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Hyperwürfel Dieser Artikel behandelt den Maßpolytop zum Kommunikationsmuster siehe Kommunikationsmuster oder Maßpolytope

Hyperwürfel

Hyperwürfel oder Maßpolytope sind -dimensionale Analogien zum Quadrat () und zum Würfel (). Dabei kann eine beliebige natürliche Zahl sein. Der vierdimensionale Hyperwürfel wird auch als Tesserakt bezeichnet. Die Symmetriegruppe eines Hyperwürfels ist die Hyperoktaedergruppe.

Projektion eines Tesseraktes (vierdimensionaler Hyperwürfel) in die 2. Dimension

Konstruktion regulärer Würfel Bearbeiten

Reguläre Würfel der Kantenlänge lassen sich wie folgt erzeugen:

  • Wenn ein Punkt um die Distanz geradlinig verschoben wird, entsteht eine eindimensionale Strecke, mathematisch ein eindimensionaler Hyperwürfel.
  • Wenn diese Strecke senkrecht zu ihrer Dimension um die Distanz verschoben wird, entsteht ein zweidimensionales Quadrat, eine Fläche, mathematisch ein zweidimensionaler Hyperwürfel.
  • Wenn dieses Quadrat senkrecht zu seinen beiden Dimensionen um die Distanz verschoben wird, entsteht ein dreidimensionaler Würfel, mathematisch einem dreidimensionalen Hyperwürfel entsprechend.
  • Allgemein: Wenn also ein -dimensionaler Würfel senkrecht zu seinen Dimensionen um die Distanz verschoben wird, entsteht ein -dimensionaler Hyperwürfel.

Grenzelemente Bearbeiten

In einem Hyperwürfel der Dimension befinden sich an jedem Knoten (Ecke) genau Kanten. Demnach handelt es sich bei einem Hyperwürfel um einen ungerichteten Graph (siehe auch: Graphentheorie).

Der -dimensionale Würfel wird von nulldimensionalen, eindimensionalen, …, -dimensionalen Elementen begrenzt. Am Beispiel:

Der 3-dimensionale Würfel wird von Knoten (Punkten), Kanten (Strecken) und Flächen begrenzt, also von Elementen der Dimension 0,1 und 2.

Die 0- bis 5-dimensionalen Würfel in der Parallelprojektion

Die Anzahl der einzelnen Grenzelemente lässt sich aus folgender Überlegung ableiten: Sei ein Hyperwürfel von der Dimension gegeben. Die -dimensionalen Grenzelemente dieses Würfels () lassen sich folgendermaßen aus den Grenzelementen eines -dimensionalen Hyperwürfels erzeugen: Die -dimensionalen Grenzelemente () verdoppeln sich und alle dimensionalen Elemente werden zu -dimensionalen erweitert. Somit ergibt sich in der Summe eine Anzahl von .

  • Der 2-dimensionale Hyperwürfel wird von 1 Fläche , 4 Kanten und 4 Knoten begrenzt.
  • Der 3-dimensionale Würfel wird von Flächen begrenzt, von Kanten und Knoten .

Anders kann man sich überlegen: Wenn man einen -dimensionalen Hyperwürfel in ein kartesisches Koordinatensystem um den Ursprung zentriert und nach den Koordinatenachsen ausgerichtet legt, gibt es zu einem -dimensionalen Grenzelement Koordinatenachsen, die parallel zu diesem Grenzelement sind. Andererseits gibt es aber zu jeder Auswahl von Koordinatenachsen nicht nur ein -dimensionales Grenzelement, sondern weil man durch jede der zu den Grenzelementen senkrechten Achsen die Anzahl der Grenzelemente verdoppelt (es gibt dieselben Grenzelemente noch einmal parallelverschoben auf der anderen Seite der Achse). Die Anzahl der Grenzelemente ergibt sich also aus dem Produkt der Anzahl der Möglichkeiten, Achsen aus den Achsen auszuwählen, mit der Anzahl von Grenzelementen für jede Auswahl und lautet somit (mit dem Binomialkoeffizienten ).

Der Weg zum Hyperwürfel
  Schläfli-
Symbol 		Anzahl der Grenzelemente
0-dim. 1-dim. 2-dim. 3-dim. 4-dim. -dim. -dim.
Punkt 1
Strecke 2 1
Quadrat 4 4 1
3-dim. Würfel 8 12 6 1
4-dim. Würfel 16 32 24 8 1
-dim. Würfel





Jedes -dimensionale Grenzelement eines -dimensionalen Würfels der Kantenlänge ist für ein -dimensionaler Würfel derselben Kantenlänge . Damit hat ein 4-Hyperwürfel 16 Ecken, ein Kantennetz der Länge , ist begrenzt von einem Flächennetz der Gesamtfläche und von Zellen mit dem 3-Gesamtvolumen (der 3-dimensionalen Hyperfläche) von und hat ein 4-Volumen von .

