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Bewertung Algebra Bewertungen von Körpern sind in der Körpertheorie einem Gebiet der Algebra von Bedeutung Nicht archime

Bewertung (Algebra)

Bewertungen von Körpern sind in der Körpertheorie, einem Gebiet der Algebra, von Bedeutung. Nicht-archimedische p-adische Bewertungen werden für die Konstruktion der p-adischen Zahlen verwendet und sind damit grundlegend für die p-adische Geometrie. In älteren Zugängen zur algebraischen Geometrie wurden auch Bewertungen von Funktionenkörpern verwendet.

Bewertungen Bearbeiten

Eine Bewertung eines Körpers ist eine Funktion in einen angeordneten Körper mit den Eigenschaften

  1. und

Ein Beispiel einer Bewertung ist die Betragsfunktion auf den reellen oder komplexen Zahlen mit der Signatur . Eine Bewertung heißt nicht-archimedisch, wenn für . Es kann gezeigt werden, dass eine Bewertung genau dann nicht-archimedisch ist, wenn sie die verschärfte Dreiecksungleichung erfüllt. In der Zahlentheorie werden heute aber meist die weiter unten definierten nicht-archimedischen Exponentialbewertungen gemeint, wenn von „Bewertungen“ die Rede ist.

Allgemeine Bewertungen (Exponenentialbewertungen) Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Ist eine totalgeordnete abelsche Gruppe und ein (kommutativer) Körper, so ist eine Abbildung

eine nicht-archimedische Bewertung, wenn die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

für alle .

heißt dann auch ein bewerteter Körper mit Wertegruppe .

Zwei Bewertungen und heißen äquivalent, wenn gilt. Äquivalenzklassen von Bewertungen werden auch als Stellen eines gegebenen Körpers bezeichnet.

Bewertungen und Bewertungsringe Bearbeiten

Ein Integritätsbereich heißt Bewertungsring, wenn er die folgende Eigenschaft hat:

Ist ein Bewertungsring mit Quotientenkörper , so kann man eine Bewertung auf mit Wertegruppe definieren:

dabei bezeichnet das Bild von in ; die Ordnung auf ist definiert durch

Ist umgekehrt ein bewerteter Körper mit Bewertung , so ist

ein Bewertungsring, der dann auch der Bewertungsring zur Bewertung genannt wird. Die Gruppe ist kanonisch isomorph zur Wertegruppe von .

Für einen Körper gibt es also eine bijektive Beziehung zwischen Isomorphieklassen von Bewertungen auf und Bewertungsringen, die in enthalten sind.

Diskrete Bewertungen Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Es sei ein Körper. Dann heißt eine surjektive Funktion

eine diskrete Bewertung, Exponentialbewertung oder nicht-archimedische Bewertung, wenn die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

für alle . zusammen mit heißt diskret bewerteter Körper.

Beispiele Bearbeiten

  • die -Bewertung auf den rationalen Zahlen für eine Primzahl
  • die Nullstellen- bzw. Polordnung meromorpher Funktionen in einem festen Punkt

Diskrete Bewertungen und diskrete Bewertungsringe Bearbeiten

Die Teilmenge

bildet einen Unterring von , den Bewertungsring von . Er ist ein diskreter Bewertungsring mit einem maximalen Ideal , welches Hauptideal ist.

Ist umgekehrt ein diskreter Bewertungsring, so ist durch

eine diskrete Bewertung auf dem Quotientenkörper von definiert.

Diskrete Bewertungsringe und diskret bewertete Körper entsprechen einander.

p-Bewertung Bearbeiten

Es sei eine Primzahl.

Die -Bewertung (auch: die -adische Bewertung oder der -Exponent) einer natürlichen oder ganzen Zahl ist die größte Zahl , so dass noch durch teilbar ist. Die -Bewertung gibt an, wie oft eine Primzahl in der Primfaktorzerlegung einer natürlichen oder ganzen Zahl vorkommt.

