Die Digamma Funktion oder Psi Funktion ist in der Mathematik eine Funktion die definiert wird als Die Digamma Funktion ps x displaystyle psi x in der komplexen Zahlenebene ps x d d x ln G x G x G x displaystyle psi x frac mathrm d mathrm d x ln big Gamma x big frac Gamma x Gamma x Sie ist also die logarithmische Ableitung der Gammafunktion Die Digamma Funktion ist die erste der Polygammafunktionen Bis auf ihre Pole erster Ordnung fur nicht positive ganze Argumente ist sie genau wie die Gammafunktion in ganz C displaystyle mathbb C holomorph Inhaltsverzeichnis 1 Berechnung 1 1 Die Beziehung zur harmonischen Reihe 1 2 Integral Darstellung 1 3 Taylor Reihe 1 4 Binomische Reihe 1 5 Funktionalgleichung 1 6 Rekursionsformel und Summenausdrucke 1 7 Quotientenbeziehung zur Gammafunktion 2 Gausssche Summe 3 Gausssches Digamma Theorem 4 Besondere Werte 4 1 Liste der Werte 4 2 Beweis fur den Wert ps 1 4 3 Beweise fur die Digammafunktionswerte der Kehrwerte naturlicher Zahlen 5 Ableitung 6 Literatur 7 WeblinksBerechnung BearbeitenDie Beziehung zur harmonischen Reihe Bearbeiten Die Digammafunktion welche meist als ps0 x ps0 x oder ϝ displaystyle digamma nbsp nach der Form des vorklassischen griechischen Buchstaben Ϝ digamma dargestellt wird steht fur ganzzahlige Werte mit der harmonischen Reihe in folgender Beziehung ps n H n 1 g displaystyle psi n H n 1 gamma nbsp wobei Hn das n te Element der harmonischen Reihe und g die Euler Mascheroni Konstante ist Fur halbzahlige Werte kann sie geschrieben werden als ps n 1 2 g 2 ln 2 k 1 n 2 2 k 1 displaystyle psi left n frac 1 2 right gamma 2 ln 2 sum k 1 n frac 2 2k 1 nbsp Integral Darstellung Bearbeiten Die Digammafunktion kann wie folgt als Integral dargestellt werden ps x 0 e t t e x t 1 e t d t displaystyle psi x int 0 infty left frac e t t frac e xt 1 e t right mathrm d t nbsp Fur alle positiven x Werte gilt diese Formel ps x ln x 1 2 x 0 2 y y 2 1 exp 2 p x y 1 d y displaystyle psi x ln x frac 1 2x int 0 infty frac 2y y 2 1 exp 2 pi xy 1 mathrm d y nbsp Diese Formel resultiert aus der Abel Plana Summenformel und geht durch die Mellin Transformation hervor Dies kann auch geschrieben werden als ps s 1 g 0 1 1 x s 1 x d x displaystyle psi s 1 gamma int 0 1 frac 1 x s 1 x mathrm d x nbsp Dies folgt aus der Formel fur das Euler Integral fur die harmonische Reihe Taylor Reihe Bearbeiten Durch Reihenentwicklung der Taylor Reihe um den Punkt z 1 kann die Digammafunktion wie folgt dargestellt werden ps z 1 g k 1 z k 1 z k displaystyle psi z 1 gamma sum k 1 infty zeta k 1 z k nbsp Sie konvergiert fur z lt 1 Dabei ist z n displaystyle zeta n nbsp die Riemannsche z Funktion Die Reihe kann leicht von der zugehorigen Taylor Reihe fur die Hurwitzsche z Funktion hergeleitet werden Binomische Reihe Bearbeiten Die binomische Reihe fur die Digammafunktion folgt aus dem Euler Integral ps s 1 g k 1 1 k k s k displaystyle psi s 1 gamma sum k 1 infty frac 1 k k s choose k nbsp wobei s k displaystyle tbinom s k nbsp der verallgemeinerte Binomialkoeffizient ist Funktionalgleichung Bearbeiten Die Digammafunktion genugt folgender Funktionalgleichung welche direkt aus der logarithmischen Ableitung der Gammafunktion hergeleitet werden kann ps 1 x ps x p cot p x displaystyle psi 1 x psi x pi cot left pi x right nbsp Hiermit kann allerdings nicht ps 1 2 berechnet werden dieser Wert ist unten angegeben Rekursionsformel und Summenausdrucke Bearbeiten Die Digamma Funktion genugt der Rekursionsformel ps x 1 ps x 1 x displaystyle psi x 1 psi x frac 1 x nbsp oder D ps x 1 x displaystyle Delta psi x frac 1 x nbsp wobei D der rechtsseitige Differenzoperator ist Dies erfullt die Rekursionsbeziehung der harmonischen Reihe Daraus folgt ps n H n 1 g displaystyle psi n H n 1 gamma nbsp Allgemeiner gilt ps x g k 1 1 k 1 x k 1 displaystyle psi x gamma sum k 1 infty left frac 1 k frac 1 x k 1 right nbsp Aus der Gaussschen Produktdarstellung