Eigenschaften Bearbeiten

Die Konstruktion der längsten Diagonalen von Quadrat, Würfel und Tesserakt

Der Name Maßpolytop kommt von der Möglichkeit, das Objekt parallel zu allen Koordinatenachsen auszurichten und den euklidischen Raum durch parallele Vervielfältigung restlos auszufüllen. Es ist das einzige regelmäßige Polytop, mit dem dies in Dimensionen gelingt. Für jede Dimension sind diese Parkettierungen selbstdual mit dem Schläfli-Symbol

Die längste Diagonale eines Hyperwürfels entspricht der Quadratwurzel seiner Dimension multipliziert mit seiner Kantenlänge.

Maßpolytop (oder Hyperwürfel) und Kreuzpolytop (oder Hyperoktaeder) sind zueinander dual. Daher stimmen auch ihre Symmetriegruppen überein.

winkeltreue Projektion in mögliche Operationen
Dimension Objekt 2-D 3-D 4-D schieben drehen winden stülpen
0 Punkt + + + – – – –
1 Linie + + + + – – –
2 Quadrat + + + + + – –
3 Würfel – + + + + + –
4 Tesserakt – – + + + + +
Dimension Kanten Knoten Seiten Grad Durch-
messer 		Kanten-
Zusammenhang 		Knoten-
Zusammenhang
1
2
3
4
... ... ... ... ... ... ... ...

Hyperwürfel in der Kultur Bearbeiten

Bildende Kunst Bearbeiten

In der bildenden Kunst beschäftigen sich viele Künstler mit dem Hyperwürfel.

  • Tony Robbin – durch Spiegelungen und Verdrehungen von Würfel-Kanten erzeugt Tony Robbin in Zeichnungen und mit Raum-Installationen Situationen, die nur in einer hyperdimensionalen Welt möglich wären.
  • Manfred Mohr – veranschaulicht in seinen Kompositionen Interaktionen von Linien, die einer räumlichen Logik von mehr als drei Freiheitsgraden folgen.
  • Frank Richter – konkretisiert in Grafiken, Plastiken und Rauminstallationen nach der Vorgabe von mathematischen Regeln Raum-Konstellationen, die über die dritte Dimension hinausgehen.
  • Salvador Dalí hat in seinem Bild Kreuzigung (Corpus Hypercubus) 1954 einen gekreuzigten Jesus auf das Netz eines Hyperwürfels gemalt.
  • Kay Herrmann – Installation Hyperwürfel auf dem Siegelohplatz in Auerbach im Vogtland
Projektion eines rotierenden Hyperwürfels

Film Bearbeiten

  • Der Film Cube 2: Hypercube handelt von einem Hyperwürfel, in dem sich die Charaktere in den drei räumlichen Dimensionen und einer zeitlichen Dimension bewegen und sich beispielsweise selbst in einem anderen Zeitabschnitt begegnen.

