Der Residuensatz ist ein wichtiger Satz der Funktionentheorie eines Teilgebietes der Mathematik Er stellt eine Verallgemeinerung des cauchyschen Integralsatzes und der cauchyschen Integralformel dar Seine Bedeutung liegt nicht nur in den weitreichenden Folgen innerhalb der Funktionentheorie sondern auch in der Berechnung von Integralen uber reelle Funktionen Er besagt dass das Kurvenintegral langs einer geschlossenen Kurve uber eine bis auf isolierte Singularitaten holomorphe Funktion lediglich vom Residuum in den Singularitaten im Innern der Kurve und der Umlaufzahl der Kurve um diese Singularitaten abhangt Anstelle eines Kurvenintegrals muss man also nur Residuen und Umlaufzahlen berechnen was in vielen Fallen einfacher ist Inhaltsverzeichnis 1 Satz 2 Bemerkungen 3 Null und Polstellen zahlendes Integral 4 Anwendungsbeispiele 4 1 Gebrochenrationale Funktionen 4 2 Gebrochenrationale Funktionen mit Exponentialfunktion 4 3 Gebrochenrationale Funktion mit einem nichtganzzahligen Term 4 4 Trigonometrische Funktionen 4 5 Fourier Transformierte 5 Der Residuensatz fur Riemannsche Flachen 6 Literatur 7 WeblinksSatz BearbeitenSei D C displaystyle D subseteq mathbb C nbsp ein Elementargebiet also ein einfach zusammenhangendes Gebiet in der komplexen Zahlenebene Sei weiterhin f displaystyle f nbsp eine bis auf eine Ausnahmemenge D f displaystyle D f nbsp isoliert liegender Singularitaten in D displaystyle D nbsp definierte holomorphe Funktion I displaystyle I nbsp ein reelles Intervall und G I D D f displaystyle Gamma colon I to D setminus D f nbsp ein geschlossener Weg in D D f displaystyle D setminus D f nbsp Dann gilt fur das komplexe Wegintegral 1 2 p i G f a D f ind G a Res a f displaystyle frac 1 2 pi mathrm i int Gamma f sum a in D f operatorname ind Gamma a operatorname Res a f nbsp wobei i n d G a displaystyle operatorname ind Gamma a nbsp die Umlaufzahl von G displaystyle Gamma nbsp in Bezug auf a displaystyle a nbsp und Res a f displaystyle operatorname Res a f nbsp das Residuum von f displaystyle f nbsp in a displaystyle a nbsp ist Bemerkungen BearbeitenDie Summe auf der rechten Seite ist stets endlich denn das von G displaystyle Gamma nbsp umschlossene einfach zusammenhangende Gebiet Int G displaystyle operatorname Int Gamma nbsp ist relativ kompakt in D displaystyle D nbsp und somit beschrankt Weil D f displaystyle D f nbsp in D displaystyle D nbsp keine Haufungspunkte hat ist Int G D f displaystyle operatorname Int Gamma cap D f nbsp endlich und nur dies sind die Punkte die zu der Summe beitragen denn fur alle anderen verschwindet die Windungszahl oder das Residuum Handelt es sich bei den Punkten in D f displaystyle D f nbsp um hebbare Singularitaten verschwindet das Residuum in diesen Punkten dann erhalt man den Integralsatz von Cauchy G f 0 displaystyle int Gamma f 0 nbsp Ist f displaystyle f nbsp auf D displaystyle D nbsp holomorph und z D displaystyle z in D nbsp hat z f z z z displaystyle textstyle zeta mapsto frac f zeta zeta z nbsp einen Pol erster Ordnung in z displaystyle z nbsp mit Residuum f z displaystyle f z nbsp dann erhalt man die Integralformel von Cauchy 1 2 p i G f z z z d z ind G z f z displaystyle frac 1 2 pi mathrm i int Gamma frac f zeta zeta z mathrm d zeta operatorname ind Gamma z f z nbsp Null und Polstellen zahlendes Integral BearbeitenIst f 0 displaystyle f not equiv 0 nbsp auf D displaystyle D nbsp meromorph mit der Nullstellenmenge N displaystyle N nbsp der Polstellenmenge P displaystyle P nbsp und Spur G N P displaystyle operatorname Spur Gamma cap left N cup P right emptyset nbsp dann folgt mit dem Residuensatz 1 2 p i G f f a N P ind G a ord a f displaystyle frac 1 2 pi mathrm i int Gamma frac f f sum limits a in N cup P operatorname ind Gamma a