www.wikidata.de-de.nina.az

Tesserakt Dieser Artikel erläutert den vierdimensionalen Würfel zu den Bedeutungen des Wortes Tesseract siehe dort 8 Zel

Tesserakt

Tesserakt
(8-Zeller)
4-Kubus

Schlegeldiagramm
Gruppe Reguläre Polytope
Familie Hyperkubus
Zellen 8 (4.4.4)
Flächen 24 {4}
Kanten 32
Ecken 16
Schläfli-Symbole {4,3,3}
{4,3}x{}
{4}x{4}
{4}x{}x{}
{}x{}x{}x{}
Coxeter-Dynkin-Diagramme



Symmetriegruppe B4, [3,3,4]
Eigenschaften konvex

Der Tesserakt [ˈtɛsərakt] (von altgriechisch τέσσερες ἀκτίνες tésseres aktínes, deutsch ‚vier Strahlen‘) ist eine Übertragung des klassischen Würfelbegriffs auf vier Dimensionen. Man spricht dabei auch von einem vierdimensionalen Hyperwürfel. Der Tesserakt verhält sich zum Würfel wie der Würfel zum Quadrat. Er hat 16 Ecken, 32 gleich lange Kanten, 24 quadratische Flächen, und wird durch 8 würfelförmige Zellen begrenzt. Diese Zellen bezeichnet man auch als Begrenzungswürfel des Tesserakts. In jeder Ecke treffen 4 Kanten, 6 Flächen und 4 Zellen jeweils senkrecht aufeinander.

Die Bilder in diesem Artikel sind als Bilder von Tesserakten unter Parallelprojektionen zu verstehen. Unten im rechten Bild erkennt man einen blauen und einen gelben Würfel, die durch sechs weitere rhomboedrisch verzerrte Begrenzungswürfel verbunden sind. Beim dreidimensionalen Netz des Tesserakts (links im ersten Bild) sind alle acht Begrenzungswürfel in den dreidimensionalen Raum gefaltet, so wie die Seitenflächen eines dreidimensionalen Würfels in ein Netz aus sechs Quadraten entfaltet werden können. Es gibt 261 Arten, einen Tesserakt zu entfalten.

Im folgenden Bild ist ein Netz des Tesserakts links zu sehen, und rechts unten eine zweidimensionale Parallelprojektion des Tesserakts.

Die Konstruktion der längsten Diagonalen von Quadrat, Würfel und Tesserakt

Die längste Diagonale eines Hyperwürfels entspricht der Quadratwurzel seiner Dimensionsanzahl multipliziert mit seiner Kantenlänge. Beim Tesserakt ist daher die längste Diagonale zwei Kantenlängen lang. Wenn man bei einem Tesserakt seine acht gegenüberliegenden Begrenzungswürfel paarweise miteinander verheftet, entsteht ein 4-Torus.

Projektionen in zwei Dimensionen Bearbeiten

Schrittweise Konstruktion eines Tesserakts

Die Konstruktion eines Hyperwürfels ist folgendermaßen möglich:

  1. Zwei Punkte A und B werden zu einer (eindimensionalen) Strecke verbunden, mit den Endpunkten A und B.
  2. Zwei parallele Strecken AB und CD gleicher Länge werden zu einem (zweidimensionalen) Quadrat verbunden. Dieses hat die Ecken A, B, C und D.
  3. Zwei parallele Quadrate ABCD und EFGH gleichen Flächeninhalts werden zu einem (dreidimensionalen) Würfel verbunden. Dieser hat die Ecken A, B, C, D, E, F, G und H.
  4. Zwei parallele Würfel ABCDEFGH und IJKLMNOP mit gleichem Volumen werden zu einem (vierdimensionalen) Hyperwürfel verbunden. Dieser hat die Ecken A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O und P.

Es ist möglich, Tesserakte in drei- oder zweidimensionale Räume zu projizieren. Außerdem werden Projektionen in die zweite Dimension aufschlussreicher, wenn man die projizierten Eckpunkte umordnet. Mit dieser Methode kann man Bilder erhalten, die nicht mehr die Raumbeziehungen innerhalb des Tesserakts widerspiegeln, aber die Verbindungsstruktur der Eckpunkte, wie folgende Beispiele zeigen:

Ein Tesserakt wird im Prinzip durch zwei verbundene Würfel gebildet. Das Schema ist der Konstruktion eines Würfels von zwei Quadraten ähnlich: Man stellt zwei Kopien des niedrigerdimensionalen Würfels nebeneinander und verbindet die entsprechenden Scheitelpunkte. Jede Kante eines Tesserakts ist von derselben Länge. Acht Würfel, die miteinander verbunden sind.

