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Kreuzpolytop Ein oder Hyperoktaeder ist in der Geometrie ein Polytop das eine Verallgemeinerung eines Oktaeders vom drei

Kreuzpolytop

Ein Kreuzpolytop oder Hyperoktaeder ist in der Geometrie ein Polytop, das eine Verallgemeinerung eines Oktaeders vom dreidimensionalen Raum auf Räume beliebiger Dimension darstellt. Ein Kreuzpolytop im -dimensionalen Raum ist die konvexe Hülle von Strecken, die sich alle in einem gemeinsamen Kreuzungspunkt schneiden. Bei einem regulären Kreuzpolytop sind diese Strecken alle gleich lang und schneiden sich jeweils zentral und rechtwinklig. Die Symmetriegruppe eines regulären Kreuzpolytops ist die Hyperoktaedergruppe. Neben Hyperwürfeln und regulären Simplizes sind reguläre Kreuzpolytope die einzigen regulären Polytope, die in beliebigen Dimensionen existieren. Kreuzpolytope finden Anwendung unter anderem in der linearen Optimierung.

Ein Oktaeder ist ein dreidimensionales Kreuzpolytop

Einheits-Kreuzpolytop Bearbeiten

Zweidimensionales Einheits-Kreuzpolytop mit Koordinatenachsen

Definition Bearbeiten

Das -dimensionale Einheits-Kreuzpolytop ist die konvexe Hülle der Ecken :

Dabei bezeichnet den -ten Einheitsvektor des Vektorraums .

Beispiele Bearbeiten

  • Das eindimensionale Einheits-Kreuzpolytop ist das abgeschlossene Einheitsintervall .
  • Das zweidimensionale Einheits-Kreuzpolytop ist ein (auf die Spitze gestelltes) Quadrat.
  • Das dreidimensionale Einheits-Kreuzpolytop ist ein Oktaeder und damit einer der platonischen Körper.

Darstellung Bearbeiten

Das Einheits-Kreuzpolytop lässt sich auch folgendermaßen als Punktmenge im -dimensionalen Raum darstellen:

Das Einheits-Kreuzpolytop ist damit die Einheitskugel bezüglich der Summennorm . Diese Betragsungleichung lässt sich auch als System von linearen Ungleichungen umschreiben. Daher wird das Einheits-Kreuzpolytop durch genau Hyperebenen begrenzt.

Komponenten Bearbeiten

Das Einheits-Kreuzpolytop ist konvex, abgeschlossen und zusammenhängend (bezüglich der euklidischen Metrik). Es besteht aus folgenden Komponenten:

  • Es hat Ecken, eben die (positiven und negativen) Einheitsvektoren.
  • Es hat Kanten, denn jede Ecke ist außer mit der gegenüberliegenden Ecke mit jeder anderen über eine Kante verbunden.
  • Es hat Facetten, die Simplizes des sind.

Allgemein besteht das Einheits-Kreuzpolytop aus

Komponenten der Dimension .

Symmetrien Bearbeiten

Symmetrieebene bei einem dreidimensionalen Kreuzpolytop

Das Einheits-Kreuzpolytop ist punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs, das heißt, für alle gilt

Weiterhin ist es symmetrisch bezüglich Spiegelungen an den Koordinatenebenen, das heißt,

für . Die Koordinatenebenen zerteilen dabei das Einheits-Kreuzpolytop in Einheitssimplizes des .

Die dabei entstehenden "Schnittflächen" (Schnitthyperebenen der Dimension n-1) mit den "Koordinatenebenen" (Koordinatenhyperebenen, für n=3 Koordinatenebenen, für n=2 Koordinatenachsen) sind jeweils Kreuzpolytope der Dimension n-1.

Volumen Bearbeiten

Das -dimensionale Volumen des Einheits-Kreuzpolytops beträgt

Das Volumen wird daher für wachsende Dimension beliebig klein.

