte des regelmäßigen -Ecks bilden ein konvexes Viereck. Die zwei Diagonalen des Vierecks schneiden sich in einem Punkt. Umgekehrt gehört jeder Schnittpunkt zu mindestens zwei Diagonalen des regelmäßigen -Ecks.

Für ungerades schneiden sich immer nur 2 Diagonalen in einem Punkt. Die Anzahl der Schnittpunkte ist daher gleich der Anzahl der Möglichkeiten, 4 der Eckpunkte auszuwählen, wenn die Reihenfolge nicht berücksichtigt wird, also die Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung:

Für gerades größer gleich 6 schneiden sich auch mehr als 2 Diagonalen in einem Punkt. In diesem Fall ist die Anzahl der Schnittpunkte kleiner als .

Die Anzahl der Teilpolygone, die durch eine vollständige Zerlegung eines einfachen regelmäßigen -Ecks entlang der Diagonalen entsteht, ergibt die Folge

Für ungerades ist diese Anzahl gleich

und kleiner für gerades . Auch diese Folge ganzer Zahlen ist nicht monoton steigend.

Die Anzahl der Möglichkeiten, ein einfaches regelmäßiges -Eck überschneidungsfrei entlang der Diagonalen in Teilpolygone zu zerteilen, wird durch die kleinen Schröder-Zahlen angegeben. Sollen diese Teilpolygone ausschließlich Dreiecke sein, wird die Anzahl der Möglichkeiten durch die Catalan-Zahlen angegeben. Allgemeiner werden auch Zerlegungen regelmäßiger Polygone untersucht, bei denen nicht nur die Diagonalen verwendet werden dürfen, zum Beispiel die Zerlegung in flächengleiche Dreiecke.

Zusammenhang mit Sternpolygonen Bearbeiten

Es können auch nur gleich lange Diagonalen, aber nicht die Seiten in einem regelmäßigen -Eck eingezeichnet werden.

Werden die Ecken mit Indexen durchnummeriert und nur die mit einer geraden Strecke verbunden, deren – fortlaufende – Indexe die Differenz haben, dann sind diese Strecken gleich lange Diagonalen und es entsteht ein regelmäßiges Sternpolygon. Umgangssprachlich kann man auch sagen, dass immer jeder -te Punkt einer gleichmäßig mit  Punkten unterteilten Kreislinie mit einer geraden Strecke verbunden wird. Die formale Bezeichnung für ein solches Sternpolygon ist -Stern (siehe Schläfli-Symbol).

Wird immer jede zweite Ecke innerhalb eines regelmäßigen Fünfecks verbunden, dann entsteht ein regelmäßiger -Stern, nämlich das Pentagramm. Wird immer jede zweite Ecke innerhalb eines regelmäßigen Sechsecks verbunden, dann entsteht ein regelmäßiger -Stern, nämlich das Hexagramm, das auch als Davidstern bekannt ist.

Für und gibt es folgende regelmäßige Sternpolygone:

Abstände Bearbeiten

Die Summe der Abstände von einem beliebigen Punkt im Inneren eines regelmäßigen Polygons zu den Seiten ist gleich der Summe der Abstände vom Mittelpunkt zu den Seiten

Nach dem Satz von Viviani ist die Summe der senkrechten Abstände von einem beliebigen Punkt im Inneren eines einfachen regelmäßigen Polygons zu den Polygonseiten gleich der Summe der Abstände vom Mittelpunkt zu den Seiten und damit gleich . Betrachtet man nämlich die Dreiecke, die von dem Punkt und jeweils zwei benachbarten Eckpunkten gebildet werden, dann ist die Summe der Flächeninhalte dieser Dreiecke gleich dem gesamten Flächeninhalt des Polygons, also

Die Aussage ergibt sich dann durch Dividieren beider Seiten der Gleichung durch . Weitere Identitäten in regelmäßigen Polygonen sind:

  • Die Summe der Abstände von den Eckpunkten zu einer beliebigen Umkreistangente ist .
  • Die Summe der Abstandsquadrate von den Eckpunkten zu einem beliebigen Punkt auf dem Umkreis ist .
  • Die Summe der Abstandsquadrate von den Seitenmitten zu einem beliebigen Punkt auf dem Umkreis ist .

Das Produkt der Abstände von einem Eckpunkt zu allen anderen Eckpunkten ergibt sich in einem regelmäßigen Polygon zu

Maximalität Bearbeiten

Von allen in einen Kreis ein­beschrie­benen Sechsecken hat das regelmäßige Sechseck die größte Fläche

Regelmäßige Polygone maximieren nach dem Satz von Zenodoros den Flächeninhalt im Vergleich zu anderen Polygonen in folgender Weise:

  • Von allen -Ecken mit gleichem Umfang hat das regelmäßige -Eck den größten Flächeninhalt.
  • Von allen in einen gegebenen Kreis einbeschriebenen -Ecken hat das regelmäßige -Eck den größten Flächeninhalt.
  • In jeder endlichen Menge regelmäßiger Polygone mit gleichem Umfang hat dasjenige mit den meisten Ecken den größten Flächeninhalt.

Andererseits gilt aber auch die isoperimetrische Ungleichung:

  • Ein Kreis hat einen größeren Flächeninhalt als jedes regelmäßige Polygon mit gleichem Umfang.

Darstellung mit Koordinaten Bearbeiten

Die Ecken auf dem Umkreis eines regelmäßigen Zwölfecks und die entsprechenden Winkel bezogen auf den Mittelpunkt.

Kartesische Koordinaten:
Die Ecken eines regelmäßigen -Ecks mit den Eckpunkten auf dem Kreis um den Ursprung mit Radius (Umkreisradius) und haben für die Koordinaten

Polarkoordinaten:
Die Polarkoordinaten des Punktes sind

Definition als Menge von Punkten Bearbeiten

Definition als Schnittmenge von Halbebenen Bearbeiten

Ein regelmäßiges -Eck kann mithilfe der Geraden, die jeweils durch zwei benachbarte Eckpunkte verlaufen, definiert werden. Das regelmäßige Polygon ist die Schnittmenge der Halbebenen, die auf der Seite des Koordinatenursprungs liegen. Sie kann formal geschrieben werden als

Jede dieser Halbebenen ist die Menge aller Punkte, die die zur Zwei-Punkte-Gleichung der Geraden gehörende Ungleichung erfüllen.

