Zerlegung in flächengleiche Dreiecke

Die Zerlegung in flächengleiche Dreiecke (auch Gleichzerschneidung) ist ein Problem der ebenen Geometrie. Dabei wird unter anderem untersucht, ob die Zerlegung eines gegebenen Polygons in flächengleiche Dreiecke überhaupt möglich ist.

Zerlegung eines Quadrats in sechs flächengleiche Dreiecke

Die Forschung zu diesem Problem begann in den späten 1960er Jahren mit dem Satz von Monsky, nach dem ein Quadrat nicht in eine ungerade Anzahl von Dreiecken gleichen Flächeninhalts zerlegt werden kann. Der Beweis benutzt Bewertungstheorie und ist der bisher einzige bekannte Beweis für diesen Satz.

Tatsächlich können die meisten Polygone nicht in Dreiecke gleichen Flächeninhalts zerlegt werden. Es stellt sich daher die Frage: Welche Polygone können in wie viele Teile gleichen Flächeninhalts zerlegt werden? Untersucht wurden insbesondere Trapeze, Drachenvierecke, regelmäßige Polygone, punktsymmetrische Polygone und Polyominos sowie die Zerlegung von Hyperwürfeln in Simplizes. Im Falle regelmäßiger, n-eckiger Polygone mit n ≥ 5 zeigte Elaine Kasimatis, dass diese nur dann in m gleichflächige Dreiecke zerlegt werden können, falls m ein Vielfaches von n ist. Für n = 3 oder n = 4 ist dies offensichtlich nicht richtig: Ein Quadrat kann in zwei gleichflächige Dreiecke zerlegt werden und ein Dreieck in beliebig viele.

Zerlegungen in flächengleiche Dreiecke haben nur wenige direkte Anwendungen. Sie gelten aber als interessant, weil die Ergebnisse auf den ersten Blick oft den Erwartungen widersprechen und die Theorie für ein geometrisches Problem mit einer so einfachen Definition überraschend anspruchsvolle algebraische Hilfsmittel benötigt. Viele Ergebnisse basieren auf der Anwendung der Bewertungstheorie auf die reellen Zahlen und der Färbung in der Graphentheorie anhand des Lemmas von Sperner.

Weblinks

Commons: Zerlegung in flächengleiche Dreiecke – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Über die Zerlegung eines Quadrats in Dreiecke gleicher Fläche, Arbeit von Moritz W. Schmitt (PDF, 2 MB)

Einzelnachweise

1. Victor Klee, Stan Wagon: Alte und neue ungelöste Probleme in der Zahlentheorie und Geometrie der Ebene, Birkhäuser, 1997, S. 37 (Übersetzung von Old and new unsolved problems in plane geometry and number theory, 1991, aus dem Amerikanischen von Manfred Stern)
2. Paul Monsky: On dividing a square into triangles, The American Mathematical Monthly 77 (2), Februar 1970, S. 161–164, doi:10.2307/2317329 (englisch; Zbl 0187.19701), Nachdruck als Paul Monsky: On dividing a square into triangles, Selected Papers on Algebra, Raymond W. Brink selected mathematical papers 3, Mathematical Association of America, Juli 1977, S. 249–251, ISBN 0-88385-203-9 (englisch)
3. Nach Monsky geht das Problem auf Fred Richman, John Thomas: Problem 5479, American Mathematical Monthly 74, 1967, 329, zurück. John Thomas: A dissection problem, Mathematics Magazine 41, 1968, S. 187–190, bewies es in einem Spezialfall.
4. Elaine A. Kasimatis, Sherman K. Stein: Equidissections of polygons, Discrete Mathematics 85 (3), 1. Dezember 1990, S. 281–294, doi:10.1016/0012-365X(90)90384-T (englisch; Zbl 0736.05028)
5. Sherman K. Stein: Cutting a polygon into triangles of equal areas, The Mathematical Intelligencer 26 (1), März 2004, S. 17–21, doi:10.1007/BF02985395 (englisch; Zbl 1186.52015)
6. Elaine A. Kasimatis: Dissection of regular polygons into triangles of equal areas, Discrete & Computational Geometry 4, 1989, S. 375–381 (englisch)
7. Sherman K. Stein, Sándor Szabó: Tiling by triangles of equal areas, Kapitel 5 in Algebra and tiling: homomorphisms in the service of geometry, The Carus Mathematical Monographs 25, Mathematical Association of America, 2008, S. 107–134, ISBN 978-0-88385-041-1 (englisch; Zbl 0930.52003)
8. Sherman K. Stein: Cutting a polygon into triangles of equal areas, The Mathematical Intelligencer 26 (1), März 2004, S. 17–21, doi:10.1007/BF02985395 (englisch; Zbl 1186.52015)