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Meromorphe Funktion Meromorphie ist eine Eigenschaft von bestimmten komplexwertigen Funktionen die in der Funktionentheo

Meromorphe Funktion

Meromorphie ist eine Eigenschaft von bestimmten komplexwertigen Funktionen, die in der Funktionentheorie (einem Teilgebiet der Mathematik) behandelt werden.

Für viele Fragestellungen der Funktionentheorie ist der Begriff der holomorphen Funktion zu speziell. Dies liegt daran, dass der Kehrwert einer holomorphen Funktion an einer Nullstelle von eine Definitionslücke hat und somit dort auch nicht komplex differenzierbar ist. Man führt daher den allgemeineren Begriff der meromorphen Funktion ein, die auch isolierte Polstellen besitzen kann.

Meromorphe Funktionen lassen sich lokal als Laurentreihen mit abbrechendem Hauptteil darstellen. Ist ein Gebiet von , so bildet die Menge der auf meromorphen Funktionen einen Körper.

Definition Bearbeiten

Auf den komplexen Zahlen Bearbeiten

Es sei eine nichtleere offene Teilmenge der Menge der komplexen Zahlen und eine weitere Teilmenge von , die nur aus isolierten Punkten besteht. Eine Funktion heißt meromorph, wenn sie für Stellen aus definiert und holomorph ist und für Stellen aus Pole hat. wird als Polstellenmenge von bezeichnet.

Auf einer riemannschen Fläche Bearbeiten

Sei eine riemannsche Fläche und eine offene Teilmenge von . Unter einer meromorphen Funktion auf verstehen wir eine holomorphe Funktion , wobei eine offene Teilmenge ist, so dass die folgenden Eigenschaften gelten:

  • Die Menge hat nur isolierte Punkte.
  • Für jeden Punkt gilt

Die Punkte aus der Menge werden Pole von genannt. Die Menge aller meromorphen Funktionen auf wird mit bezeichnet und bildet, falls zusammenhängend ist, einen Körper. Diese Definition ist natürlich äquivalent zur Definition auf den komplexen Zahlen, falls eine Teilmenge derer ist.

Beispiele Bearbeiten

  • Alle holomorphen Funktionen sind auch meromorph, da ihre Polstellenmenge leer ist.
  • Die Kehrwertfunktion ist meromorph; ihre Polstellenmenge ist . Allgemeiner sind alle rationalen Funktionen
  • Für jede meromorphe Funktion ist ihr Kehrwert ebenfalls meromorph.
  • Die Funktion ist nicht auf ganz (und auf keiner Umgebung von ) meromorph, da keine Polstelle, sondern eine wesentliche Singularität dieser Funktion ist.

Wichtige Sätze über meromorphe Funktionen sind: Satz von Mittag-Leffler, Residuensatz, Satz von Riemann-Roch.