Für das Innere des regelmäßige Polygons muss in den Ungleichungen jeweils durch ersetzt werden und für den Rand muss in 1 oder 2 Ungleichungen durch

Veröffentlichungsdatum:
Regelmassige PolygoneEin regelmassiges Polygon regulares Polygon regelmassiges Vieleck regulares Vieleck oder Isogon von griechisch ἴsos gleich und gwnia Winkel ist in der Geometrie ein ebenes Polygon das sowohl gleichseitig als auch gleichwinklig ist Bei einem regelmassigen Polygon sind demnach alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich gross Die Ecken eines regelmassigen Polygons liegen alle auf einem gemeinsamen virtuellen oder realen Kreis wobei benachbarte Ecken unter dem gleichen Mittelpunktswinkel erscheinen Regelmassige Polygone konnen einfach oder uberschlagen sein Einfache regelmassige Polygone sind stets konvex Uberschlagene regelmassige Polygone lassen sich in einem Zug zeichnen und werden als regulare Sternpolygone bezeichnet Die Symmetriegruppe eines regelmassigen n displaystyle n Ecks ist die Diedergruppe D n displaystyle D n bestehend aus genau n displaystyle n Drehungen und n displaystyle n Spiegelungen Alle Kenngrossen regelmassiger Polygone wie die Lange der Diagonalen der Umfang oder der Flacheninhalt konnen mit Hilfe trigonometrischer Funktionen angegeben werden Nicht alle regelmassigen Polygone sind jedoch mit Zirkel und Lineal konstruierbar Regelmassige Polygone werden unter anderem bei der Naherung der Kreiszahl p displaystyle pi fur Parkettierungen in der Architektur und als Munzform verwendet Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Klassifikation 3 Kenngrossen 3 1 Winkel 3 2 Langen 3 3 Umfang und Flacheninhalt 3 4 Monotonie und Grenzwert von Flacheninhalt und Umfang 3 4 1 Eigenschaften der Tangens und Sinusfunktionen 3 4 2 Bei vorgegebenem Umkreisradius 3 4 3 Bei vorgegebenem Inkreisradius 3 5 Diagonalen 4 Eigenschaften 4 1 Symmetrien 4 2 Zerlegungen 4 2 1 Zusammenhang mit Sternpolygonen 4 3 Abstande 4 4 Maximalitat 5 Darstellung mit Koordinaten 6 Definition als Menge von Punkten 6 1 Definition als Schnittmenge von Halbebenen 6 2 Definition als Voronoi Zelle 7 Konstruktion 7 1 Zirkel und Lineal 7 2 Apeirogon als Grenzform 7 3 Schachtelungen 8 Verwendung 8 1 Polygonalzahlen 8 2 Naherung von p 8 3 Parkettierungen 8 4 Polyeder 9 Vorkommen 9 1 Architektur 9 2 Numismatik 9 3 Natur 9 4 Symbolik 10 Siehe auch 11 Literatur 12 Weblinks 13 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEin Polygon mit den n displaystyle n nbsp Seiten a b c displaystyle a b c ldots nbsp und den Innenwinkeln a b g displaystyle alpha beta gamma ldots nbsp heisst regelmassig wenn a b c displaystyle a b c dotsb nbsp und a b g displaystyle alpha beta gamma dotsb nbsp gilt In einem regelmassigen Polygon sind demnach alle Seiten zueinander kongruent und alle Winkel gleich gross 1 Klassifikation BearbeitenMan unterscheidet einfache und uberschlagene regelmassige Polygone Alle einfachen regelmassigen Polygone mit gleich viel Ecken sind zueinander ahnlich und werden in der kombinatorischen Geometrie mit dem Schlafli Symbol n displaystyle n nbsp bezeichnet Um degenerierte Falle auszuschliessen wird in der Regel n 3 displaystyle n geq 3 nbsp angenommen Die ersten vier einfachen regelmassigen Polygone sind 1 das gleichseitige Dreieck 3 displaystyle 3 nbsp das Quadrat 4 displaystyle 4 nbsp das regelmassige Funfeck 5 displaystyle 5 nbsp und das regelmassige Sechseck 6 displaystyle 6 nbsp Regulare Sternpolygone weisen neben dem geschlossenen Polygonzug auch eine grossere Vielfalt an Formen auf Sie werden mit dem Schlafli Symbol n m displaystyle n m nbsp bezeichnet wobei 2 m lt n 2 displaystyle 2 leq m lt n 2 nbsp die Umlaufzahl des Polygons um seinen Mittelpunkt angibt Die Umlaufzahl muss dabei teilerfremd zu n displaystyle n nbsp sein ansonsten entartet das Polygon Die ersten drei regelmassigen Sternpolygone sind der Funfstern 5 2 displaystyle 5 2 nbsp die Siebensterne 7 2 displaystyle 7 2 nbsp und 7 3 displaystyle 7 3 nbsp sowie der Achtstern 8 3 displaystyle 8 3 nbsp Die Anzahl der verschiedenen Typen regelmassiger Polygone mit n displaystyle n nbsp Ecken ist demnach 1 2 f n displaystyle tfrac 1 2 varphi n nbsp wobei f displaystyle varphi nbsp die eulersche Phi Funktion ist Sind n displaystyle n nbsp und m displaystyle m nbsp nicht teilerfremd werden mit dem Schlafli Symbol n m displaystyle n m nbsp Sterne bezeichnet die aus mehreren regelmassigen Polygonen zusammengesetzt sind Beispiele sind das Hexagramm 6 2 displaystyle 6 2 nbsp und das Oktagramm 8 2 displaystyle 8 2 nbsp nbsp Bezeichnungen regelmassiger Polygone und weiterer SternformenKenngrossen BearbeitenWinkel Bearbeiten nbsp Grossen beim regelmassigen SechseckDie Ecken eines regelmassigen Polygons