Ist

so ist

Tritt eine Primzahl nicht in der Primfaktorzerlegung von auf, dann ist .

Man setzt , weil jede Potenz jeder Primzahl die 0 teilt.

Die -Bewertung einer ganzen Zahl ist die ihres Betrags.

Die -Bewertung einer rationalen Zahl ist die Differenz der -Bewertungen des Zählers und des Nenners: Für eine rationale Zahl mit ist also

Geht p nur im Nenner des (vollständig gekürzten) Bruchs auf, ist also eine negative Zahl.

Die -Bewertung rationaler Zahlen spielt eine wichtige Rolle bei einer Konstruktionsart der p-adischen Zahlen: die Funktion

bildet auf den rationalen Zahlen einen nichtarchimedischen Betrag.

p-ganze und S-ganze Zahlen Bearbeiten

Eine -ganze Zahl (auch "-adisch ganze Zahl" oder "für ganze Zahl") ist eine rationale Zahl, die nichtnegative -Bewertung hat, d. h. bei der in einer vollständig gekürzten Bruchdarstellung der Nenner nicht durch teilbar ist. Rationale Zahlen, die nicht -ganz sind, werden manchmal auch "-gebrochen" genannt.

Die Menge aller -ganzen Zahlen ist ein Unterring von , der geschrieben wird. ist ein diskreter Bewertungsring, insbesondere gibt es bis auf Assoziierte genau ein irreduzibles Element, nämlich .

Ist allgemeiner eine Menge von Primzahlen, so ist eine -ganze Zahl eine rationale Zahl, die -ganz für jedes ist (!), d. h. bei der in einer vollständig gekürzten Bruchdarstellung der Nenner nur durch Primzahlen aus teilbar ist. Die Menge der -ganzen Zahlen bildet einen Unterring von .

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Der Begriff einer Norm kann allgemeiner gefasst werden, indem statt Vektorräumen über dem Körper der reellen oder komplexen Zahlen beliebige Vektorräume über bewerteten Körpern , also Körpern mit einem Absolutbetrag , zugelassen werden. Eine weitere Verallgemeinerung besteht darin, dass der Vektorraum durch einen -(Links)-Modul über einem unitären Ring mit Betrag ersetzt wird. Eine Funktion heißt dann Norm auf dem Modul , wenn für alle und alle Skalare die drei Normeigenschaften Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität erfüllt sind. Wenn im Grundring der Betrag durch einen Pseudobetrag ersetzt wird und im Modul die Homogenität zur Subhomogenität abgeschwächt wird, erhält man eine Pseudonorm.