Literatur Bearbeiten

  • E. Freitag & R. Busam – Funktionentheorie 1, Springer-Verlag, 4. Auflage, ISBN 3-540-67641-4
  • Otto Forster – Riemannsche Flächen, Springer-Verlag, 1977, ISBN 0-387-08034-1
  • E.M. Chirka: Meromorphic function. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
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Meromorphie ist eine Eigenschaft von bestimmten komplexwertigen Funktionen die in der Funktionentheorie einem Teilgebiet der Mathematik behandelt werden Fur viele Fragestellungen der Funktionentheorie ist der Begriff der holomorphen Funktion zu speziell Dies liegt daran dass der Kehrwert 1 f displaystyle tfrac 1 f einer holomorphen Funktion f displaystyle f an einer Nullstelle von f displaystyle f eine Definitionslucke hat und somit 1 f displaystyle tfrac 1 f dort auch nicht komplex differenzierbar ist Man fuhrt daher den allgemeineren Begriff der meromorphen Funktion ein die auch isolierte Polstellen besitzen kann Meromorphe Funktionen lassen sich lokal als Laurentreihen mit abbrechendem Hauptteil darstellen Ist U displaystyle U ein Gebiet von C displaystyle mathbb C so bildet die Menge der auf U displaystyle U meromorphen Funktionen einen Korper Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Auf den komplexen Zahlen 1 2 Auf einer riemannschen Flache 2 Beispiele 3 LiteraturDefinition BearbeitenAuf den komplexen Zahlen Bearbeiten Es sei D displaystyle D nbsp eine nichtleere offene Teilmenge der Menge C displaystyle mathbb C nbsp der komplexen Zahlen und P f displaystyle P f nbsp eine weitere Teilmenge von C displaystyle mathbb C nbsp die nur aus isolierten Punkten besteht Eine Funktion f displaystyle f nbsp heisst meromorph wenn sie fur Stellen aus D P f displaystyle D setminus P f nbsp definiert und holomorph ist und fur Stellen aus P f displaystyle P f nbsp Pole hat P f displaystyle P f nbsp wird als Polstellenmenge von f displaystyle f nbsp bezeichnet Auf einer riemannschen Flache Bearbeiten Sei X displaystyle X nbsp eine riemannsche Flache und Y displaystyle Y nbsp eine offene Teilmenge von X displaystyle X nbsp Unter einer meromorphen Funktion auf Y displaystyle Y nbsp verstehen wir eine holomorphe Funktion f Y C displaystyle f colon Y rightarrow mathbb C nbsp wobei Y Y displaystyle Y subset Y nbsp eine offene Teilmenge ist so dass die folgenden Eigenschaften gelten Die Menge P f Y Y displaystyle P f Y setminus Y nbsp hat nur isolierte Punkte Fur jeden Punkt p Y Y displaystyle p in Y setminus Y nbsp giltlim x p f x displaystyle lim x rightarrow p f x infty nbsp Die Punkte aus der Menge Y Y displaystyle Y setminus Y nbsp werden Pole von f displaystyle f nbsp genannt Die Menge aller meromorphen Funktionen auf Y displaystyle Y nbsp wird mit M Y C displaystyle mathcal M Y mathbb C nbsp bezeichnet und bildet falls Y displaystyle Y nbsp zusammenhangend ist einen Korper Diese Definition ist naturlich aquivalent zur Definition auf den komplexen Zahlen falls X displaystyle X nbsp eine Teilmenge derer ist Beispiele BearbeitenAlle holomorphen Funktionen sind auch meromorph da ihre Polstellenmenge leer ist Die Kehrwertfunktion z 1 z displaystyle z mapsto tfrac 1 z nbsp ist meromorph ihre Polstellenmenge ist 0 displaystyle 0 nbsp Allgemeiner sind alle rationalen Funktionen z a m z m a 0 b n z n b 0 displaystyle z mapsto frac a m z m dotsb a 0 b n z n dotsb b 0 nbsp meromorph Die Polstellenmenge ist hier jeweils eine Teilmenge der Nullstellenmenge des Nennerpolynoms Fur jede meromorphe Funktion f 0 displaystyle f neq 0 nbsp ist ihr Kehrwert 1 f displaystyle tfrac 1 f nbsp ebenfalls meromorph Die Tangens bzw die Kotangens Funktion ist meromorph Die Funktion z e 1 z displaystyle z mapsto e 1 z nbsp ist nicht auf ganz C displaystyle mathbb C nbsp und auf keiner Umgebung von 0 displaystyle 0 nbsp meromorph da 0 displaystyle 0 nbsp keine Polstelle sondern eine wesentliche Singularitat dieser Funktion ist Weitere Beispiele sind Elliptische Funktionen Gammafunktion Hurwitzsche Zeta Funktion Modulformen Riemannsche z Funktion Spezielle Funktionen Wichtige Satze uber meromorphe Funktionen sind Satz von Mittag Leffler Residuensatz Satz von Riemann Roch Literatur BearbeitenE Freitag amp R Busam Funktionentheorie 1 Springer Verlag 4 Auflage ISBN 3 540 67641 4 Otto Forster Riemannsche Flachen Springer Verlag 1977 ISBN 0 387 08034 1 E M Chirka Meromorphic function In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Meromorphe Funktion amp oldid 227595729