liegen konzyklisch auf einem gemeinsamen Kreis Ein regelmassiges Polygon ist damit ein Sehnenvieleck und besitzt so einen Umkreis mit Umkreisradius r u displaystyle r u nbsp Zudem liegen die Ecken gleichabstandig auf dem Kreis das heisst nebeneinander liegende Ecken erscheinen unter dem gleichen Mittelpunktswinkel Zentriwinkel m 1 n 360 2 p n displaystyle mu frac 1 n cdot 360 circ frac 2 pi n nbsp Damit ist ein regelmassiges Polygon auch ein Tangentenvieleck mit einem Inkreis mit Inkreisradius r i displaystyle r i nbsp Der Inkreis beruhrt die Polygonseiten dabei in den Seitenmittelpunkten Der Inkreismittelpunkt stimmt mit dem Umkreismittelpunkt uberein und wird der Mittelpunkt des Polygons genannt Nachdem die Winkelsumme in einem einfachen n displaystyle n nbsp Eck stets n 2 180 displaystyle n 2 cdot 180 circ nbsp ergibt messen in einem einfachen regelmassigen Polygon alle Innenwinkel a n 2 n 180 p 2 p n displaystyle alpha frac n 2 n cdot 180 circ pi frac 2 pi n nbsp Da sich an den Ecken eines Polygons Innen und Aussenwinkel zu 180 displaystyle 180 circ nbsp erganzen sind in einem einfachen regelmassigen Polygon auch alle Aussenwinkel gleich gross und messen jeweils 1 a 1 n 360 2 p n displaystyle alpha frac 1 n cdot 360 circ frac 2 pi n nbsp Fur die Winkel in regelmassigen Polygonen ergeben sich beispielsweise folgende Werte Polygon Mittelpunktswinkel m displaystyle mu nbsp Innenwinkel a displaystyle alpha nbsp Aussenwinkel a displaystyle alpha nbsp Gradmass Bogenmass Gradmass Bogenmass Gradmass Bogenmassn Eck 1 n 360 displaystyle frac 1 n cdot 360 circ nbsp 2 p n displaystyle frac 2 pi n nbsp n 2 n 180 displaystyle frac n 2 n cdot 180 circ nbsp p 2 p n displaystyle pi frac 2 pi n nbsp 1 n 360 displaystyle frac 1 n cdot 360 circ nbsp 2 p n displaystyle frac 2 pi n nbsp Dreieck 120 displaystyle 120 circ nbsp 2 3 p displaystyle tfrac 2 3 pi nbsp 60 displaystyle 60 circ nbsp 1 3 p displaystyle tfrac 1 3 pi nbsp 120 displaystyle 120 circ nbsp 2 3 p displaystyle tfrac 2 3 pi nbsp Viereck 90 displaystyle 90 circ nbsp 1 2 p displaystyle tfrac 1 2 pi nbsp 90 displaystyle 90 circ nbsp 1 2 p displaystyle tfrac 1 2 pi nbsp 90 displaystyle 90 circ nbsp 1 2 p displaystyle tfrac 1 2 pi nbsp Funfeck 72 displaystyle 72 circ nbsp 2 5 p displaystyle tfrac 2 5 pi nbsp 108 displaystyle 108 circ nbsp 3 5 p displaystyle tfrac 3 5 pi nbsp 72 displaystyle 72 circ nbsp 2 5 p displaystyle tfrac 2 5 pi nbsp Sechseck 60 displaystyle 60 circ nbsp 1 3 p displaystyle tfrac 1 3 pi nbsp 120 displaystyle 120 circ nbsp 2 3 p displaystyle tfrac 2 3 pi nbsp 60 displaystyle 60 circ nbsp 1 3 p displaystyle tfrac 1 3 pi nbsp Achteck 45 displaystyle 45 circ nbsp 1 4 p displaystyle tfrac 1 4 pi nbsp 135 displaystyle 135 circ nbsp 3 4 p displaystyle tfrac 3 4 pi nbsp 45 displaystyle 45 circ nbsp 1 4 p displaystyle tfrac 1 4 pi nbsp Zehneck 36 displaystyle 36 circ nbsp 1 5 p displaystyle tfrac 1 5 pi nbsp 144 displaystyle 144 circ nbsp 4 5 p displaystyle tfrac 4 5 pi nbsp 36 displaystyle 36 circ nbsp 1 5 p displaystyle tfrac 1 5 pi nbsp Zwolfeck 30 displaystyle 30 circ nbsp 1 6 p displaystyle tfrac 1 6 pi nbsp 150 displaystyle 150 circ nbsp 5 6 p displaystyle tfrac 5 6 pi nbsp 30 displaystyle 30 circ nbsp 1 6 p displaystyle tfrac 1 6 pi nbsp Langen Bearbeiten nbsp BestimmungsdreieckDie wichtigsten Kenngrossen einfacher regelmassiger Polygone konnen mit Hilfe des Bestimmungsdreiecks das von dem Mittelpunkt und zwei benachbarten Ecken des Polygons gebildet wird ermittelt werden Das Bestimmungsdreieck ist gleichschenklig mit dem Spitzenwinkel m displaystyle mu nbsp den Basiswinkeln a 2 displaystyle tfrac alpha 2 nbsp den Schenkeln r u displaystyle r u nbsp der Basis a displaystyle a nbsp und der Hohe r i displaystyle r i nbsp 2 Wird das Bestimmungsdreieck entlang der Hohe dem Apothema in zwei rechtwinklige Dreiecke unterteilt ergeben sich mit dem oben angegebenen Mittelpunktswinkel und den trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus Tangens und Kotangens sowie Sekans und Kosekans die folgenden Beziehungen zwischen der Seitenlange a displaystyle a nbsp dem Umkreisradius r u displaystyle r u nbsp und dem Inkreisradius r i displaystyle r i nbsp 3 a 2 r u sin p n 2 r i tan p n displaystyle a 2 r u cdot sin left frac pi n right 2 r i cdot tan left frac pi n right nbsp r u a 2 csc p n r i sec p n displaystyle r u frac a 2 cdot csc left frac pi n right r i cdot sec left frac pi n right nbsp r i a 2 cot p n r u cos p n displaystyle r i frac a 2 cdot cot left frac pi n right r u cdot cos left frac pi n right nbsp Fur manche Werte von n displaystyle n nbsp lassen sich explizite Formeln fur die Funktionswerte der trigonometrischen Funktionen siehe Formelsammlung Trigonometrie und damit fur