Tesserakte sind bipartite Graphen, genau wie Linien, Quadrate und Würfel.

Projektionen in drei Dimensionen Bearbeiten

Das Rhombendodekaeder bildet die Hülle dieser Projektion eines Tesserakts in 3 Dimensionen

Die Zelle-Zuerst-Parallelprojektion des Tesserakts in den dreidimensionalen Raum hat eine würfelförmige Hülle. Die nächsten und entferntesten Flächen werden auf den Würfel projiziert und die übrigen 6 Zellen werden auf die quadratischen Flächen des Würfels projiziert.

Die Fläche-Zuerst-Parallelprojektion des Tesserakts in den 3-dimensionalen Raum hat eine quaderförmige Hülle. Zwei Paare der Zellen projizieren die obere und untere Hälfte der Hülle und die 4 übrigen Zellen werden auf die Seitenflächen projiziert.

Die Kante-Zuerst-Parallelprojektion des Tesserakts in den dreidimensionalen Raum hat eine Hülle in der Form eines hexagonalen Prismas. Sechs Zellen werden auf rhombische Prismen projiziert, die im hexagonalen Prisma ausgelegt sind, analog dazu, wie die Flächen eines 3D-Würfels auf eine hexagonale Hülle in der Ecke-Zuerst-Projektion ausgelegt sind. Die zwei übrigen Zellen sind auf die Basen des Prismas projiziert.

Die Ecke-Zuerst-Parallelprojektion des Tesserakts in den dreidimensionalen Raum hat eine rhombische dodekaederförmige Hülle.

Bildergalerie Bearbeiten

Stereografische Projektion (Die Kanten sind auf eine Hyperkugel projiziert.) Einfache Ecken-Grafik 3D-Projektion eines 8-Zellers, der eine einfache Rotation um eine Ebene ausführt, die die Figur von vorne links nach hinten rechts und von oben nach unten teilt 3D-Projektion eines 8-Zellers, der eine doppelte Rotation um zwei orthogonale Ebenen ausführt Orthogonale Projektion mit deckungsgleichen Innenecken und farblich differenzierten Dimensionskanten
Orthogonale Projektion
Ein Netz eines Tesserakts
(Animation ansehen) 		Stereografische 3D-Projektion eines Tesserakts

Tesserakt in der Kultur Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Ein Gebäude in der Form eines Tesserakts liegt der Science-Fiction-Kurzgeschichte von Robert Heinlein —And He Built a Crooked House— aus dem Jahr 1941 zugrunde.
  • In dem Roman Die Zeitfalte von Madeleine L’Engle erlaubt die Methode der „Tesserung“ (im Original Tesseract) das Reisen über weite Entfernungen durch Raum und Zeit.
  • Im Marvel-Comics-Universum ist ein mächtiger, kosmischer Würfel nach dem Tesserakt benannt. Abgesehen von der Form und dem Namen hat dieser Gegenstand nichts mit dem oben erklärten Tesserakt gemeinsam. In der filmischen Adaption des Universums tritt der Tesserakt mehrfach auf.

Film Bearbeiten

Musik Bearbeiten

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Gudrun Wolfschmidt: Popularisierung der Naturwissenschaften. Institut für Geschichte der Naturwissenschaften, Mathematik und Technik (IGN) der Universität Hamburg. Diepholz, Verlag für Geschichte der Naturwissenschaft und der Technik, Berlin 2002, ISBN 3-928186-59-0, 17. Kapitel.