Reguläre Kreuzpolytope Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Ein reguläres Kreuzpolytop ist ein Polytop, das aus dem Einheits-Kreuzpolytop durch Skalierung, Drehung und Verschiebung hervorgeht. Ein Polytop ist demnach ein reguläres Kreuzpolytop, wenn es eine reelle Zahl , eine orthogonale Matrix und einen Vektor gibt, sodass

gilt.

Eigenschaften Bearbeiten

Reguläre Kreuzpolytope haben dieselbe Anzahl von Ecken, Kanten und Facetten wie das Einheits-Kreuzpolytop. Sie besitzen auch die gleichen Symmetrieeigenschaften, lediglich das Symmetriezentrum und die Spiegelebenen werden entsprechend mittransformiert. Auch die Volumenformel bleibt erhalten und erhält lediglich einen zusätzlichen Faktor :

Kreuzpolytop (oder Hyperoktaeder) und Maßpolytop (oder Hyperwürfel) sind zueinander dual. Daher stimmen auch ihre Symmetriegruppen überein.

Allgemeine Kreuzpolytope Bearbeiten

Der Kantengraph eines vierdimensionalen Kreuzpolytops

Definition Bearbeiten

Allgemein werden alle Polytope, die zum Einheits-Kreuzpolytop kombinatorisch äquivalent sind, Kreuzpolytope genannt. Präzise formuliert bedeutet das:

Eigenschaften Bearbeiten

Ein allgemeines Kreuzpolytop hat dieselbe Anzahl von Ecken, Kanten und Facetten wie das Einheits-Kreuzpolytop, doch die Symmetrien gehen verloren.

Verwendung Bearbeiten

Das Kreuzpolytop gilt als Prototyp eines Polytops, das (in Relation zur Dimension) sehr wenige Ecken, aber sehr viele Facetten besitzt. Diese Eigenschaft ist in der linearen Optimierung besonders wichtig, da der Simplex-Algorithmus, das Standardverfahren zur Lösung linearer Optimierungsprobleme, gezielt Ecken auf ihre Optimalität prüft. Das Gegenstück hierzu ist der Hyperwürfel, dessen Eckenzahl exponentiell, die Facettenzahl aber nur linear in anwächst.