die Langen in einfachen regelmassigen Polygonen angeben zum Beispiel 3 Polygon Seitenlange a displaystyle a nbsp gegeben Umkreisradius r u displaystyle r u nbsp gegeben Inkreisradius r i displaystyle r i nbsp gegebenUmkreisradius Inkreisradius Seitenlange Inkreisradius Seitenlange Umkreisradiusn Eck a 2 csc p n displaystyle frac a 2 cdot csc left frac pi n right nbsp a 2 cot p n displaystyle frac a 2 cdot cot left frac pi n right nbsp 2 r u sin p n displaystyle 2 r u cdot sin left frac pi n right nbsp r u cos p n displaystyle r u cdot cos left frac pi n right nbsp 2 r i tan p n displaystyle 2 r i cdot tan left frac pi n right nbsp r i sec p n displaystyle r i cdot sec left frac pi n right nbsp Dreieck a 1 3 3 displaystyle a cdot tfrac 1 3 sqrt 3 nbsp a 1 6 3 displaystyle a cdot tfrac 1 6 sqrt 3 nbsp r u 3 displaystyle r u cdot sqrt 3 nbsp r u 1 2 displaystyle r u cdot tfrac 1 2 nbsp r i 2 3 displaystyle r i cdot 2 sqrt 3 nbsp r i 2 displaystyle r i cdot 2 nbsp Viereck a 1 2 2 displaystyle a cdot tfrac 1 2 sqrt 2 nbsp a 1 2 displaystyle a cdot tfrac 1 2 nbsp r u 2 displaystyle r u cdot sqrt 2 nbsp r u 1 2 2 displaystyle r u cdot tfrac 1 2 sqrt 2 nbsp r i 2 displaystyle r i cdot 2 nbsp r i 2 displaystyle r i cdot sqrt 2 nbsp Funfeck a 1 10 5 5 displaystyle a cdot sqrt tfrac 1 10 left 5 sqrt 5 right nbsp a 1 2 1 5 5 2 5 displaystyle a cdot tfrac 1 2 sqrt tfrac 1 5 left 5 2 sqrt 5 right nbsp r u 1 2 5 5 displaystyle r u cdot sqrt tfrac 1 2 left 5 sqrt 5 right nbsp r u 1 4 1 5 displaystyle r u cdot tfrac 1 4 left 1 sqrt 5 right nbsp r i 2 5 2 5 displaystyle r i cdot 2 sqrt 5 2 sqrt 5 nbsp r i 5 1 displaystyle r i cdot left sqrt 5 1 right nbsp Sechseck a 1 displaystyle a cdot 1 nbsp a 1 2 3 displaystyle a cdot tfrac 1 2 sqrt 3 nbsp r u 1 displaystyle r u cdot 1 nbsp r u 1 2 3 displaystyle r u cdot tfrac 1 2 sqrt 3 nbsp r i 2 3 3 displaystyle r i cdot tfrac 2 3 sqrt 3 nbsp r i 2 3 3 displaystyle r i cdot tfrac 2 3 sqrt 3 nbsp Achteck a 1 2 2 2 displaystyle a cdot sqrt tfrac 1 2 left 2 sqrt 2 right nbsp a 1 2 1 2 displaystyle a cdot tfrac 1 2 left 1 sqrt 2 right nbsp r u 2 2 displaystyle r u cdot sqrt 2 sqrt 2 nbsp r u 1 2 2 2 displaystyle r u cdot tfrac 1 2 sqrt 2 sqrt 2 nbsp r i 2 2 1 displaystyle r i cdot 2 left sqrt 2 1 right nbsp r i 2 2 2 displaystyle r i cdot sqrt 2 left 2 sqrt 2 right nbsp Zehneck a 1 2 1 5 displaystyle a cdot tfrac 1 2 left 1 sqrt 5 right nbsp a 1 2 5 2 5 displaystyle a cdot tfrac 1 2 sqrt 5 2 sqrt 5 nbsp r u 1 2 5 1 displaystyle r u cdot tfrac 1 2 left sqrt 5 1 right nbsp r u 1 2 1 2 5 5 displaystyle r u cdot tfrac 1 2 sqrt tfrac 1 2 left 5 sqrt 5 right nbsp r i 2 1 5 5 2 5 displaystyle r i cdot 2 sqrt tfrac 1 5 left 5 2 sqrt 5 right nbsp r i 2 5 5 5 displaystyle r i cdot sqrt tfrac 2 5 left 5 sqrt 5 right nbsp Zwolfeck a 2 3 displaystyle a cdot sqrt 2 sqrt 3 nbsp a 1 2 2 3 displaystyle a cdot tfrac 1 2 left 2 sqrt 3 right nbsp r u 2 3 displaystyle r u cdot sqrt 2 sqrt 3 nbsp r u 1 2 2 3 displaystyle r u cdot tfrac 1 2 sqrt 2 sqrt 3 nbsp r i 2 2 3 displaystyle r i cdot 2 left 2 sqrt 3 right nbsp r i 2 2 3 displaystyle r i cdot 2 sqrt 2 sqrt 3 nbsp Umfang und Flacheninhalt Bearbeiten Der Umfang eines einfachen regelmassigen Polygons ist das n displaystyle n nbsp fache der Seitenlange und damit U n a 2 n r u sin p n 2 n r i tan p n displaystyle U n a 2 n r u cdot sin left frac pi n right 2 n r i cdot tan left frac pi n right nbsp Der Flacheninhalt eines einfachen regelmassigen Polygons ist entsprechend das n displaystyle n nbsp Fache der Flache des Bestimmungsdreiecks 3 A n a r i 2 n a 2 4 cot p n n r u 2 2 sin 2 p n n r i 2 tan p n displaystyle A frac n a r i 2 frac n a 2 4 cdot cot left frac pi n right frac n r u 2 2 cdot sin left frac 2 pi n right n r i 2 cdot tan left frac pi n right nbsp Die letzte Gleichung folgt dabei aus der Doppelwinkelformel Damit ergeben sich beispielsweise die folgenden expliziten Formeln fur den Umfang und den Flacheninhalt einfacher regelmassiger Polygone 3 Polygon Seitenlange a displaystyle a nbsp gegeben Umkreisradius r u displaystyle r u nbsp gegeben Inkreisradius r i displaystyle r i nbsp gegebenUmfang Flacheninhalt Umfang Flacheninhalt Umfang FlacheninhaltMonotonie steigend steigend steigend steigend fallend fallendn Eck U n a displaystyle U n a nbsp A n a 2 4 cot p n displaystyle A frac n a 2 4 cdot cot left frac pi n right nbsp U 2 n r u sin p n displaystyle U 2 n r u cdot sin left frac pi n right nbsp A n r u 2 2 sin 2 p n displaystyle A frac n r u 2 2 cdot sin left frac 2 pi n right nbsp U 2 n r i tan p n displaystyle U 2 n r i cdot tan left frac pi n right nbsp A n r i 2 tan p n displaystyle A n r i 2 cdot tan left frac pi n right nbsp Dreieck a 3 displaystyle a cdot 3 nbsp a 2 1 4 3 