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Die Bewegungen eines Punktes innerhalb eines Hyperwürfels: schieben auf einer geraden Linie; drehen als Bewegung auf einer gekrümmten Bahn in einer Ebene; winden als Bewegung auf einer gekrümmten Bahn in drei Dimensionen; stülpen als Bewegung auf einer vierdimensional gekrümmten Bahn.
  2. (Memento vom 23. Juli 2015 im Internet Archive)
  3. Bernd Schädlich: Wissenschaft zum Anfassen mit "XXL-Experiment-Installationen" in Auerbach. In: https://www.mdr.de/. MDR, 18. August 2023, abgerufen am 20. August 2023 (deutsch).
  4. Stadt Auerbach: "Mathematisches XXL-Experiment". In: https://www.stadt-auerbach.de. Stadt Auerbach, 23. August 2023, abgerufen am 23. August 2023 (deutsch).
  5. Kenny Marek: Mathematische Figuren zieren öffentlichen Raum. In: https://www.sachsen-fernsehen.de. Sachsen Fernsehen, 22. August 2023, abgerufen am 23. August 2023 (deutsch).
  6. Daniel Persian: Kosmografikum. In: https://www.msscholl.de. Scholl Schule Auerbach, 23. August 2023, abgerufen am 25. August 2023 (deutsch).
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Dieser Artikel behandelt den Masspolytop Hyperwurfel zum Kommunikationsmuster siehe Hyperwurfel Kommunikationsmuster Hyperwurfel oder Masspolytope sind n displaystyle n dimensionale Analogien zum Quadrat n 2 displaystyle n 2 und zum Wurfel n 3 displaystyle n 3 Dabei kann n displaystyle n eine beliebige naturliche Zahl sein Der vierdimensionale Hyperwurfel wird auch als Tesserakt bezeichnet Die Symmetriegruppe eines Hyperwurfels ist die Hyperoktaedergruppe Projektion eines Tesseraktes vierdimensionaler Hyperwurfel in die 2 Dimension Inhaltsverzeichnis 1 Konstruktion regularer Wurfel 2 Grenzelemente 3 Eigenschaften 4 Hyperwurfel in der Kultur 4 1 Bildende Kunst 4 2 Film 5 Siehe auch 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseKonstruktion regularer Wurfel BearbeitenRegulare Wurfel der Kantenlange a 0 displaystyle a neq 0 nbsp lassen sich wie folgt erzeugen nbsp Wenn ein Punkt um die Distanz a displaystyle a nbsp geradlinig verschoben wird entsteht eine eindimensionale Strecke mathematisch ein eindimensionaler Hyperwurfel Wenn diese Strecke senkrecht zu ihrer Dimension um die Distanz a displaystyle a nbsp verschoben wird entsteht ein zweidimensionales Quadrat eine Flache mathematisch ein zweidimensionaler Hyperwurfel Wenn dieses Quadrat senkrecht zu seinen beiden Dimensionen um die Distanz a displaystyle a nbsp verschoben wird entsteht ein dreidimensionaler Wurfel mathematisch einem dreidimensionalen Hyperwurfel entsprechend Allgemein Wenn also ein n displaystyle n nbsp dimensionaler Wurfel senkrecht zu seinen n displaystyle n nbsp Dimensionen um die Distanz a displaystyle a nbsp verschoben wird entsteht ein n 1 displaystyle n 1 nbsp dimensionaler Hyperwurfel Grenzelemente BearbeitenIn einem Hyperwurfel der Dimension n displaystyle n nbsp befinden sich an jedem Knoten Ecke genau n displaystyle n nbsp Kanten Demnach handelt es sich bei einem Hyperwurfel um einen ungerichteten Graph siehe auch Graphentheorie Der n displaystyle n nbsp dimensionale Wurfel wird von nulldimensionalen eindimensionalen n 1 displaystyle n 1 nbsp dimensionalen Elementen begrenzt Am Beispiel Der 3 dimensionale Wurfel wird von Knoten Punkten Kanten Strecken und Flachen begrenzt also von Elementen der Dimension 0 1 und 2 nbsp Die 0 bis 5 dimensionalen Wurfel in der ParallelprojektionDie Anzahl der einzelnen Grenzelemente lasst sich aus folgender Uberlegung ableiten Sei ein Hyperwurfel von der Dimension n 1 displaystyle n 1 nbsp gegeben Die k displaystyle k nbsp dimensionalen Grenzelemente dieses Wurfels k n 1 displaystyle k n 1 nbsp lassen sich folgendermassen aus den Grenzelementen eines n displaystyle n nbsp dimensionalen Hyperwurfels erzeugen Die k displaystyle k nbsp dimensionalen Grenzelemente k n displaystyle k n nbsp verdoppeln sich und alle k 1 displaystyle k 1 nbsp dimensionalen Elemente k 1 n displaystyle k 1 n nbsp werden zu k displaystyle k nbsp dimensionalen erweitert Somit ergibt sich in der Summe eine Anzahl von k n 1 2 k