Weblinks Bearbeiten

Commons: Polytope – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
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Veröffentlichungsdatum:
Ein Kreuzpolytop oder Hyperoktaeder ist in der Geometrie ein Polytop das eine Verallgemeinerung eines Oktaeders vom dreidimensionalen Raum auf Raume beliebiger Dimension darstellt Ein Kreuzpolytop im n displaystyle n dimensionalen Raum ist die konvexe Hulle von n displaystyle n Strecken die sich alle in einem gemeinsamen Kreuzungspunkt schneiden Bei einem regularen Kreuzpolytop sind diese Strecken alle gleich lang und schneiden sich jeweils zentral und rechtwinklig Die Symmetriegruppe eines regularen Kreuzpolytops ist die Hyperoktaedergruppe Neben Hyperwurfeln und regularen Simplizes sind regulare Kreuzpolytope die einzigen regularen Polytope die in beliebigen Dimensionen existieren Kreuzpolytope finden Anwendung unter anderem in der linearen Optimierung Ein Oktaeder ist ein dreidimensionales Kreuzpolytop Inhaltsverzeichnis 1 Einheits Kreuzpolytop 1 1 Definition 1 2 Beispiele 1 3 Darstellung 1 4 Komponenten 1 5 Symmetrien 1 6 Volumen 2 Regulare Kreuzpolytope 2 1 Definition 2 2 Eigenschaften 3 Allgemeine Kreuzpolytope 3 1 Definition 3 2 Eigenschaften 3 3 Verwendung 4 WeblinksEinheits Kreuzpolytop Bearbeiten nbsp Zweidimensionales Einheits Kreuzpolytop mit KoordinatenachsenDefinition Bearbeiten Das n displaystyle n nbsp dimensionale Einheits Kreuzpolytop ist die konvexe Hulle der 2 n displaystyle 2n nbsp Ecken e 1 e n displaystyle pm e 1 ldots pm e n nbsp P conv e 1 e n e 1 e n R n displaystyle P operatorname conv e 1 ldots e n e 1 ldots e n subseteq mathbb R n nbsp Dabei bezeichnet e i 0 0 1 0 0 displaystyle e i 0 0 ldots 1 0 dots 0 nbsp den i displaystyle i nbsp ten Einheitsvektor des Vektorraums R n displaystyle mathbb R n nbsp Beispiele Bearbeiten Das eindimensionale Einheits Kreuzpolytop ist das abgeschlossene Einheitsintervall 1 1 displaystyle 1 1 nbsp Das zweidimensionale Einheits Kreuzpolytop ist ein auf die Spitze gestelltes Quadrat Das dreidimensionale Einheits Kreuzpolytop ist ein Oktaeder und damit einer der platonischen Korper Darstellung Bearbeiten Das Einheits Kreuzpolytop lasst sich auch folgendermassen als Punktmenge im n displaystyle n nbsp dimensionalen Raum darstellen P v 1 v 2 v n R n v 1 v 2 v n 1 displaystyle P v 1 v 2 dotsc v n in mathbb R n mid v 1 v 2 dotsb v n leq 1 nbsp Das Einheits Kreuzpolytop ist damit die Einheitskugel bezuglich der Summennorm 1 displaystyle cdot 1 nbsp Diese Betragsungleichung lasst sich auch als System von 2 n displaystyle 2 n nbsp linearen Ungleichungen umschreiben Daher wird das Einheits Kreuzpolytop durch genau 2 n displaystyle 2 n nbsp Hyperebenen begrenzt Komponenten Bearbeiten Das Einheits Kreuzpolytop ist konvex abgeschlossen und zusammenhangend bezuglich der euklidischen Metrik Es besteht aus folgenden Komponenten Es hat 2 n displaystyle 2n nbsp Ecken eben die positiven und negativen Einheitsvektoren Es hat 2 n n 1 displaystyle 2n n 1 nbsp Kanten denn jede Ecke e i displaystyle e i nbsp ist ausser mit der gegenuberliegenden Ecke e i displaystyle e i nbsp mit jeder anderen uber eine Kante verbunden Es hat 2 n displaystyle 2 n nbsp Facetten die Simplizes des R n 1 displaystyle mathbb R n 1 nbsp sind Allgemein besteht das Einheits Kreuzpolytop aus 2 k 1 n k 1 displaystyle 2 k 1 cdot n choose k 1 nbsp Komponenten der Dimension k displaystyle k nbsp Symmetrien Bearbeiten nbsp Symmetrieebene bei einem dreidimensionalen KreuzpolytopDas Einheits Kreuzpolytop ist punktsymmetrisch bezuglich des Koordinatenursprungs das heisst fur alle v R n displaystyle v in mathbb R n nbsp gilt v 1 v n P v 1 v n P displaystyle v 1 ldots v n in P Rightarrow v 1 ldots v n in P nbsp Weiterhin ist es symmetrisch bezuglich Spiegelungen an den Koordinatenebenen das heisst v 1 v i v n P v 1 v i v n P displaystyle v 1 ldots v i ldots v n in P Rightarrow v 1 