Weblinks Bearbeiten

Wiktionary: Tesserakt – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Dieser Artikel erlautert den vierdimensionalen Wurfel zu den Bedeutungen des Wortes Tesseract siehe dort Tesserakt 8 Zeller 4 KubusSchlegeldiagrammGruppe Regulare PolytopeFamilie HyperkubusZellen 8 4 4 4 Flachen 24 4 Kanten 32Ecken 16Schlafli Symbole 4 3 3 4 3 x 4 x 4 4 x x x x x Coxeter Dynkin DiagrammeSymmetriegruppe B4 3 3 4 Eigenschaften konvexDer Tesserakt ˈtɛserakt von altgriechisch tesseres ἀktines tesseres aktines deutsch vier Strahlen ist eine Ubertragung des klassischen Wurfelbegriffs auf vier Dimensionen Man spricht dabei auch von einem vierdimensionalen Hyperwurfel Der Tesserakt verhalt sich zum Wurfel wie der Wurfel zum Quadrat Er hat 16 Ecken 32 gleich lange Kanten 24 quadratische Flachen und wird durch 8 wurfelformige Zellen begrenzt Diese Zellen bezeichnet man auch als Begrenzungswurfel des Tesserakts In jeder Ecke treffen 4 Kanten 6 Flachen und 4 Zellen jeweils senkrecht aufeinander Die Bilder in diesem Artikel sind als Bilder von Tesserakten unter Parallelprojektionen zu verstehen Unten im rechten Bild erkennt man einen blauen und einen gelben Wurfel die durch sechs weitere rhomboedrisch verzerrte Begrenzungswurfel verbunden sind Beim dreidimensionalen Netz des Tesserakts links im ersten Bild sind alle acht Begrenzungswurfel in den dreidimensionalen Raum gefaltet so wie die Seitenflachen eines dreidimensionalen Wurfels in ein Netz aus sechs Quadraten entfaltet werden konnen Es gibt 261 Arten einen Tesserakt zu entfalten Im folgenden Bild ist ein Netz des Tesserakts links zu sehen und rechts unten eine zweidimensionale Parallelprojektion des Tesserakts Die Konstruktion der langsten Diagonalen von Quadrat Wurfel und TesseraktDie langste Diagonale eines Hyperwurfels entspricht der Quadratwurzel seiner Dimensionsanzahl multipliziert mit seiner Kantenlange Beim Tesserakt ist daher die langste Diagonale zwei Kantenlangen lang Wenn man bei einem Tesserakt seine acht gegenuberliegenden Begrenzungswurfel paarweise miteinander verheftet entsteht ein 4 Torus Inhaltsverzeichnis 1 Projektionen in zwei Dimensionen 2 Projektionen in drei Dimensionen 3 Bildergalerie 4 Tesserakt in der Kultur 4 1 Literatur 4 2 Film 4 3 Musik 5 Siehe auch 6 Literatur 7 WeblinksProjektionen in zwei Dimensionen Bearbeiten nbsp Schrittweise Konstruktion eines TesseraktsDie Konstruktion eines Hyperwurfels ist folgendermassen moglich Zwei Punkte A und B werden zu einer eindimensionalen Strecke verbunden mit den Endpunkten A und B Zwei parallele Strecken AB und CD gleicher Lange werden zu einem zweidimensionalen Quadrat verbunden Dieses hat die Ecken A B C und D Zwei parallele Quadrate ABCD und EFGH gleichen Flacheninhalts werden zu einem dreidimensionalen Wurfel verbunden Dieser hat die Ecken A B C D E F G und H Zwei parallele Wurfel ABCDEFGH und IJKLMNOP mit gleichem Volumen werden zu einem vierdimensionalen Hyperwurfel verbunden Dieser hat die Ecken A B C D E F G H I J K L M N O und P Es ist moglich Tesserakte in drei oder zweidimensionale Raume zu projizieren Ausserdem werden Projektionen in die zweite Dimension aufschlussreicher wenn man die projizierten Eckpunkte umordnet Mit dieser Methode kann man Bilder erhalten die nicht mehr die Raumbeziehungen innerhalb des Tesserakts widerspiegeln aber die Verbindungsstruktur der Eckpunkte wie folgende Beispiele zeigen Ein Tesserakt wird im Prinzip durch zwei verbundene Wurfel gebildet Das Schema ist der Konstruktion eines Wurfels von zwei Quadraten ahnlich Man stellt zwei Kopien des niedrigerdimensionalen Wurfels nebeneinander und verbindet die entsprechenden Scheitelpunkte Jede Kante eines Tesserakts ist von derselben Lange Acht Wurfel die miteinander verbunden sind Tesserakte sind bipartite Graphen genau wie