displaystyle a 2 cdot tfrac 1 4 sqrt 3 nbsp r u 3 3 displaystyle r u cdot 3 sqrt 3 nbsp r u 2 3 4 3 displaystyle r u 2 cdot tfrac 3 4 sqrt 3 nbsp r i 6 3 displaystyle r i cdot 6 sqrt 3 nbsp r i 2 3 3 displaystyle r i 2 cdot 3 sqrt 3 nbsp Viereck a 4 displaystyle a cdot 4 nbsp a 2 1 displaystyle a 2 cdot 1 nbsp r u 4 2 displaystyle r u cdot 4 sqrt 2 nbsp r u 2 2 displaystyle r u 2 cdot 2 nbsp r i 8 displaystyle r i cdot 8 nbsp r i 2 4 displaystyle r i 2 cdot 4 nbsp Funfeck a 5 displaystyle a cdot 5 nbsp a 2 1 4 5 5 2 5 displaystyle a 2 cdot tfrac 1 4 sqrt 5 left 5 2 sqrt 5 right nbsp r u 5 1 2 5 5 displaystyle r u cdot 5 sqrt tfrac 1 2 left 5 sqrt 5 right nbsp r u 2 5 4 1 2 5 5 displaystyle r u 2 cdot tfrac 5 4 sqrt tfrac 1 2 left 5 sqrt 5 right nbsp r i 10 5 2 5 displaystyle r i cdot 10 sqrt 5 2 sqrt 5 nbsp r i 2 5 5 2 5 displaystyle r i 2 cdot 5 sqrt 5 2 sqrt 5 nbsp Sechseck a 6 displaystyle a cdot 6 nbsp a 2 3 2 3 displaystyle a 2 cdot tfrac 3 2 sqrt 3 nbsp r u 6 displaystyle r u cdot 6 nbsp r u 2 3 2 3 displaystyle r u 2 cdot tfrac 3 2 sqrt 3 nbsp r i 4 3 displaystyle r i cdot 4 sqrt 3 nbsp r i 2 2 3 displaystyle r i 2 cdot 2 sqrt 3 nbsp Achteck a 8 displaystyle a cdot 8 nbsp a 2 2 1 2 displaystyle a 2 cdot 2 left 1 sqrt 2 right nbsp r u 8 2 2 displaystyle r u cdot 8 sqrt 2 sqrt 2 nbsp r u 2 2 2 displaystyle r u 2 cdot 2 sqrt 2 nbsp r i 16 2 1 displaystyle r i cdot 16 left sqrt 2 1 right nbsp r i 2 8 2 1 displaystyle r i 2 cdot 8 left sqrt 2 1 right nbsp Zehneck a 10 displaystyle a cdot 10 nbsp a 2 5 2 5 2 5 displaystyle a 2 cdot tfrac 5 2 sqrt 5 2 sqrt 5 nbsp r u 5 5 1 displaystyle r u cdot 5 left sqrt 5 1 right nbsp r u 2 5 2 1 2 5 5 displaystyle r u 2 cdot tfrac 5 2 sqrt tfrac 1 2 left 5 sqrt 5 right nbsp r i 4 5 5 2 5 displaystyle r i cdot 4 sqrt 5 left 5 2 sqrt 5 right nbsp r i 2 2 5 5 2 5 displaystyle r i 2 cdot 2 sqrt 5 left 5 2 sqrt 5 right nbsp Zwolfeck a 12 displaystyle a cdot 12 nbsp a 2 3 2 3 displaystyle a 2 cdot 3 left 2 sqrt 3 right nbsp r u 12 2 3 displaystyle r u cdot 12 sqrt 2 sqrt 3 nbsp r u 2 3 displaystyle r u 2 cdot 3 nbsp r i 24 2 3 displaystyle r i cdot 24 left 2 sqrt 3 right nbsp r i 2 12 2 3 displaystyle r i 2 cdot 12 left 2 sqrt 3 right nbsp Monotonie und Grenzwert von Flacheninhalt und Umfang Bearbeiten nbsp Schrittweise Annaherung an einen Kreis durch ein beziehungsweise umbeschriebene regelmassige PolygoneEs ist nicht immer offensichtlich dass der Umfang und der Flacheninhalt des regelmassigen Polygons streng monoton steigt oder streng monoton fallt wenn n displaystyle n nbsp grosser wird Da bei der Beschreibung von Flacheninhalt und Umfang die Sinus und Tangensfunktion eine wichtige Rolle spielen werden zunachst nutzliche Eigenschaften dieser Funktionen bereitgestellt Eigenschaften der Tangens und Sinusfunktionen Bearbeiten Aus der Reihendarstellung der Tangensfunktion folgt fur 0 lt x lt p 2 displaystyle 0 lt x lt tfrac pi 2 nbsp die Ungleichung tan x gt x displaystyle tan x gt x nbsp und tan x x displaystyle tfrac tan x x nbsp ist streng monoton steigend mit lim x 0 tan x x 1 displaystyle lim x to 0 tfrac tan x x 1 nbsp Ersetzt man x displaystyle x nbsp durch 1 x displaystyle tfrac 1 x nbsp so folgt aus der Kettenregel fur f 1 x displaystyle f tfrac 1 x nbsp eine Umkehrung der Monotonie Fur x gt 2 p displaystyle x gt tfrac 2 pi nbsp gilt dann x tan 1 x displaystyle x tan tfrac 1 x nbsp ist streng monoton fallend und lim x x tan 1 x 1 displaystyle lim x to infty x tan tfrac 1 x 1 nbsp Fur 0 lt x lt p 2 displaystyle 0 lt x lt tfrac pi 2 nbsp gilt sin x x displaystyle tfrac sin x x nbsp ist streng monoton fallend und lim x 0 sin x x 1 displaystyle lim x to 0 tfrac sin x x 1 nbsp Die Monotonie ergibt sich mit Hilfe der Ableitung und tan x gt x displaystyle tan x gt x nbsp der Grenzwert mit der Regel von de L Hospital Ersetzt man x displaystyle x nbsp durch 1 x displaystyle tfrac 1 x nbsp ergibt sich fur x gt 2 p displaystyle x gt tfrac 2 pi nbsp x sin 1 x displaystyle x sin tfrac 1 x nbsp ist streng monoton steigend und lim x x sin 1 x 1 displaystyle lim x to infty x sin tfrac 1 x 1 nbsp Bei vorgegebenem Umkreisradius Bearbeiten nbsp Flachenfunktion A x displaystyle A x nbsp Wenn der Umkreisradius r u displaystyle r u nbsp gegeben ist kann der Flacheninhalt mit der Funktion A x x r u 2 2 sin 2 p x displaystyle A x frac x r u 2 2 cdot sin left frac 2 pi x right nbsp beschrieben werden siehe oben Aus den Eigenschaften der Sinusfunktion siehe oben folgt dass die Funktion A x x r u 2 2 sin 2 p x displaystyle A x frac x r u 2 2 cdot sin left frac 2 pi x right nbsp fur alle reellen Zahlen x gt 4 displaystyle x gt 4 nbsp streng monoton steigt Fur den Grenzwert erhalt man mit lim x x sin 1 x 1 displaystyle lim x to infty x sin