ldots v i ldots v n in P nbsp fur i 1 n displaystyle i 1 ldots n nbsp Die n displaystyle n nbsp Koordinatenebenen zerteilen dabei das Einheits Kreuzpolytop in 2 n displaystyle 2 n nbsp Einheitssimplizes des R n displaystyle mathbb R n nbsp Die dabei entstehenden Schnittflachen Schnitthyperebenen der Dimension n 1 mit den Koordinatenebenen Koordinatenhyperebenen fur n 3 Koordinatenebenen fur n 2 Koordinatenachsen sind jeweils Kreuzpolytope der Dimension n 1 Volumen Bearbeiten Das n displaystyle n nbsp dimensionale Volumen des Einheits Kreuzpolytops betragt vol P 2 n n displaystyle operatorname vol P tfrac 2 n n nbsp Das Volumen wird daher fur wachsende Dimension beliebig klein Regulare Kreuzpolytope BearbeitenDefinition Bearbeiten Ein regulares Kreuzpolytop ist ein Polytop das aus dem Einheits Kreuzpolytop durch Skalierung Drehung und Verschiebung hervorgeht Ein Polytop Q R n displaystyle Q subseteq mathbb R n nbsp ist demnach ein regulares Kreuzpolytop wenn es eine reelle Zahl l gt 0 displaystyle lambda gt 0 nbsp eine orthogonale Matrix A R n n displaystyle A in mathbb R n times n nbsp und einen Vektor b R n displaystyle b in mathbb R n nbsp gibt sodass Q l A P b displaystyle Q lambda AP b nbsp gilt Eigenschaften Bearbeiten Regulare Kreuzpolytope haben dieselbe Anzahl von Ecken Kanten und Facetten wie das Einheits Kreuzpolytop Sie besitzen auch die gleichen Symmetrieeigenschaften lediglich das Symmetriezentrum und die Spiegelebenen werden entsprechend mittransformiert Auch die Volumenformel bleibt erhalten und erhalt lediglich einen zusatzlichen Faktor l n displaystyle lambda n nbsp vol Q l n 2 n n displaystyle operatorname vol Q lambda n cdot tfrac 2 n n nbsp Kreuzpolytop oder Hyperoktaeder und Masspolytop oder Hyperwurfel sind zueinander dual Daher stimmen auch ihre Symmetriegruppen uberein Allgemeine Kreuzpolytope Bearbeiten nbsp Der Kantengraph eines vierdimensionalen KreuzpolytopsDefinition Bearbeiten Allgemein werden alle Polytope die zum Einheits Kreuzpolytop kombinatorisch aquivalent sind Kreuzpolytope genannt Prazise formuliert bedeutet das Ein Polytop Q R n displaystyle Q subseteq mathbb R n nbsp heisst Kreuzpolytop wenn es eine Bijektion f displaystyle f nbsp von der Menge der Ecken von Q displaystyle Q nbsp auf die Menge der Ecken e 1 e n e 1 e n displaystyle e 1 ldots e n e 1 ldots e n nbsp eines Einheits Kreuzpolytops P displaystyle P nbsp gibt sodass zwei Ecken v displaystyle v nbsp und w displaystyle w nbsp von Q displaystyle Q nbsp genau dann durch eine Kante verbunden sind wenn f v displaystyle f v nbsp und f w displaystyle f w nbsp dies in P displaystyle P nbsp sind Eigenschaften Bearbeiten Ein allgemeines Kreuzpolytop hat dieselbe Anzahl von Ecken Kanten und Facetten wie das Einheits Kreuzpolytop doch die Symmetrien gehen verloren Verwendung Bearbeiten Das Kreuzpolytop gilt als Prototyp eines Polytops das in Relation zur Dimension sehr wenige Ecken aber sehr viele Facetten besitzt Diese Eigenschaft ist in der linearen Optimierung besonders wichtig da der Simplex Algorithmus das Standardverfahren zur Losung linearer Optimierungsprobleme gezielt Ecken auf ihre Optimalitat pruft Das Gegenstuck hierzu ist der Hyperwurfel dessen Eckenzahl exponentiell die Facettenzahl aber nur linear in n displaystyle n nbsp anwachst Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Polytope Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Zwei Darstellungen Grafiken PDF Datei 32 kB der Universitat Stuttgart Kurze Definition von Prof Dr Rolfdieter Frank der Universitat Koblenz Landau auf der Homepage der Universitat Hamburg Konvexe Polytope WS 2003 2004 PDF Datei 416 kB von Achill Schurmann des Instituts fur Algebra und Geometrie der Otto von Guericke Universitat Magdeburg Polynomdarstellungen von Polyedern PDF Datei 320 kB von Martin Henk der Universitat Magdeburg Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kreuzpolytop amp oldid 220629688