operatorname ord a f nbsp Dabei bezeichnet ord a f k falls f in a eine Nullstelle k ter Ordnung hat k falls f in a eine Polstelle k ter Ordnung hat 0 sonst displaystyle operatorname ord a f begin cases k amp mbox falls f mbox in a mbox eine Nullstelle k mbox ter Ordnung hat k amp mbox falls f mbox in a mbox eine Polstelle k mbox ter Ordnung hat 0 amp mbox sonst end cases nbsp die Null bzw Polstellenordnung von f displaystyle f nbsp in a displaystyle a nbsp Mit der Rechenregel des Residuums fur die logarithmische Ableitung gilt ord a f Res a f z f z displaystyle operatorname ord a f operatorname Res a frac f z f z nbsp Anwendungsbeispiele BearbeitenMit dem Residuensatz kann man reelle Integrale mit unendlichen Integrationsgrenzen berechnen Dazu fuhrt man in der komplexen Ebene eine geschlossene Kurve ein die die reellen Integrationsgrenzen uberdeckt das Integral uber den ubrigen Teil der Kurve ist meist so konstruiert dass es nach dem Grenzubergang verschwindet Die komplexe Ebene wird dabei durch einen Punkt im Unendlichen erganzt Riemannsche Zahlenkugel Dieses Berechnungsverfahren fur uneigentliche reelle Integrale wird in der theoretischen Physik oft als Methode der Residuen bezeichnet Gebrochenrationale Funktionen Bearbeiten nbsp Das Integral uber die Halbkreislinie verschwindet fur R displaystyle R to infty nbsp es bleibt das Integral uber die reelle Achse Ist f p q displaystyle f tfrac p q nbsp Quotient zweier Polynome mit deg p 2 deg q displaystyle deg p 2 leq deg q nbsp und q z 0 displaystyle q z neq 0 nbsp fur alle z R displaystyle z in mathbb R nbsp ist f z d z 2 p i a H Res a f z displaystyle int infty infty f z mathrm d z 2 pi mathrm i sum a in mathbb H operatorname Res a f z nbsp wobei H z C Im z gt 0 displaystyle mathbb H z in mathbb C operatorname Im z gt 0 nbsp die obere Halbebene ist denn man kann mit a 0 p C displaystyle alpha colon 0 pi to mathbb C nbsp t R e i t displaystyle t mapsto Re mathrm i t nbsp fur ein grosses R R displaystyle R in mathbb R nbsp uber den geschlossenen Halbkreis G R R a displaystyle Gamma R R oplus alpha nbsp integrieren und den Grenzubergang R displaystyle R rightarrow infty nbsp vollziehen Wegen p z q z c p z deg p c q z deg q c z 2 displaystyle left tfrac p z q z right leq tfrac c p z deg p c q z deg q leq tfrac c z 2 nbsp fur grosses z displaystyle z nbsp und Konstanten c c p c q R displaystyle c c p c q in mathbb R nbsp folgt mit der Standardabschatzung fur Kurvenintegrale a f L a max z im a f z p R c R 2 0 R displaystyle left int alpha f right leq L alpha cdot max zeta in operatorname im alpha left f zeta right leq pi R cdot frac c R 2 rightarrow 0 R rightarrow infty nbsp also gilt G f f z d z R displaystyle textstyle int Gamma f rightarrow int infty infty f z mathrm d z R rightarrow infty nbsp und wegen der obigen Abschatzung existiert letzteres Integral auch Mit dem Residuensatz folgt die Berechnungsformel Beispiel Sei f C i C displaystyle f colon mathbb C setminus pm mathrm i to mathbb C nbsp z 1 z 2 1 displaystyle z mapsto tfrac 1 z 2 1 nbsp mit Polen 1 Ordnung in i displaystyle pm mathrm i nbsp Dann ist Res i f z 1 2 i displaystyle operatorname Res mathrm i f z tfrac 1 2 mathrm i nbsp und damit f z d z 2 p i 1 2 i p displaystyle textstyle int infty infty f z mathrm d z 2 pi mathrm i cdot tfrac 1 2 mathrm i pi nbsp Gebrochenrationale Funktionen mit Exponentialfunktion Bearbeiten nbsp Das Integral uber die drei oberen Rechteckseiten verschwindet fur r displaystyle r to infty nbsp es bleibt das Integral uber die reelle Achse P displaystyle P nbsp und Q displaystyle Q nbsp seien Polynome mit deg P 1 deg Q displaystyle deg P 1 leq deg Q nbsp das Polynom Q displaystyle Q nbsp besitze keine reellen Nullstellen und die Nullstellen a 1 a k