Literatur Bearbeiten

  • B. L. van der Waerden: Algebra II, Springer-Verlag (1967), ISBN 3-540-03869-8, Achtzehntes Kapitel: "Bewertete Körper", S. 200–234.
  • J. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie, Springer-Verlag (2006), ISBN 3-5403-7547-3, Kapitel II: "Bewertungstheorie", S. 103–191.
  • Serge Lang: Algebra, Springer (2005), ISBN 0-387-95385-X, Absolute Values, S. 465–499.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Waerden, op. cit., S. 200
  2. Neukirch, op. cit., S. 121
  3. Heinz-Dieter Ebbinghaus et al.: Zahlen. 2. Auflage, Springer, Berlin/Heidelberg 1988, Kapitel 4. S. 65
  4. Falko Lorenz: Einführung in die Algebra II. 2. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, 1997, S. 69.
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Veröffentlichungsdatum:
Bewertungen von Korpern sind in der Korpertheorie einem Gebiet der Algebra von Bedeutung Nicht archimedische p adische Bewertungen werden fur die Konstruktion der p adischen Zahlen verwendet und sind damit grundlegend fur die p adische Geometrie In alteren Zugangen zur algebraischen Geometrie wurden auch Bewertungen von Funktionenkorpern verwendet Inhaltsverzeichnis 1 Bewertungen 2 Allgemeine Bewertungen Exponenentialbewertungen 2 1 Definition 2 2 Bewertungen und Bewertungsringe 2 3 Diskrete Bewertungen 2 3 1 Definition 2 3 2 Beispiele 2 4 Diskrete Bewertungen und diskrete Bewertungsringe 2 5 p Bewertung 2 5 1 p ganze und S ganze Zahlen 3 Verallgemeinerungen 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseBewertungen BearbeitenEine Bewertung eines Korpers K displaystyle K nbsp ist eine Funktion f K P displaystyle varphi colon K to P nbsp in einen angeordneten Korper P displaystyle P nbsp mit den Eigenschaften 1 2 3 f x 0 displaystyle varphi x geq 0 nbsp und f x 0 x 0 displaystyle varphi x 0 iff x 0 nbsp f x y f x f y displaystyle varphi xy varphi x varphi y nbsp f x y f x f y displaystyle varphi x y leq varphi x varphi y nbsp Ein Beispiel einer Bewertung ist die Betragsfunktion x displaystyle x nbsp auf den reellen oder komplexen Zahlen mit der Signatur C R displaystyle cdot colon mathbb C to mathbb R nbsp Eine Bewertung K R displaystyle cdot colon K to mathbb R nbsp heisst nicht archimedisch wenn n 1 displaystyle n leq 1 nbsp fur n N displaystyle n in mathbb N nbsp Es kann gezeigt werden dass eine Bewertung genau dann nicht archimedisch ist wenn sie die verscharfte Dreiecksungleichung erfullt In der Zahlentheorie werden heute aber meist die weiter unten definierten nicht archimedischen Exponentialbewertungen gemeint wenn von Bewertungen die Rede ist Siehe auch Betragsfunktion VerallgemeinerungenAllgemeine Bewertungen Exponenentialbewertungen BearbeitenDefinition Bearbeiten Ist G displaystyle G nbsp eine totalgeordnete abelsche Gruppe und K displaystyle K nbsp ein kommutativer Korper so ist eine Abbildung v K G displaystyle v colon K to G cup infty nbsp eine nicht archimedische Bewertung wenn die folgenden Eigenschaften erfullt sind v a b v a v b displaystyle v ab v a v b nbsp v a a 0 displaystyle v a infty iff a 0 nbsp v a b min v a v b displaystyle v a b geq min v a v b nbsp fur alle a b K displaystyle a b in K nbsp K displaystyle K nbsp heisst dann auch ein bewerteter Korper mit Wertegruppe v K G displaystyle v K times subseteq G nbsp Zwei Bewertungen v 1 displaystyle v 1 nbsp und v 2 displaystyle v 2 nbsp heissen aquivalent wenn v 1 a lt 1 v 2 a lt 1 displaystyle v 1 a lt 1 Longleftrightarrow v 2 a lt 1 nbsp gilt Aquivalenzklassen von Bewertungen werden auch als Stellen eines gegebenen Korpers bezeichnet Bewertungen und Bewertungsringe Bearbeiten Ein Integritatsbereich A displaystyle A nbsp