Linien Quadrate und Wurfel Projektionen in drei Dimensionen Bearbeiten nbsp Das Rhombendodekaeder bildet die Hulle dieser Projektion eines Tesserakts in 3 DimensionenDie Zelle Zuerst Parallelprojektion des Tesserakts in den dreidimensionalen Raum hat eine wurfelformige Hulle Die nachsten und entferntesten Flachen werden auf den Wurfel projiziert und die ubrigen 6 Zellen werden auf die quadratischen Flachen des Wurfels projiziert Die Flache Zuerst Parallelprojektion des Tesserakts in den 3 dimensionalen Raum hat eine quaderformige Hulle Zwei Paare der Zellen projizieren die obere und untere Halfte der Hulle und die 4 ubrigen Zellen werden auf die Seitenflachen projiziert Die Kante Zuerst Parallelprojektion des Tesserakts in den dreidimensionalen Raum hat eine Hulle in der Form eines hexagonalen Prismas Sechs Zellen werden auf rhombische Prismen projiziert die im hexagonalen Prisma ausgelegt sind analog dazu wie die Flachen eines 3D Wurfels auf eine hexagonale Hulle in der Ecke Zuerst Projektion ausgelegt sind Die zwei ubrigen Zellen sind auf die Basen des Prismas projiziert Die Ecke Zuerst Parallelprojektion des Tesserakts in den dreidimensionalen Raum hat eine rhombische dodekaederformige Hulle Bildergalerie Bearbeiten nbsp Stereografische Projektion Die Kanten sind auf eine Hyperkugel projiziert nbsp Einfache Ecken Grafik nbsp 3D Projektion eines 8 Zellers der eine einfache Rotation um eine Ebene ausfuhrt die die Figur von vorne links nach hinten rechts und von oben nach unten teilt nbsp 3D Projektion eines 8 Zellers der eine doppelte Rotation um zwei orthogonale Ebenen ausfuhrt nbsp Orthogonale Projektion mit deckungsgleichen Innenecken und farblich differenzierten DimensionskantenOrthogonale Projektion nbsp nbsp nbsp nbsp Ein Netz eines Tesserakts Animation ansehen nbsp Stereografische 3D Projektion eines TesseraktsTesserakt in der Kultur BearbeitenLiteratur Bearbeiten Ein Gebaude in der Form eines Tesserakts liegt der Science Fiction Kurzgeschichte von Robert Heinlein And He Built a Crooked House aus dem Jahr 1941 zugrunde In dem Roman Die Zeitfalte von Madeleine L Engle erlaubt die Methode der Tesserung im Original Tesseract das Reisen uber weite Entfernungen durch Raum und Zeit Im Marvel Comics Universum ist ein machtiger kosmischer Wurfel nach dem Tesserakt benannt Abgesehen von der Form und dem Namen hat dieser Gegenstand nichts mit dem oben erklarten Tesserakt gemeinsam In der filmischen Adaption des Universums tritt der Tesserakt mehrfach auf Film Bearbeiten Im Film Interstellar befindet sich der Hauptcharakter zum Ende der Handlung im Innern des Ereignishorizonts einer Singularitat in einem Raum in dem die Zeit als vierte Raumdimension erscheint dieser Raum erscheint optisch als dreidimensionale Projektion eines Tesserakts und wird auch als solcher bezeichnet Der Tesserakt spielt eine grosse Rolle im Film Cube 2 Hypercube sowie in der Fernsehserie Gene Roddenberry s Andromeda Musik Bearbeiten Die britische Progressive Metal Band Tesseract benannte sich nach dem Tesserakt Siehe auch BearbeitenHyperebene Hyperraum PolychorLiteratur BearbeitenGudrun Wolfschmidt Popularisierung der Naturwissenschaften Institut fur Geschichte der Naturwissenschaften Mathematik und Technik IGN der Universitat Hamburg Diepholz Verlag fur Geschichte der Naturwissenschaft und der Technik Berlin 2002 ISBN 3 928186 59 0 17 Kapitel Weblinks Bearbeiten nbsp Wiktionary Tesserakt Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Darstellung von Schragbildern Zentralprojektionen Netzen und Schnitten eines Tesserakts Platonische Polychora Crucifixion Corpus Hypercubus Gemalde von Salvador Dali welches das Netz des Tesserakts enthalt Per JavaScript animierter Tesserakt Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Tesserakt amp oldid 239425196