In der Analysis ist die logarithmische Ableitung L f displaystyle operatorname L f einer differenzierbaren Funktion f displaystyle f die keine Nullstellen besitzt als der Quotient der Ableitung einer Funktion und der Funktion selbst definiert formal L f f f displaystyle operatorname L f frac f f Auf gleiche Weise lasst sich der Begriff auch fur von Null verschiedene meromorphe Funktionen definieren hier brauchen keine Nullstellen ausgeschlossen zu werden weil der Quotient fur meromorphe Funktionen wohldefiniert ist Fur reelle Funktionen f displaystyle f mit positiven Werten stimmt die logarithmische Ableitung nach der Kettenregel mit der Ableitung der Funktion ln f displaystyle ln f uberein daher der Name Es gilt also ln f f f displaystyle ln f frac f f Daraus folgt f ln f f f x ln f x d x f x C displaystyle f ln f f implies int f x ln f x dx f x C Inhaltsverzeichnis 1 Rechenregeln 2 Beispiele 3 Funktionentheorie 4 Anwendung 5 LiteraturRechenregeln BearbeitenDie Bedeutung des Begriffes liegt in der Formel fur die logarithmische Ableitung eines Produktes L f g L f L g displaystyle operatorname L f cdot g operatorname L f operatorname L g nbsp allgemein L f 1 f n L f 1 L f n displaystyle operatorname L f 1 cdots f n operatorname L f 1 ldots operatorname L f n nbsp Als Abwandlung zur Produktregel gilt also f g f g L f L g displaystyle fg fg operatorname L f operatorname L g nbsp Analog gilt L 1 f L f displaystyle operatorname L 1 f operatorname L f nbsp und L f g L f L g displaystyle operatorname L f g operatorname L f operatorname L g nbsp Fur die logarithmische Ableitung der Potenzfunktion erhalt man etwa L f n n L f displaystyle operatorname L f n n cdot operatorname L f nbsp Diese Formeln folgen aus der Leibnizregel und gelten deshalb auch in allgemeinerem Kontext beispielsweise bei der formalen Ableitung von Polynomen oder rationalen Funktionen uber einem beliebigen Grundkorper Beispiele BearbeitenDie logarithmische Ableitung von Funktionen kann meistens mit den normalen Differentiationsregeln bestimmt werden f displaystyle f nbsp L f displaystyle operatorname L f nbsp Anmerkungenn displaystyle n nbsp 0 displaystyle 0 nbsp n R 0 displaystyle n in mathbb R setminus 0 nbsp x n displaystyle x n nbsp n x displaystyle frac n x nbsp n R displaystyle n in mathbb R nbsp e n x displaystyle e nx nbsp n displaystyle n nbsp n R displaystyle n in mathbb R nbsp ln x displaystyle ln x nbsp 1 x ln x displaystyle frac 1 x ln x nbsp sin x displaystyle sin x nbsp cot x displaystyle cot x nbsp cos x displaystyle cos x nbsp tan x displaystyle tan x nbsp tan x displaystyle tan x nbsp 1 sin x cos x displaystyle frac 1 sin x cos x nbsp G z displaystyle Gamma z nbsp ps z displaystyle psi z nbsp Die logarithmische Ableitung der Gamma Funktion ist die Digamma Funktion Funktionentheorie BearbeitenEs sei g z displaystyle g z nbsp eine meromorphe Funktion mit einer Nullstelle der Ordnung n displaystyle n nbsp oder einem Pol der Ordnung n displaystyle n nbsp an einer Stelle c C displaystyle c in mathbb C nbsp Dann lasst sich g z displaystyle g z nbsp als g z z c n f z displaystyle g z z c n f z nbsp mit einer in einer Umgebung von c displaystyle c nbsp holomorphen Funktion f z displaystyle f z nbsp mit f c 0 displaystyle f c neq 0 nbsp schreiben Es gilt L g n z c L f displaystyle L g frac n z c L f nbsp Wegen f c 0 displaystyle f c neq 0 nbsp ist L f displaystyle L f nbsp in einer Umgebung von c displaystyle c nbsp holomorph Das Residuum von L g displaystyle L g nbsp an der Stelle c displaystyle c nbsp entspricht also gerade der Nullstellenordnung von g displaystyle g nbsp an der Stelle c displaystyle c nbsp Dieser Zusammenhang wird im Prinzip vom Argument ausgenutzt Anwendung BearbeitenLasst sich eine Funktion f displaystyle f nbsp darstellen als f k u a v b w c displaystyle f k cdot u a cdot v b cdot w c cdot dots nbsp mit k displaystyle k nbsp und a b c displaystyle a b c dots nbsp als Konstanten so ergibt sich die Ableitung zu f f a u u b v v c w w displaystyle f f cdot left a cdot frac u u b cdot frac v v c cdot frac w w dots right nbsp Dieser Umstand kann bei praktischen Anwendungen wie der Handrechnung genutzt werden um manche Ableitungsregeln kompakt zusammenzufassen So ergibt sich beispielsweise bei den Faktoren k 1 displaystyle k 1 nbsp a 1 displaystyle a 1 nbsp b 1 displaystyle b 1 nbsp die Produktregel mit den Faktoren k 1 displaystyle k 1 nbsp a 1 displaystyle a 1 nbsp b 1 displaystyle b 1 nbsp die Quotientenregel und mit k 1 displaystyle k 1 nbsp a 1 displaystyle a 1 nbsp die Reziprokenregel Literatur BearbeitenRichard P Feynman Michael A Gottlieb Ralph Leighton Feynman s Tips on Physics A Problem Solving Supplement to the Feynman Lectures on Physics Addison Wesley San Francisco 2006 ISBN 0 8053 9063 4 Kapitel 1 4 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Logarithmische Ableitung amp oldid 236923597