displaystyle a 1 ldots a k nbsp in der oberen komplexen Halbebene Dann gilt fur jedes a gt 0 displaystyle alpha gt 0 nbsp P x Q x exp i a x d x 2 p i i 1 k Res a i f z displaystyle int infty infty frac P x Q x exp i alpha x mathrm d x 2 pi mathrm i sum i 1 k operatorname Res a i f z nbsp mit f z P z Q z exp i a z displaystyle f z frac P z Q z exp i alpha z nbsp Wie oben definiert man auch hier einen geschlossenen Weg G displaystyle Gamma nbsp der aus dem geradlinigen Weg von r displaystyle r nbsp nach r displaystyle r nbsp besteht aber statt des Halbkreises verwendet man das daruber errichtete Rechteck mit Hohe r displaystyle sqrt r nbsp das gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird Die Funktion z P z Q z displaystyle z mapsto tfrac P z Q z nbsp kann nach Voraussetzung gegen eine Konstante C displaystyle C nbsp mal 1 z displaystyle tfrac 1 z nbsp abgeschatzt werden Die Integrale uber den vertikalen Strecken sind dann mittels Standardabschatzung C 1 r displaystyle leq C tfrac 1 sqrt r nbsp was gegen Null geht Fur die obere horizontale Seite ist Im z r displaystyle operatorname Im z sqrt r nbsp und damit exp i a z exp a r displaystyle exp i alpha z exp alpha sqrt r nbsp Das Integral uber diese Rechtecksseite ist dann mittels Standardabschatzung 2 C r exp a r displaystyle leq 2C sqrt r exp alpha sqrt r nbsp Damit folgt dass das Integral uber den gesamten oberen Teil des Rechtecks fur r displaystyle r to infty nbsp gegen Null konvergiert und man erhalt die Behauptung Beispiel Betrachte die Funktion x exp 2 i x x 2 1 displaystyle frac x exp 2ix x 2 1 nbsp Sie erfullt alle oben genannten Bedingungen Das Polynom im Nenner hat als Nullstellen nur i displaystyle pm i nbsp und damit keine auf der reellen Achse Demnach gilt x exp 2 i x x i x i d x 2 p i Res i f z i p exp 2 displaystyle int infty infty frac x exp 2ix x i x i mathrm d x 2 pi mathrm i operatorname Res i f z i pi exp 2 nbsp Gebrochenrationale Funktion mit einem nichtganzzahligen Term Bearbeiten Sind P displaystyle P nbsp und Q displaystyle Q nbsp Polynome fur die deg Q gt deg P l displaystyle deg Q gt deg P lambda nbsp gilt wobei l R Z displaystyle lambda in mathbb R backslash mathbb Z nbsp gilt Q displaystyle Q nbsp habe keine Nullstellen in R displaystyle mathbb R nbsp und P Q displaystyle P Q nbsp keine Nullstelle in der Null Dann gilt 0 x l 1 P x Q x d x p sin l p p C R Res p z l 1 P z Q z displaystyle int 0 infty x lambda 1 frac P x Q x mathrm d x frac pi sin lambda pi sum p in mathbb C backslash mathbb R operatorname Res p z lambda 1 frac P z Q z nbsp Beispiel Ist f x x 3 2 1 x 2 1 displaystyle f x frac x 3 2 1 x 2 1 nbsp so ist l 3 2 displaystyle lambda 3 2 nbsp die Funktion besitzt die Pole i displaystyle pm i nbsp und alle weiteren Anforderungen sind auch erfullt Es ist demnach Res i f z i 1 2 2 i displaystyle operatorname Res pm i f z frac mp i 1 2 pm 2i nbsp Somit gilt 0 x 1 x 2 d x p i 2 i i 2 i p 2 displaystyle int 0 infty frac sqrt x 1 x 2 mathrm d x pi left frac sqrt i 2i frac sqrt i 2i right frac pi sqrt 2 nbsp Trigonometrische Funktionen Bearbeiten Ist r p q displaystyle r tfrac p q nbsp Quotient zweier Polynome mit q x y 0 displaystyle q x y neq 0 nbsp fur alle x y R displaystyle x y in mathbb R nbsp mit x 2 y 2 1 displaystyle x 2 y 2 1 nbsp Dann gilt 0 2 p r cos t sin t d t 0 2 p r e i t e i t 2 e i t e i t 2 i d t E 1 i z r z 1 z 2 z 1 z 2 i d z 2 p a E Res a 1 z r z 1 z 2 z 1 z 2 i displaystyle begin aligned int 0 2 pi r cos t sin t mathrm d t amp int 0 2 pi r left frac e mathrm i t e mathrm i t 2 frac e mathrm i t e mathrm i t 2 mathrm i right mathrm d t amp int partial mathbb E frac 1 mathrm i z cdot r left frac z frac 1 z 2 frac z frac 1 z 2 mathrm i right mathrm d z amp 2 pi sum a in mathbb E