tfrac 1 x 1 nbsp lim x A x p r u 2 lim x x 2 p sin 2 p x p r u 2 displaystyle lim x to infty A x pi r u 2 cdot lim x to infty frac x 2 pi sin frac 2 pi x pi r u 2 nbsp Dies ist der Flacheninhalt des Umkreises Analog ergibt sich die strenge Monotonie des Umfangs U x 2 x r u sin p x displaystyle U x 2 x r u cdot sin left frac pi x right nbsp Der Grenzwert des Umfangs ist lim x U x 2 p r u lim x x p sin p x 2 p r u displaystyle lim x to infty U x 2 pi r u cdot lim x to infty frac x pi sin left frac pi x right 2 pi r u nbsp Dies ist der Umfang des Umkreises Bei vorgegebenem Inkreisradius Bearbeiten In diesem Fall wird der Flacheninhalt durch die Funktion A x x r i 2 tan p x displaystyle A x x r i 2 cdot tan left frac pi x right nbsp beschrieben Wie im vorigen Abschnitt zeigt man Fur alle reellen Zahlen x gt 2 displaystyle x gt 2 nbsp ist A x displaystyle A x nbsp streng monoton steigend und es ist lim x A x p r i 2 displaystyle lim x to infty A x pi r i 2 nbsp Die strenge Monotonie des Umfangs lasst sich ebenso beweisen Diagonalen Bearbeiten nbsp Diagonalen im regelmassigen AchteckVon jeder Ecke eines regelmassigen n displaystyle n nbsp Ecks gehen n 3 displaystyle n 3 nbsp Diagonalen d 1 displaystyle d 1 nbsp bis d n 3 displaystyle d n 3 nbsp aus Die Lange der Diagonalen kann wiederum mit Hilfe des Bestimmungsdreiecks das von dem Mittelpunkt des Polygons und den beiden Endpunkten der Diagonale gebildet wird ermittelt werden Das Bestimmungsdreieck der k displaystyle k nbsp ten Diagonale k 1 n 3 displaystyle k 1 dotsc n 3 nbsp ist wieder gleichschenklig und hat die Schenkel r u displaystyle r u nbsp die Basis d k displaystyle d k nbsp und den Spitzenwinkel k 1 m displaystyle k 1 mu nbsp Damit ergibt sich fur die Lange der k displaystyle k nbsp ten Diagonale d k 2 r u sin k 1 p n a sin k 1 p n csc p n displaystyle d k 2 r u cdot sin left frac k 1 pi n right a cdot sin left frac k 1 pi n right cdot csc left frac pi n right nbsp Fur die Langen der Diagonalen in einem einfachen regelmassigen Polygon gilt die Identitat d k d n k 2 displaystyle d k d n k 2 nbsp Durch Drehung der Diagonalen um den Winkel 2 p n displaystyle frac 2 cdot pi n nbsp mit dem Mittelpunkt als Drehzentrum oder aus dem Kreiswinkelsatz denn jedes regelmassige Polygon hat einen Umkreis folgt dass die kleinen Dreiecke der Dreieckszerlegung mit den Seitenlangen a displaystyle a nbsp d k displaystyle d k nbsp und d k 1 displaystyle d k 1 nbsp die Innenwinkel p n displaystyle frac pi n nbsp k p n displaystyle frac k cdot pi n nbsp und n k 1 p n displaystyle frac n k 1 cdot pi n nbsp hat Daraus ergibt sich mithilfe des Sinussatz die genannte Formel fur die Lange der k displaystyle k nbsp ten Diagonale 4 Eine andere Moglichkeit ist die Verwendung des Kosinussatz und vollstandige Induktion Wenn der Umkreis des regelmassigen Polygons mit dem Durchmesser 2 r u a sin p n a csc p n displaystyle 2 r u frac a sin left frac pi n right a cdot csc left frac pi n right nbsp betrachtet wird kann alternativ der Satz des Thales oder auch der Sekanten Tangenten Satz verwendet werden Ist die Eckenzahl des Polygons gerade sind daher n 2 2 displaystyle tfrac n 2 2 nbsp Diagonalen unterschiedlich lang Ist die Eckenzahl ungerade gibt es n 3 2 displaystyle tfrac n 3 2 nbsp verschieden lange Diagonalen Bei gegebener Seitenlange a displaystyle a nbsp ergeben sich beispielsweise die folgenden expliziten Formeln fur die Langen der Diagonalen einfacher regelmassiger Polygone Polygon DiagonalenDiagonale d 1 displaystyle d 1 nbsp Diagonale d 2 displaystyle d 2 nbsp Diagonale d 3 displaystyle d 3 nbsp Diagonale d 4 displaystyle d 4 nbsp Diagonale d 5 displaystyle d 5 nbsp Viereck a 2 displaystyle a cdot sqrt 2 nbsp Funfeck a 1 2 1 5 displaystyle a cdot tfrac 1 2 left 1 sqrt 5 right nbsp Sechseck a 3 displaystyle a cdot sqrt 3 nbsp a 2 displaystyle a cdot 2 nbsp Achteck a 2 2 displaystyle a cdot sqrt 2 sqrt 2 nbsp a 1 2 displaystyle a cdot left 1 sqrt 2 right nbsp a 2 2 2 displaystyle a cdot sqrt 2 left 2 sqrt 2 right nbsp Zehneck a 1 2 5 5 displaystyle a cdot sqrt tfrac 1 2 left 5 sqrt 5 right nbsp a 1 2 3 5 displaystyle a cdot tfrac 1 2 left 3 sqrt 5 right nbsp a 5 2 5 displaystyle a cdot sqrt 5 2 sqrt 5 nbsp a 1 5 displaystyle a cdot left 1 sqrt 5 right nbsp Zwolfeck a 2 3 displaystyle a cdot sqrt 2 sqrt 3 nbsp a 1 3 displaystyle a cdot left 1 sqrt 3 right nbsp a 3 2 3 displaystyle a cdot sqrt 3 left 2 sqrt 3 right nbsp a 2 3 displaystyle a cdot left 2 sqrt 3 right nbsp a 2 2 3 displaystyle a cdot 2 sqrt 2 sqrt 3 nbsp Eigenschaften BearbeitenSymmetrien Bearbeiten nbsp Symmetrieachsen beim regelmassigen Funfeck und SechseckDie Symmetriegruppe eines regelmassigen n displaystyle n nbsp Ecks ist die Diedergruppe D n displaystyle