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Uneigentliches Integral Ein uneigentliches Integral ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis Mit H

Uneigentliches Integral

Ein uneigentliches Integral ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis. Mit Hilfe dieses Integralbegriffs ist es möglich, Funktionen zu integrieren, die einzelne Singularitäten aufweisen oder deren Definitionsbereich unbeschränkt ist und die deshalb im eigentlichen Sinn nicht integrierbar sind.

Das uneigentliche Integral kann als Erweiterung des Riemann-Integrals, des Lebesgue-Integrals oder auch anderer Integrationsbegriffe verstanden werden. Oftmals wird es allerdings im Zusammenhang mit dem Riemann-Integral betrachtet, da insbesondere das (eigentliche) Lebesgue-Integral schon viele Funktionen integrieren kann, die nur uneigentlich Riemann-integrierbar sind.

Definition Bearbeiten

Es gibt zwei Gründe, warum uneigentliche Integrale betrachtet werden. Zum einen möchte man Funktionen auch über unbeschränkte Bereiche integrieren, beispielsweise von bis . Dies ist mit dem Riemann-Integral ohne weiteres nicht möglich. Uneigentliche Integrale, die dieses Problem lösen, nennt man uneigentliche Integrale erster Art. Außerdem ist es auch von Interesse, Funktionen zu integrieren, die auf dem Rand ihres Definitionsbereichs eine Singularität haben. Uneigentliche Integrale, die das ermöglichen, nennt man uneigentliche Integrale zweiter Art. Es ist möglich, dass uneigentliche Integrale an einer Grenze uneigentlich erster Art und an der anderen Grenze uneigentlich zweiter Art sind. Jedoch ist es für die Definition des uneigentlichen Integrals unerheblich, von welcher Art das Integral ist.

Integrationsbereich mit einer kritischen Grenze Bearbeiten

Sei und eine Funktion, die über jedem abgeschlossenen Teilintervall integrierbar ist. Dann ist das uneigentliche Integral im Fall der Konvergenz definiert durch

Analog ist das uneigentliche Integral für und definiert.

Existiert der Grenzwert nicht, so nennt man auch ein divergentes Integral.

Integrationsbereich mit zwei kritischen Grenzen Bearbeiten

Sei und eine Funktion. So ist das uneigentliche Integral im Fall der Konvergenz definiert durch

wobei gilt und die beiden rechten Integrale uneigentliche Integrale mit einer kritischen Grenze sind. Ausgeschrieben heißt das

Die Konvergenz und der Wert des Integrals hängt nicht von der Wahl von ab.

Beispiele Bearbeiten

Zwei gebrochen-rationale Funktionen Bearbeiten

Falls eine Stammfunktion bekannt ist, kann wie im eigentlichen Fall das Integral an der benachbarten Stelle ausgewertet werden und dann der Grenzwert für berechnet werden. Ein Beispiel ist das Integral

bei dem der Integrand bei eine Singularität besitzt und daher nicht als (eigentliches) Riemann-Integral existiert. Fasst man das Integral als uneigentliches Riemann-Integral zweiter Art auf, so gilt

Das Integral

hat einen unbeschränkten Definitionsbereich und ist daher ein uneigentliches Integral erster Art. Es gilt

Gaußsches Fehlerintegral Bearbeiten

Das Gaußsche Fehlerintegral

ist ein uneigentliches Riemann-Integral erster Art. Im Sinn der lebesgueschen Integrationstheorie existiert das Integral auch im eigentlichen Sinn.