operatorname Res a left frac 1 z cdot r left frac z frac 1 z 2 frac z frac 1 z 2 mathrm i right right end aligned nbsp wobei E z C z lt 1 displaystyle mathbb E z in mathbb C z lt 1 nbsp die Einheitskreisscheibe ist Denn die Windungszahl der Einheitskreislinie ist im Innern des Einheitskreises 1 displaystyle 1 nbsp und nach Voraussetzung liegen keine Singularitaten auf der Einheitskreislinie Theoretisch lassen sich solche Integrale auch mittels der Weierstrass Substitution losen diese ist aber meist aufwendiger Sind die Intervallgrenzen des zu berechnenden Integrals nicht genau 2 p displaystyle 2 pi nbsp und 0 displaystyle 0 nbsp so lasst sich dies mittels einer linearen Substitution oder durch Symmetrieargumente erreichen Beispiel Es gilt 0 2 p d t 2 sin t 2 E d z z 2 4 i z 1 4 p i 1 2 3 i 2 p 3 displaystyle int 0 2 pi frac mathrm d t 2 sin t 2 int partial mathbb E frac mathrm d z z 2 4 mathrm i z 1 4 pi mathrm i cdot frac 1 2 sqrt 3 mathrm i frac 2 pi sqrt 3 nbsp denn f C C z 1 z 2 4 i z 1 displaystyle f colon mathbb C to mathbb C z mapsto tfrac 1 z 2 4 mathrm i z 1 nbsp hat in 2 3 i displaystyle left 2 pm sqrt 3 right mathrm i nbsp Pole 1 Ordnung aber nur der Pol bei 2 3 i displaystyle left 2 sqrt 3 right mathrm i nbsp liegt in E displaystyle mathbb E nbsp und dort hat f displaystyle f nbsp das Residuum 1 2 3 i displaystyle tfrac 1 2 sqrt 3 mathrm i nbsp Fourier Transformierte Bearbeiten Gegeben sei eine Funktion f C R L 1 R displaystyle f in C infty mathbb R cap L 1 mathbb R nbsp Ferner gebe es Punkte a 1 a k H displaystyle a 1 dotsc a k in mathbb H nbsp mit f O z Im z gt e a 1 a k displaystyle f in mathbb O z operatorname Im z gt varepsilon cap a 1 dotsc a k nbsp wobei e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp sei Gibt es dann zwei Zahlen C d gt 0 displaystyle C delta gt 0 nbsp mit f z C z 1 d displaystyle left f z right leq C left z right 1 delta nbsp fur grosse z displaystyle left z right nbsp so gilt fur alle x gt 0 displaystyle x gt 0 nbsp die Formel f y e i x y d y 2 p i a H Res a f z e i x z displaystyle int infty infty f y e mathrm i xy mathrm d y 2 pi mathrm i sum a in mathbb H operatorname Res a f z e mathrm i xz nbsp Die gleiche Formel gilt fur x lt 0 displaystyle x lt 0 nbsp Mit Hilfe dieser Methode konnen komplizierte Fourier Integrale berechnet werden Der Beweis erfolgt wie oben durch Zerlegung des Integrationswegs in den Teil auf der reellen Achse und den Teil in der oberen Halbebene Danach wird wieder der Grenzwert betrachtet und das Integral uber die Kurve in der oberen Halbebene verschwindet aufgrund des Lemmas von Jordan Der Residuensatz fur Riemannsche Flachen BearbeitenDer Residuensatz lasst sich auf kompakte riemannsche Flachen verallgemeinern Fur eine meromorphe 1 Form auf einer solchen Flache gilt dass die Summe der Residuen gleich null ist Als Folgerung ergibt sich damit der zweite Satz von Liouville uber elliptische Funktionen Literatur BearbeitenKurt Endl Wolfgang Luh Analysis Band 3 Funktionentheorie Differentialgleichungen 6 uberarbeitete Auflage Aula Verlag Wiesbaden 1987 ISBN 3 89104 456 9 S 229 Wolfgang Fischer Ingo Lieb Funktionentheorie 7 verbesserte Auflage Vieweg Braunschweig u a 1994 ISBN 3 528 67247 1 S 145 Satz 4 1 A P Yuzhakov Residue of an analytic function In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Weblinks BearbeitenDer Residuensatz gsi de Eric W Weisstein Residue Theorem In MathWorld englisch On the Residue Theorem In PlanetMath englisch Elemente der Funktionentheorie Die wichtigsten Satze und Hilfsmittel fur Anwendungen in der physikalischen Feldtheorie PDF 441 kB astrophys neunhof de Residuensatz und Cauchy scher Integralsatz Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Residuensatz amp oldid 234048474