heisst Bewertungsring wenn er die folgende Eigenschaft hat Fur jedes Element x displaystyle x nbsp des Quotientenkorpers von A displaystyle A nbsp gilt x A displaystyle x in A nbsp oder x 1 A displaystyle x 1 in A nbsp Ist A displaystyle A nbsp ein Bewertungsring mit Quotientenkorper K displaystyle K nbsp so kann man eine Bewertung auf K displaystyle K nbsp mit Wertegruppe G K A displaystyle G K times A times nbsp definieren v K G v x x 0 x x K displaystyle v colon K to G cup infty quad v x left begin matrix infty amp x 0 x amp x in K times end matrix right nbsp dabei bezeichnet x displaystyle x nbsp das Bild von x displaystyle x nbsp in G K A displaystyle G K times A times nbsp die Ordnung auf G displaystyle G nbsp ist definiert durch x y x y 1 A displaystyle x geq y iff xy 1 in A nbsp fur x y K displaystyle x y in K times nbsp Ist umgekehrt K displaystyle K nbsp ein bewerteter Korper mit Bewertung v displaystyle v nbsp so ist x K v x 0 displaystyle x in K mid v x geq 0 nbsp ein Bewertungsring der dann auch der Bewertungsring zur Bewertung v displaystyle v nbsp genannt wird Die Gruppe K A displaystyle K times A times nbsp ist kanonisch isomorph zur Wertegruppe von v displaystyle v nbsp Fur einen Korper K displaystyle K nbsp gibt es also eine bijektive Beziehung zwischen Isomorphieklassen von Bewertungen auf K displaystyle K nbsp und Bewertungsringen die in K displaystyle K nbsp enthalten sind Diskrete Bewertungen Bearbeiten Definition Bearbeiten Es sei K displaystyle K nbsp ein Korper Dann heisst eine surjektive Funktion v K Z displaystyle v colon K to mathbb Z cup infty nbsp eine diskrete Bewertung Exponentialbewertung oder nicht archimedische Bewertung wenn die folgenden Eigenschaften erfullt sind v a b v a v b displaystyle v ab v a v b nbsp v a a 0 displaystyle v a infty iff a 0 nbsp v a b min v a v b displaystyle v a b geq min v a v b nbsp fur alle a b K displaystyle a b in K nbsp K displaystyle K nbsp zusammen mit v displaystyle v nbsp heisst diskret bewerteter Korper Beispiele Bearbeiten die p displaystyle p nbsp Bewertung auf den rationalen Zahlen fur eine Primzahl p displaystyle p nbsp die Nullstellen bzw Polordnung meromorpher Funktionen in einem festen PunktDiskrete Bewertungen und diskrete Bewertungsringe Bearbeiten Die Teilmenge A x K v x 0 displaystyle A left x in K mid v x geq 0 right nbsp bildet einen Unterring von K displaystyle K nbsp den Bewertungsring von v displaystyle v nbsp Er ist ein diskreter Bewertungsring mit einem maximalen Ideal m x x K v x gt 0 displaystyle mathfrak m x mid x in K v x gt 0 nbsp welches Hauptideal ist Ist umgekehrt A m displaystyle A mathfrak m nbsp ein diskreter Bewertungsring so ist durch v x sup k Z x m k displaystyle v x sup left k in mathbb Z mid x in mathfrak m k right nbsp eine diskrete Bewertung auf dem Quotientenkorper von A displaystyle A nbsp definiert Diskrete Bewertungsringe und diskret bewertete Korper entsprechen einander p Bewertung Bearbeiten Es sei p displaystyle p nbsp eine Primzahl Die p displaystyle p nbsp Bewertung auch die p displaystyle p nbsp adische Bewertung oder der p displaystyle p nbsp Exponent v p n displaystyle v p n nbsp einer naturlichen oder ganzen Zahl n displaystyle n nbsp ist die grosste Zahl k displaystyle k nbsp so dass n displaystyle n nbsp noch durch p k displaystyle p k nbsp teilbar ist Die p displaystyle p nbsp Bewertung gibt an wie oft eine Primzahl p displaystyle p nbsp in der Primfaktorzerlegung einer naturlichen oder ganzen Zahl vorkommt Ist n p 1 a 1 p 2 a 2 p k a k displaystyle n p 1 a 1 p 2 a 2 p k a k nbsp so ist v p 1 n a 1 v p 2 n a 2 v p k n a k displaystyle v p 1 n a 1 quad v p 2 n a 2 quad ldots