Beziehung zwischen eigentlichen und uneigentlichen Riemann- und Lebesgue-Integralen Bearbeiten

  • Jede Riemann-integrierbare Funktion ist auch Lebesgue-integrierbar.
  • Somit ist jede uneigentlich Riemann-integrierbare Funktion auch uneigentlich Lebesgue-integrierbar.
  • Es gibt Funktionen, die uneigentlich Riemann-integrierbar, aber nicht Lebesgue-integrierbar sind, man betrachte etwa das Integral
(Es existiert nicht im Lebesgue-Sinn, da für jede Lebesgue-integrierbare Funktion auch ihr Absolutbetrag Lebesgue-integrierbar ist, was mit nützlichen Eigenschaften der durch das Lebesgue-Integral definierten Funktionenräume einhergeht, die somit beim uneigentlichen Lebesgue-Integral verloren gehen).
  • Auf der anderen Seite gibt es Funktionen, die Lebesgue-integrierbar, aber nicht (auch nicht uneigentlich) Riemann-integrierbar sind, z. B. die Dirichlet-Funktion auf einem beschränkten Intervall.

Weblinks Bearbeiten

Commons: Improper integral – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer-Verlag, Berlin u. a., 2004, ISBN 3-540-41282-4, S. 218.
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Veröffentlichungsdatum:
Ein uneigentliches Integral ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis Mit Hilfe dieses Integralbegriffs ist es moglich Funktionen zu integrieren die einzelne Singularitaten aufweisen oder deren Definitionsbereich unbeschrankt ist und die deshalb im eigentlichen Sinn nicht integrierbar sind Das uneigentliche Integral kann als Erweiterung des Riemann Integrals des Lebesgue Integrals oder auch anderer Integrationsbegriffe verstanden werden Oftmals wird es allerdings im Zusammenhang mit dem Riemann Integral betrachtet da insbesondere das eigentliche Lebesgue Integral schon viele Funktionen integrieren kann die nur uneigentlich Riemann integrierbar sind Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Integrationsbereich mit einer kritischen Grenze 1 2 Integrationsbereich mit zwei kritischen Grenzen 2 Beispiele 2 1 Zwei gebrochen rationale Funktionen 2 2 Gausssches Fehlerintegral 3 Beziehung zwischen eigentlichen und uneigentlichen Riemann und Lebesgue Integralen 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEs gibt zwei Grunde warum uneigentliche Integrale betrachtet werden Zum einen mochte man Funktionen auch uber unbeschrankte Bereiche integrieren beispielsweise von displaystyle infty nbsp bis displaystyle infty nbsp Dies ist mit dem Riemann Integral ohne weiteres nicht moglich Uneigentliche Integrale die dieses Problem losen nennt man uneigentliche Integrale erster Art Ausserdem ist es auch von Interesse Funktionen zu integrieren die auf dem Rand ihres Definitionsbereichs eine Singularitat haben Uneigentliche Integrale die das ermoglichen nennt man uneigentliche Integrale zweiter Art Es ist moglich dass uneigentliche Integrale an einer Grenze uneigentlich erster Art und an der anderen Grenze uneigentlich zweiter Art sind Jedoch ist es fur die Definition des uneigentlichen Integrals unerheblich von welcher Art das Integral ist Integrationsbereich mit einer kritischen Grenze Bearbeiten Sei lt a lt b displaystyle infty lt a lt b leq infty nbsp und f a b R displaystyle f colon a b to mathbb R nbsp eine Funktion die uber jedem abgeschlossenen Teilintervall a b a b displaystyle a beta subset a b nbsp integrierbar ist Dann ist das uneigentliche Integral im Fall der Konvergenz definiert durch a b f x d x lim b b a b f x d x displaystyle int a b f x mathrm d x lim beta nearrow b int a beta f x mathrm d x nbsp Analog ist das uneigentliche Integral fur a lt b lt displaystyle infty leq a lt b lt infty nbsp und f a b R displaystyle f colon a b to mathbb R nbsp definiert 1 Existiert der Grenzwert nicht so nennt man a b