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Euklidischer Abstand Der euklidische Abstand ist der Abstandsbegriff der euklidischen Geometrie Der euklidische Abstand

Euklidischer Abstand

Der euklidische Abstand ist der Abstandsbegriff der euklidischen Geometrie. Der euklidische Abstand zweier Punkte in der Ebene oder im Raum ist die zum Beispiel mit einem Lineal gemessene Länge einer Strecke, die diese zwei Punkte verbindet. Dieser Abstand ist invariant unter Bewegungen (Kongruenzabbildungen).

Der Abstand zweier Punkte und ist definiert als die Länge ihrer (geraden) Verbindungsstrecke (rot)

In kartesischen Koordinaten kann der euklidische Abstand mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnet werden. Mit Hilfe der so gewonnenen Formel kann der Begriff des euklidischen Abstands auf -dimensionale euklidische und unitäre Vektorräume, euklidische Punkträume und Koordinatenräume verallgemeinert werden.

„Euklidisch“ heißt dieser Abstand in Abgrenzung zu allgemeineren Abstandsbegriffen, wie zum Beispiel:

Euklidischer Raum Bearbeiten

n = 2, entspricht dem Satz des Pythagoras
n = 3, Formel ergibt sich über wiederholte Anwendung des Satzes von Pythagoras

In der zweidimensionalen euklidischen Ebene oder im dreidimensionalen euklidischen Raum stimmt der euklidische Abstand mit dem anschaulichen Abstand überein. Im allgemeineren Fall des -dimensionalen euklidischen Raumes ist er für zwei Punkte oder Vektoren durch die euklidische Norm des Differenzvektors zwischen den beiden Punkten definiert. Sind die Punkte und durch die Koordinaten und gegeben, so gilt:

Ein bekannter Spezialfall der Berechnung eines euklidischen Abstandes für ist der Satz des Pythagoras.

Der euklidische Abstand ist eine Metrik und erfüllt insbesondere die Dreiecksungleichung. Neben dem euklidischen Abstand gibt es eine Reihe weiterer Abstandsmaße. Da der euklidische Abstand von einer Norm herrührt, nämlich der euklidischen Norm, ist er translationsinvariant.

In der Statistik ist der euklidische Abstand ein Spezialfall des gewichteten euklidischen Abstands und sein Quadrat ein Spezialfall des Mahalanobis-Abstands.

Beispiel Bearbeiten

Der euklidische Abstand der beiden Punkte und ist

Euklidischer Abstand zweier Punkte im Raum

Literatur Bearbeiten

  • Hermann Schichl, Roland Steinbauer: Einführung in das mathematische Arbeiten. 2. überarbeitete Auflage. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-28646-9, S. 382 ff.
  • Winfried Schröter: Neuere statistische Verfahren und Modellbildung in der Geoökologie. Springer, 2013, ISBN 978-3-322-83735-6, S. 120 ff.
  • Elena Deza, Michel Marie Deza: Encyclopedia of Distances. Springer, 2009, ISBN 978-3-642-00233-5, S. 94

Weblinks Bearbeiten

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Der euklidische Abstand ist der Abstandsbegriff der euklidischen Geometrie Der euklidische Abstand zweier Punkte in der Ebene oder im Raum ist die zum Beispiel mit einem Lineal gemessene Lange einer Strecke die diese zwei Punkte verbindet Dieser Abstand ist invariant unter Bewegungen Kongruenzabbildungen Der Abstand zweier Punkte p displaystyle p und p q displaystyle p q ist definiert als die Lange ihrer geraden Verbindungsstrecke rot In kartesischen Koordinaten kann der euklidische Abstand mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnet werden Mit Hilfe der so gewonnenen Formel kann der Begriff des euklidischen Abstands auf n displaystyle n dimensionale euklidische und unitare Vektorraume euklidische Punktraume und Koordinatenraume verallgemeinert werden Euklidisch heisst dieser Abstand in Abgrenzung zu allgemeineren Abstandsbegriffen wie zum Beispiel dem der hyperbolischen Geometrie dem der riemannschen Geometrie Abstanden in normierten Vektorraumen Abstanden in beliebigen metrischen Raumen Inhaltsverzeichnis 1 Euklidischer Raum 2 Beispiel 3 Literatur 4 WeblinksEuklidischer Raum Bearbeiten nbsp n 2 entspricht dem Satz des Pythagoras nbsp n 3 Formel ergibt sich uber wiederholte Anwendung des Satzes von PythagorasIn der zweidimensionalen euklidischen Ebene oder im dreidimensionalen euklidischen Raum stimmt der euklidische Abstand d p q displaystyle d p q nbsp mit dem anschaulichen Abstand uberein Im allgemeineren Fall des n displaystyle n nbsp dimensionalen euklidischen Raumes R n displaystyle mathbb R n nbsp ist er fur zwei Punkte oder Vektoren durch die euklidische Norm q p 2 displaystyle q p 2 nbsp des Differenzvektors zwischen den beiden Punkten definiert Sind die Punkte p displaystyle p nbsp und q displaystyle q nbsp durch die Koordinaten p p 1 p n displaystyle p p 1 ldots p n nbsp und q q 1 q n displaystyle q q 1 ldots q n nbsp gegeben so gilt d p q q p 2 q 1 p 1 2 q n p n 2 i 1 n q i p i 2 displaystyle d p q q p 2 sqrt q 1 p 1 2 cdots q n p n 2 sqrt sum i 1 n q i p i 2 nbsp Ein bekannter Spezialfall der Berechnung eines euklidischen Abstandes fur n 2 displaystyle n 2 nbsp ist der Satz des Pythagoras Der euklidische Abstand ist eine Metrik und erfullt insbesondere die Dreiecksungleichung Neben dem euklidischen Abstand gibt es eine Reihe weiterer Abstandsmasse Da der euklidische Abstand von einer Norm herruhrt namlich der euklidischen Norm ist er translationsinvariant In der Statistik ist der euklidische Abstand ein Spezialfall des gewichteten euklidischen Abstands und sein Quadrat ein Spezialfall des Mahalanobis Abstands Beispiel BearbeitenDer euklidische Abstand der beiden Punkte p 2 3 1 displaystyle p 2 3 1 nbsp und q 4 1 2 displaystyle q 4 1 2 nbsp ist d p q 4 2 2 1 3 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 9 3 displaystyle d p q sqrt 4 2 2 1 3 2 2 1 2 sqrt 2 2 2 2 1 2 sqrt 9 3 nbsp nbsp Euklidischer Abstand zweier Punkte im RaumLiteratur BearbeitenHermann Schichl Roland Steinbauer Einfuhrung in das mathematische Arbeiten 2 uberarbeitete Auflage Springer 2012 ISBN 978 3 642 28646 9 S 382 ff Winfried Schroter Neuere statistische Verfahren und Modellbildung in der Geookologie Springer 2013 ISBN 978 3 322 83735 6 S 120 ff Elena Deza Michel Marie Deza Encyclopedia of Distances Springer 2009 ISBN 978 3 642 00233 5 S 94Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Distance In MathWorld englisch Eric W Weisstein Euclidean Metric In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Euklidischer Abstand amp oldid 212120720