quad v p k n a k nbsp Tritt eine Primzahl p displaystyle p nbsp nicht in der Primfaktorzerlegung von n displaystyle n nbsp auf dann ist v p n 0 displaystyle v p n 0 nbsp Man setzt v p 0 displaystyle v p 0 infty nbsp weil jede Potenz jeder Primzahl die 0 teilt Die p displaystyle p nbsp Bewertung einer ganzen Zahl ist die ihres Betrags Die p displaystyle p nbsp Bewertung einer rationalen Zahl ist die Differenz der p displaystyle p nbsp Bewertungen des Zahlers und des Nenners Fur eine rationale Zahl r m n displaystyle r tfrac m n nbsp mit m n Z displaystyle m n in mathbb Z nbsp ist also v p r v p m v p n displaystyle v p r v p m v p n nbsp Geht p nur im Nenner des vollstandig gekurzten Bruchs m n displaystyle m n nbsp auf ist v p r displaystyle v p r nbsp also eine negative Zahl Die p displaystyle p nbsp Bewertung rationaler Zahlen spielt eine wichtige Rolle bei einer Konstruktionsart der p adischen Zahlen die Funktion r p v p r displaystyle r mapsto p v p r nbsp bildet auf den rationalen Zahlen einen nichtarchimedischen Betrag p ganze und S ganze Zahlen Bearbeiten Eine p displaystyle p nbsp ganze Zahl auch p displaystyle p nbsp adisch ganze Zahl oder fur p displaystyle p nbsp ganze Zahl ist eine rationale Zahl die nichtnegative p displaystyle p nbsp Bewertung hat d h bei der in einer vollstandig gekurzten Bruchdarstellung der Nenner nicht durch p displaystyle p nbsp teilbar ist Rationale Zahlen die nicht p displaystyle p nbsp ganz sind werden manchmal auch p 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displaystyle S mathbb P setminus p nbsp ist Z S Z p displaystyle mathbb Z S mathbb Z p nbsp der diskrete Bewertungsring der p displaystyle p nbsp ganzen Zahlen Fur S 2 5 displaystyle S 2 5 nbsp ist Z S displaystyle mathbb Z S nbsp der Ring der abbrechenden durch eine endliche Ziffernfolge darstellbaren Dezimalbruche Verallgemeinerungen BearbeitenDer Begriff einer Norm kann allgemeiner gefasst werden indem statt Vektorraumen uber dem Korper K displaystyle mathbb K nbsp der reellen oder komplexen Zahlen beliebige Vektorraume uber bewerteten Korpern K displaystyle K cdot nbsp also Korpern mit einem Absolutbetrag displaystyle cdot nbsp zugelassen werden 4 Eine weitere Verallgemeinerung besteht darin dass der Vektorraum durch einen R displaystyle R nbsp Links Modul M displaystyle M nbsp uber einem unitaren Ring mit Betrag R displaystyle R cdot nbsp ersetzt wird Eine Funktion M R displaystyle cdot colon M to mathbb R nbsp heisst dann Norm auf dem Modul M displaystyle M nbsp wenn fur alle x y M displaystyle x y in M nbsp und alle Skalare a R displaystyle alpha in R nbsp die drei Normeigenschaften Definitheit absolute Homogenitat und Subadditivitat erfullt sind Wenn im Grundring R displaystyle R nbsp der Betrag durch einen Pseudobetrag ersetzt wird und im Modul M displaystyle M nbsp die Homogenitat zur Subhomogenitat abgeschwacht wird erhalt man eine Pseudonorm Literatur BearbeitenB L van der Waerden Algebra II Springer Verlag 1967 ISBN 3 540 03869 8 Achtzehntes Kapitel Bewertete Korper S 200 234 J Neukirch Algebraische Zahlentheorie Springer Verlag 2006 ISBN 3 5403 7547 3 Kapitel II Bewertungstheorie S 103 191 Serge Lang Algebra Springer 2005 ISBN 0 387 95385 X Absolute Values S 465 499 Weblinks BearbeitenValuation MathWorld Valuation Encyclopedia of Mathematics Einzelnachweise Bearbeiten Waerden op cit S 200 Neukirch op cit S 121 Heinz Dieter Ebbinghaus et al Zahlen 2 Auflage Springer Berlin Heidelberg 1988 Kapitel 4 S 65 Falko Lorenz Einfuhrung in die Algebra II 2 Auflage Spektrum Akademischer Verlag 1997 S 69 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Bewertung Algebra amp oldid 224185747