Dieser Artikel behandelt das gausssche Fehlerintegral zur verwandten gausssche Fehlerfunktion siehe Fehlerfunktion Das gausssche Fehlerintegral nach Carl Friedrich Gauss ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung Es wird haufig mit F displaystyle Phi bezeichnet und ist das Integral von displaystyle infty bis z displaystyle z uber die Dichtefunktion der Normalverteilung mit m 0 displaystyle mu 0 und s 1 displaystyle sigma 1 Da die gesamte Flache unterhalb der Dichtekurve auch Gauss Glocke genannt gleich 1 ist ist der Wert des Fehlerintegrals fur z displaystyle z rightarrow infty ebenfalls 1 siehe Abschnitt Normierung Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Zusammenhang mit der gaussschen Fehlerfunktion 3 Anwendung 4 Normierung 5 Siehe auch 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenDas Fehlerintegral ist durch F z 1 2 p z e 1 2 t 2 d t displaystyle Phi z frac 1 sqrt 2 pi int infty z e frac 1 2 t 2 mathrm d t nbsp definiert Lasst man das Integral erst bei 0 displaystyle 0 nbsp statt bei displaystyle infty nbsp beginnen so spricht man von F 0 displaystyle Phi 0 nbsp F 0 z 1 2 p 0 z e 1 2 t 2 d t F z 1 2 displaystyle Phi 0 z frac 1 sqrt 2 pi int 0 z e frac 1 2 t 2 mathrm d t Phi z tfrac 1 2 nbsp Zusammenhang mit der gaussschen Fehlerfunktion BearbeitenDurch die Substitution x t 2 displaystyle x tfrac t sqrt 2 nbsp in den oben genannten Formeln und durch passende Umformungen lasst sich aus F displaystyle Phi nbsp bzw F 0 displaystyle Phi 0 nbsp die Fehlerfunktion erf z 2 F 2 z 1 displaystyle operatorname erf z 2 Phi sqrt 2 z 1 nbsp bzw erf z 2 F 0 2 z displaystyle operatorname erf z 2 Phi 0 sqrt 2 z nbsp herleiten Anwendung BearbeitenDas Fehlerintegral F z displaystyle Phi z nbsp gibt die Wahrscheinlichkeit an dass eine standardnormalverteilte Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich z displaystyle z nbsp annimmt Umgekehrt kann auch die Wahrscheinlichkeit fur einen Wert grosser oder gleich z displaystyle z nbsp ermittelt werden indem man F F z 1 F z displaystyle Phi infty Phi z 1 Phi z nbsp bildet Als elektrotechnisches Beispiel sei ein gaussverteiltes Storrauschen der Streuung s 1 25 V displaystyle sigma 1 25 mathrm V nbsp angenommen das einem Ubertragungskanal uberlagert ist Dieser Kanal arbeite fehlerfrei solange die Storungen im Bereich 5 V 5 V liegen Es klart sich nun schnell die Frage wie wahrscheinlich eine fehlerhafte Ubertragung ist Wahrscheinlichkeit fur einen Rauschwert nicht grosser als 5 V p 1 F 5 V s F 4 0 317 10 4 displaystyle p 1 Phi 5 mathrm V sigma Phi 4 0 317 cdot 10 4 nbsp Wahrscheinlichkeit fur einen Rauschwert mindestens gleich 5 V p 2 F F 5 V s 1 F 4 0 317 10 4 displaystyle p 2 Phi infty Phi 5 mathrm V sigma 1 Phi 4 0 317 cdot 10 4 nbsp Die Gesamtwahrscheinlichkeit fur einen Ubertragungsfehler ergibt sich dann aus p p 1 p 2 displaystyle p p 1 p 2 nbsp Normierung BearbeitenUm die Normiertheit F 1 displaystyle Phi infty 1 nbsp nachzuweisen berechnen wir I e 1 2 t 2 d t displaystyle I int infty infty e frac 1 2 t 2 mathrm d t nbsp Auch wenn keine Stammfunktion des Integranden als elementare Funktion ausdruckbar ist gibt es trotzdem mehr als ein halbes Dutzend Losungswege seinen Wert zu bestimmen angefangen bei ersten Naherungen De Moivres aus dem Jahr 1733 uber die Arbeiten von Laplace und Poisson aus der Zeit um 1800 bis hin zu einem ganzlich neuen Losungsansatz S P Evesons aus dem Jahr 2005 1 Einer der entscheidenden Tricks fur seine Berechnung angeblich von Poisson 2 ist es auf eine hohere Dimension auszuweichen und das resultierende 2D Integrationsgebiet anders zu parametrisieren I 2 e 1 2 x 2 d x e 1 2 y 2 d y e 1 2 x 2 e 1 2 y 2 d x d y e 1 2 x 2 y 2 d x d y displaystyle begin aligned I 2 amp left int infty infty e frac 1 2 x 2 mathrm d x right left int infty infty e frac 1 2 y 2 mathrm d y right amp int infty infty int infty infty e frac 1 2 x 2 e frac 1 2 y 2 mathrm d x mathrm d y amp int infty infty int infty infty e frac 1 2 left x 2 y 2 right mathrm d x mathrm d y end aligned nbsp Grundlage fur die erste Umformung ist die Linearitat des Integrals Statt langs kartesischer Koordinaten wird uber R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp nun langs Polarkoordinaten integriert was der Substitution x r cos f y r sin f displaystyle x r cos varphi y r sin varphi nbsp und daraus r 2 x 2 y 2 displaystyle r 2 x 2 y 2 nbsp entspricht und man erhalt schliesslich mit dem Transformationssatz I 2 0 0 2 p e 1 2 r 2 r d f d r 2 p 0 e 1 2 r 2 r d r 2 p e 1 2 r 2 r 0 2 p displaystyle begin aligned I 2 amp int 0 infty int 0 2 pi e frac 1 2 r 2 r mathrm d varphi mathrm d r amp 2 pi int 0 infty e frac 1 2 r 2 r mathrm d r amp 2 pi left e frac 1 2 r 2 right r 0 infty amp 2 pi end aligned nbsp Damit erhalten wir lim z F z 1 2 p e 1 2 t 2 d t 1 2 p I 1 displaystyle lim z to infty Phi z frac 1 sqrt 2 pi int infty infty e frac 1 2 t 2 mathrm d t frac 1 sqrt 2 pi I 1 nbsp Siehe auch BearbeitenTabelle StandardnormalverteilungEinzelnachweise Bearbeiten Peter M Lee The probability integral University of York Department of Mathematics 2011 zuletzt abgerufen am 14 Mai 2016 Denis Bell Poisson s remarkable calculation a method or a trick University of North Florida Department of Mathematics 2010 PDF 248 kB Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Fehlerintegral amp oldid 236891403