n k 1 n displaystyle k n 1 2k n k 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displaystyle vdots nbsp n displaystyle n nbsp dim Wurfel 4 3 n 2 displaystyle 4 3 n 2 nbsp n 0 2 n 0 displaystyle binom n 0 2 n 0 nbsp 2 n displaystyle 2 n nbsp n 1 2 n 1 displaystyle binom n 1 2 n 1 nbsp n 2 n 1 displaystyle n cdot 2 n 1 nbsp n 2 2 n 2 displaystyle binom n 2 2 n 2 nbsp displaystyle n 3 2 n 3 displaystyle binom n 3 2 n 3 nbsp displaystyle displaystyle ldots nbsp displaystyle ldots nbsp n n 1 2 1 displaystyle binom n n 1 2 1 nbsp 2 n displaystyle 2n nbsp n n 0 2 0 displaystyle binom n n 0 2 0 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp Jedes k displaystyle k nbsp dimensionale Grenzelement eines n displaystyle n nbsp dimensionalen Wurfels der Kantenlange a displaystyle a nbsp ist fur 0 lt k n displaystyle 0 lt k leq n nbsp ein k displaystyle k nbsp dimensionaler Wurfel derselben Kantenlange a displaystyle a nbsp Damit hat ein 4 Hyperwurfel 16 Ecken ein Kantennetz der Lange 32 a displaystyle 32a nbsp ist begrenzt von einem Flachennetz der Gesamtflache 24 a 2 displaystyle 24a 2 nbsp und 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4 D schieben drehen winden stulpen0 Punkt 1 Linie 2 Quadrat 3 Wurfel 4 Tesserakt Dimension Kanten Knoten Seiten Grad Durch messer Kanten Zusammenhang Knoten Zusammenhang1 1 displaystyle 1 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 2 4 displaystyle 4 nbsp 4 displaystyle 4 nbsp 4 displaystyle 4 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 3 12 displaystyle 12 nbsp 8 displaystyle 8 nbsp 6 displaystyle 6 nbsp 3 displaystyle 3 nbsp 3 displaystyle 3 nbsp 3 displaystyle 3 nbsp 3 displaystyle 3 nbsp 4 32 displaystyle 32 nbsp 16 displaystyle 16 nbsp 8 displaystyle 8 nbsp 4 displaystyle 4 nbsp 4 displaystyle 4 nbsp 4 displaystyle 4 nbsp 4 displaystyle 4 nbsp n displaystyle n nbsp 2 n 1 n displaystyle 2 n 1 cdot n nbsp 2 n displaystyle 2 n nbsp 2 n displaystyle 2n nbsp n displaystyle n nbsp n displaystyle n nbsp n displaystyle n nbsp n displaystyle n nbsp Hyperwurfel in der Kultur BearbeitenBildende Kunst Bearbeiten In der bildenden Kunst beschaftigen sich viele Kunstler mit dem Hyperwurfel Tony Robbin durch Spiegelungen und Verdrehungen von Wurfel Kanten erzeugt Tony Robbin in Zeichnungen und mit Raum Installationen Situationen die nur in einer hyperdimensionalen Welt moglich waren Manfred Mohr veranschaulicht in seinen Kompositionen Interaktionen von Linien die einer raumlichen Logik von mehr als drei Freiheitsgraden folgen Frank Richter konkretisiert in Grafiken Plastiken und Rauminstallationen nach der Vorgabe von mathematischen Regeln Raum Konstellationen die uber die dritte Dimension hinausgehen Salvador Dali hat in seinem Bild Kreuzigung Corpus Hypercubus 1954 einen gekreuzigten Jesus auf das Netz eines Hyperwurfels gemalt 2 Kay Herrmann Installation Hyperwurfel auf dem Siegelohplatz in Auerbach im Vogtland 3 4 5 6 nbsp Projektion eines rotierenden HyperwurfelsFilm Bearbeiten Der Film Cube 2 Hypercube handelt von einem Hyperwurfel in dem sich die Charaktere in den drei raumlichen Dimensionen und einer zeitlichen Dimension bewegen und sich beispielsweise selbst in einem anderen Zeitabschnitt begegnen Siehe auch BearbeitenEuklidischer Raum Hilbertwurfel fur den unendlichdimensionalen Fall Hyperrechteck alias Hyperquader Verallgemeinerung fur unterschiedliche Kantenlangen Hyperebene Hyperpyramide HyperraumWeblinks BearbeitenDer n dimensionale Hyperwurfel PDF 3 5 MB Hyperwurfel und Hyperkugeln Erweiterte Grenzelemente Tabelle Animierter Hyperwurfel Java 4d screen de vier funf sechs und siebendimensionale Wurfel Java Bebilderte Konstruktion eines 4D HyperwurfelsEinzelnachweise Bearbeiten Die Bewegungen eines Punktes innerhalb eines Hyperwurfels schieben auf einer geraden Linie drehen als Bewegung auf einer gekrummten Bahn in einer Ebene winden als Bewegung auf einer gekrummten Bahn in drei Dimensionen stulpen als Bewegung auf einer vierdimensional gekrummten Bahn Beispiel eines Daligemaldes Memento vom 23 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