D n nbsp Die Diedergruppe weist die Ordnung 2 n displaystyle 2n nbsp auf und besteht aus n displaystyle n nbsp Rotationen der zyklischen Gruppe C n displaystyle C n nbsp und n displaystyle n nbsp Spiegelungen an den Symmetrieachsen durch den Mittelpunkt des Polygons Ist n displaystyle n nbsp gerade dann verlauft die eine Halfte der Symmetrieachsen durch zwei gegenuberliegende Ecken und die andere Halfte durch zwei Mittelpunkte gegenuberliegender Seiten Ist n displaystyle n nbsp ungerade dann verlaufen alle Symmetrieachsen durch eine Ecke und den Mittelpunkt der gegenuberliegenden Seite Jedes regelmassige Polygon mit gerader Eckenzahl ist auch punktsymmetrisch bezuglich seines Mittelpunkts Zerlegungen Bearbeiten nbsp Zerlegungen eines regelmassigen Siebenecks und eines regelmassigen Achtecks entlang aller DiagonalenDie Gesamtzahl aller Diagonalen in einem regelmassigen n displaystyle n nbsp Eck ergibt sich zu n 2 n 3 displaystyle tfrac n 2 n 3 nbsp Folge A000096 in OEIS da von jeder der n displaystyle n nbsp Ecken n 3 displaystyle n 3 nbsp Diagonalen ausgehen und bei dieser Zahlung alle Diagonalen doppelt gezahlt werden Bei einem einfachen regelmassigen Polygon mit gerader Eckenzahl verlaufen alle Diagonalen durch den Mittelpunkt des Polygons Bei ungerader Eckenzahl wird durch die Diagonalen im Inneren eine verkleinerte Kopie des Polygons gebildet Die Anzahl der Schnittpunkte der Diagonalen im Inneren eines einfachen regelmassigen n displaystyle n nbsp Ecks ergibt die Folge 5 0 1 5 13 35 49 displaystyle 0 1 5 13 35 49 ldots nbsp Folge A006561 in OEIS Diese Folge ganzer Zahlen ist nicht monoton steigend Jeweils 4 beliebige Eckpunkte des regelmassigen n displaystyle n nbsp Ecks bilden ein konvexes Viereck Die zwei Diagonalen des Vierecks schneiden sich in einem Punkt Umgekehrt gehort jeder Schnittpunkt zu mindestens zwei Diagonalen des regelmassigen n displaystyle n nbsp Ecks Fur ungerades n displaystyle n nbsp schneiden sich immer nur 2 Diagonalen in einem Punkt Die Anzahl der Schnittpunkte ist daher gleich der Anzahl der Moglichkeiten 4 der n displaystyle n nbsp Eckpunkte auszuwahlen wenn die Reihenfolge nicht berucksichtigt wird also die Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung n 4 n n 4 4 n n 1 n 2 n 3 24 displaystyle binom n 4 frac n n 4 4 frac n n 1 n 2 n 3 24 nbsp Fur gerades n displaystyle n nbsp grosser gleich 6 schneiden sich auch mehr als 2 Diagonalen in einem Punkt In diesem Fall ist die Anzahl der Schnittpunkte kleiner als n 4 displaystyle tbinom n 4 nbsp Die Anzahl der Teilpolygone die durch eine vollstandige Zerlegung eines einfachen regelmassigen n displaystyle n nbsp Ecks entlang der Diagonalen entsteht ergibt die Folge 1 4 11 24 50 80 displaystyle 1 4 11 24 50 80 ldots nbsp Folge A007678 in OEIS Fur ungerades n displaystyle n nbsp ist diese Anzahl gleich n 4 6 n 3 23 n 2 42 n 24 24 displaystyle frac n 4 6n 3 23n 2 42n 24 24 nbsp und kleiner fur gerades n displaystyle n nbsp Auch diese Folge ganzer Zahlen ist nicht monoton steigend 6 Die Anzahl der Moglichkeiten ein einfaches regelmassiges n displaystyle n nbsp Eck uberschneidungsfrei entlang der Diagonalen in Teilpolygone zu zerteilen wird durch die kleinen Schroder Zahlen s n 2 displaystyle s n 2 nbsp angegeben Sollen diese Teilpolygone ausschliesslich Dreiecke sein wird die Anzahl der Moglichkeiten durch die Catalan Zahlen C n 2 displaystyle C n 2 nbsp angegeben Allgemeiner werden auch Zerlegungen regelmassiger Polygone untersucht bei denen nicht nur die Diagonalen verwendet werden durfen zum Beispiel die Zerlegung in flachengleiche Dreiecke Zusammenhang mit Sternpolygonen Bearbeiten Es konnen auch nur gleich lange Diagonalen aber nicht die Seiten in einem regelmassigen p displaystyle p nbsp Eck eingezeichnet werden Werden die Ecken mit Indexen durchnummeriert und nur die mit einer geraden Strecke verbunden deren fortlaufende Indexe die Differenz q displaystyle q nbsp haben dann sind diese Strecken gleich lange Diagonalen und es entsteht ein regelmassiges Sternpolygon Umgangssprachlich kann man auch sagen dass immer jeder q displaystyle q nbsp te Punkt einer gleichmassig mit p displaystyle p nbsp Punkten unterteilten Kreislinie mit einer geraden Strecke verbunden wird Die formale Bezeichnung fur ein solches Sternpolygon ist p q displaystyle p q nbsp Stern siehe Schlafli Symbol Wird immer jede zweite Ecke innerhalb eines regelmassigen Funfecks verbunden dann entsteht ein regelmassiger 5 2 displaystyle 5 2 nbsp Stern namlich das Pentagramm Wird immer jede zweite Ecke innerhalb eines regelmassigen Sechsecks verbunden dann entsteht ein regelmassiger 6 2 displaystyle 6 2 nbsp Stern namlich das Hexagramm das auch als Davidstern bekannt ist Fur p 8 displaystyle p leq 8 