f x d x displaystyle int a b f x mathrm d x nbsp auch ein divergentes Integral Integrationsbereich mit zwei kritischen Grenzen Bearbeiten Sei a lt b displaystyle infty leq a lt b leq infty nbsp und f a b R displaystyle f colon a b to mathbb R nbsp eine Funktion So ist das uneigentliche Integral im Fall der Konvergenz definiert durch a b f x d x a c f x d x c b f x d x displaystyle int a b f x mathrm d x int a c f x mathrm d x int c b f x mathrm d x nbsp wobei a lt c lt b displaystyle a lt c lt b nbsp gilt und die beiden rechten Integrale uneigentliche Integrale mit einer kritischen Grenze sind 1 Ausgeschrieben heisst das a b f x d x lim a a a c f x d x lim b b c b f x d x displaystyle int a b f x mathrm d x lim alpha searrow a int alpha c f x mathrm d x lim beta nearrow b int c beta f x mathrm d x nbsp Die Konvergenz und der Wert des Integrals hangt nicht von der Wahl von c displaystyle c nbsp ab Beispiele BearbeitenZwei gebrochen rationale Funktionen Bearbeiten Falls eine Stammfunktion bekannt ist kann wie im eigentlichen Fall das Integral an der benachbarten Stelle b displaystyle beta nbsp ausgewertet werden und dann der Grenzwert fur b b displaystyle beta nearrow b nbsp berechnet werden Ein Beispiel ist das Integral 0 1 d x x 2 x 0 1 2 displaystyle int 0 1 frac mathrm d x sqrt x 2 sqrt x Big 0 1 2 nbsp bei dem der Integrand bei x 0 displaystyle x 0 nbsp eine Singularitat besitzt und daher nicht als eigentliches Riemann Integral existiert Fasst man das Integral als uneigentliches Riemann Integral zweiter Art auf so gilt lim a 0 a 1 1 x d x lim a 0 2 1 2 a 2 displaystyle lim alpha searrow 0 int alpha 1 frac 1 sqrt x mathrm d x lim alpha searrow 0 left 2 sqrt 1 2 sqrt alpha right 2 nbsp Das Integral 1 1 x 2 d x displaystyle int 1 infty frac 1 x 2 mathrm d x nbsp hat einen unbeschrankten Definitionsbereich und ist daher ein uneigentliches Integral erster Art Es gilt lim b 1 b 1 x 2 d x lim b 1 b 1 1 1 displaystyle lim beta to infty int 1 beta frac 1 x 2 mathrm d x lim beta to infty left frac 1 beta frac 1 1 right 1 nbsp Gausssches Fehlerintegral Bearbeiten Hauptartikel Fehlerintegral Das Gausssche Fehlerintegral e 1 2 x 2 d x 2 p displaystyle int infty infty e frac 1 2 x 2 mathrm d x sqrt 2 pi nbsp ist ein uneigentliches Riemann Integral erster Art Im Sinn der lebesgueschen Integrationstheorie existiert das Integral auch im eigentlichen Sinn Beziehung zwischen eigentlichen und uneigentlichen Riemann und Lebesgue Integralen BearbeitenJede Riemann integrierbare Funktion ist auch Lebesgue integrierbar Somit ist jede uneigentlich Riemann integrierbare Funktion auch uneigentlich Lebesgue integrierbar Es gibt Funktionen die uneigentlich Riemann integrierbar aber nicht Lebesgue integrierbar sind man betrachte etwa das Integral 1 sin x x d x displaystyle int 1 infty frac sin x x mathrm d x nbsp dd Es existiert nicht im Lebesgue Sinn da fur jede Lebesgue integrierbare Funktion auch ihr Absolutbetrag Lebesgue integrierbar ist was mit nutzlichen Eigenschaften der durch das Lebesgue Integral definierten Funktionenraume einhergeht die somit beim uneigentlichen Lebesgue Integral verloren gehen Auf der anderen Seite gibt es Funktionen die Lebesgue integrierbar aber nicht auch nicht uneigentlich Riemann integrierbar sind z B die Dirichlet Funktion auf einem beschrankten Intervall Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Improper integral Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Christoph Bock Elemente der Analysis PDF 2 2 MB Abschnitt 8 33Einzelnachweise Bearbeiten a b Konrad Konigsberger Analysis 1 Springer Verlag Berlin u a 2004 ISBN 3 540 41282 4 S 218 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Uneigentliches Integral amp oldid 231087340