nbsp und q 2 displaystyle q geq 2 nbsp gibt es folgende regelmassige Sternpolygone nbsp 5 2 Stern Pentagramm nbsp 6 2 Stern Hexagramm oder Davidstern nbsp 7 2 Stern nbsp 7 3 Stern nbsp 8 2 Stern Achtort nbsp 8 3 Stern Achterstern Abstande Bearbeiten nbsp Die Summe der Abstande von einem beliebigen Punkt im Inneren eines regelmassigen Polygons zu den Seiten ist gleich der Summe der Abstande vom Mittelpunkt zu den SeitenNach dem Satz von Viviani ist die Summe der senkrechten Abstande von einem beliebigen Punkt P displaystyle P nbsp im Inneren eines einfachen regelmassigen Polygons zu den Polygonseiten gleich der Summe der Abstande vom Mittelpunkt zu den Seiten und damit gleich n r i displaystyle n cdot r i nbsp Betrachtet man namlich die Dreiecke die von dem Punkt P displaystyle P nbsp und jeweils zwei benachbarten Eckpunkten gebildet werden dann ist die Summe der Flacheninhalte dieser Dreiecke gleich dem gesamten Flacheninhalt des Polygons also a 2 d P a a 2 d P b a 2 d P c n a r i 2 displaystyle frac a 2 d P a frac a 2 d P b frac a 2 d P c dotsb frac n a r i 2 nbsp Die Aussage ergibt sich dann durch Dividieren beider Seiten der Gleichung durch a 2 displaystyle tfrac a 2 nbsp Weitere Identitaten in regelmassigen Polygonen sind 7 Die Summe der Abstande von den Eckpunkten zu einer beliebigen Umkreistangente ist n r u displaystyle n cdot r u nbsp Die Summe der Abstandsquadrate von den Eckpunkten zu einem beliebigen Punkt auf dem Umkreis ist 2 n r u 2 displaystyle 2n cdot r u 2 nbsp Die Summe der Abstandsquadrate von den Seitenmitten zu einem beliebigen Punkt auf dem Umkreis ist 2 n r u 2 1 4 n a 2 displaystyle 2n cdot r u 2 tfrac 1 4 n cdot a 2 nbsp Das Produkt der Abstande von einem Eckpunkt zu allen anderen Eckpunkten ergibt sich in einem regelmassigen Polygon zu k 1 n 1 2 r u sin k p n n r u n 1 displaystyle prod k 1 n 1 2r u cdot sin left frac k pi n right n cdot r u n 1 nbsp Maximalitat Bearbeiten nbsp Von allen in einen Kreis ein beschrie benen Sechsecken hat das regelmassige Sechseck die grosste FlacheRegelmassige Polygone maximieren nach dem Satz von Zenodoros den Flacheninhalt im Vergleich zu anderen Polygonen in folgender Weise Von allen n displaystyle n nbsp Ecken mit gleichem Umfang hat das regelmassige n displaystyle n nbsp Eck den grossten Flacheninhalt Von allen in einen gegebenen Kreis einbeschriebenen n displaystyle n nbsp Ecken hat das regelmassige n displaystyle n nbsp Eck den grossten Flacheninhalt In jeder endlichen Menge regelmassiger Polygone mit gleichem Umfang hat dasjenige mit den meisten Ecken den grossten Flacheninhalt Andererseits gilt aber auch die isoperimetrische Ungleichung Ein Kreis hat einen grosseren Flacheninhalt als jedes regelmassige Polygon mit gleichem Umfang Darstellung mit Koordinaten Bearbeiten nbsp Die Ecken auf dem Umkreis eines regelmassigen Zwolfecks und die entsprechenden Winkel bezogen auf den Mittelpunkt Kartesische Koordinaten Die Ecken P 1 P 2 P 3 P n displaystyle P 1 P 2 P 3 ldots P n nbsp eines regelmassigen n displaystyle n nbsp Ecks mit den Eckpunkten auf dem Kreis um den Ursprung mit Radius r u displaystyle r u nbsp Umkreisradius und P n r u 0 displaystyle P n r u 0 nbsp haben fur k 1 2 3 n displaystyle k 1 2 3 ldots n nbsp die Koordinaten P k x k y k r u cos 2 k p n r u sin 2 k p n displaystyle P k x k y k left r u cdot cos left frac 2k pi n right r u cdot sin left frac 2k pi n right right nbsp Polarkoordinaten Die Polarkoordinaten des Punktes P k displaystyle P k nbsp sind r k f k r u 2 k p n displaystyle r k varphi k left r u frac 2k pi n right nbsp Definition als Menge von Punkten BearbeitenDefinition als Schnittmenge von Halbebenen Bearbeiten Ein regelmassiges n displaystyle n nbsp Eck kann mithilfe der n displaystyle n nbsp Geraden die jeweils durch zwei benachbarte Eckpunkte x k y k x k 1 y k 1 displaystyle x k y k x k 1 y k 1 nbsp verlaufen definiert werden Das regelmassige Polygon ist die Schnittmenge der Halbebenen die auf der Seite des Koordinatenursprungs liegen Sie kann formal geschrieben werden als k 1 n x y R 2 y k y k 1 x x k x k x k 1 y y k x y R 2 y k y k 1 x x k x k x k 1 y y k k 1 2 3 n displaystyle begin aligned amp bigcap k 1 n left x y in mathbb R 2 mid y k y k 1 cdot x x k geq x k x k 1 cdot y y k right amp left x y in mathbb R 2 mid y k y k 1 cdot x x k geq x k x k 1 cdot y y k quad forall k in 1 2 3 ldots n right end aligned nbsp Jede dieser Halbebenen ist die Menge aller Punkte die die zur Zwei Punkte Gleichung der Geraden gehorende Ungleichung erfullen Fur das Innere des regelmassige Polygons muss in den Ungleichungen jeweils displaystyle geq nbsp durch gt displaystyle gt nbsp ersetzt werden und fur den Rand muss in 1 oder 2 Ungleichungen displaystyle geq nbsp durch