der Gammafunktion lasst sich aquivalent dazu ps x lim n ln n k 0 n 1 x k displaystyle psi x lim limits n to infty left ln n sum limits k 0 n frac 1 x k right nbsp schlussfolgern Quotientenbeziehung zur Gammafunktion Bearbeiten Fur den Quotienten aus Digammafunktion und Gammafunktion liefert die Produktdarstellung den Ausdruck ps x G x lim n ln n k 0 n x k j 0 n k 0 k j n x k n n x displaystyle frac psi x Gamma x lim limits n to infty frac ln n prod limits k 0 n x k sum limits j 0 n prod limits k 0 atop k neq j n x k n n x nbsp Bei positiven ganzen Zahlen m 0 displaystyle m geq 0 nbsp bei deren negativen Werten sowohl Digamma als auch Gammafunktion divergieren folgt dann ps m G m lim n k 0 k m n k m n n m 1 m 1 m lim n n m k n m 1 n k 1 m 1 m displaystyle frac psi m Gamma m lim limits n to infty frac prod limits k 0 atop k neq m n k m n n m 1 m 1 m lim limits n to infty frac n m prod limits k n m 1 n k 1 m 1 m nbsp Mit Hilfe der Funktionalgleichung fur die Gammafunktion findet man sogar heraus dass der Wert des Quotienten ausschliesslich vom Argument der Gammafunktion abhangt also gilt fur ganzzahlige m n 0 displaystyle m n geq 0 nbsp schliesslich ps m G n 1 n 1 n displaystyle frac psi m Gamma n 1 n 1 n nbsp Gausssche Summe BearbeitenDie Digammafunktion hat eine Gausssche Summe der Form 1 p k n 1 k sin 2 p n m k ps n k z 0 m k B 1 m k 1 2 m k displaystyle frac 1 pi k sum n 1 k sin frac 2 pi nm k psi left frac n k right zeta left 0 frac m k right mathrm B 1 left frac m k right frac 1 2 frac m k nbsp fur naturliche Zahlen 0 lt m lt k displaystyle 0 lt m lt k nbsp Dabei ist z s q die Hurwitzsche z Funktion und B n x displaystyle mathrm B n x nbsp das Bernoulli Polynom Ein Spezialfall des Multiplikationstheorem ist n 1 k ps n k k g ln k displaystyle sum n 1 k psi left frac n k right k gamma ln k nbsp Gausssches Digamma Theorem BearbeitenFur ganze Zahlen m displaystyle m nbsp und k displaystyle k nbsp mit m lt k displaystyle m lt k nbsp kann die Digammafunktion mit elementaren Funktionen ausgedruckt werden ps m k g ln 2 k p 2 cot m p k 2 n 1 k 1 2 cos 2 p n m k ln sin n p k displaystyle psi left frac m k right gamma ln 2k frac pi 2 cot frac m pi k 2 sum n 1 left frac k 1 2 right cos frac 2 pi nm k ln sin frac n pi k nbsp Besondere Werte BearbeitenListe der Werte Bearbeiten Die Digamma Funktion hat unter anderem folgende besondere Werte ps 1 g displaystyle psi 1 gamma nbsp ps 1 2 2 ln 2 g displaystyle psi left frac 1 2 right 2 ln 2 gamma nbsp ps 1 3 p 2 3 3 2 ln 3 g displaystyle psi left frac 1 3 right frac pi 2 sqrt 3 frac 3 2 ln 3 gamma nbsp ps 1 4 p 2 3 ln 2 g displaystyle psi left frac 1 4 right frac pi 2 3 ln 2 gamma nbsp ps 1 6 p 2 3 2 ln 2 3 2 ln 3 g displaystyle psi left frac 1 6 right frac pi 2 sqrt 3 2 ln 2 frac 3 2 ln 3 gamma nbsp Beweis fur den Wert ps 1 Bearbeiten Nach der oben abgebildeten Formel gilt ps 1 0 1 exp x 1 1 x exp x d x displaystyle psi 1 int 0 infty frac 1 exp x 1 frac 1 x exp x mathrm d x nbsp Dieses Integral lasst sich so umformen 0 1 exp x 1 1 x exp x d x 0 exp x x 1 x exp x 1 d x 0 1 x exp x 1 m 1 1 m 1 x m 1 m 1 d x displaystyle int 0 infty frac 1 exp x 1 frac 1 x exp x mathrm d x int 0 infty frac exp x x 1 x exp x 1 mathrm d x int 0 infty frac 1 x exp x 1 sum m 1 infty frac 1 m 1 x m 1 m 1 mathrm d x nbsp 0 m 1 1 m 1 x m m 1 exp x 1 d x m 1 0 1 m 1 x m m 1 exp x 1 d x displaystyle int 0 infty sum m 1 infty frac 1 m 1 x m m 1 exp x 1 mathrm d x sum m 1 infty int 0 infty frac 1 m 1 x m m 1 exp x 1 mathrm d x nbsp m 1 1 m 1 m 1 0 x m exp x 1 d x m 1 1 m 1 m 1 m z m 1 m 1 1 m 1 m 1 z m 1 displaystyle sum m 1 infty frac 1 m 1 m 1 int 0 infty frac x m exp x 1 mathrm d x sum m 1 infty frac 1 m 1 m 1 m zeta m 1 sum m 1 infty frac 1 m 1 m 1 zeta m 1 nbsp m 1 1 m 1 m 1 n 1 1 n m 1 m 1 n 1 1 m 1 m 1 1 n m 1 n 1 m 1 1 m 1 m 1 1 n m 1 displaystyle sum m 1 infty frac 1 m 1 m 1 sum n 1 infty frac 1 n m 1 sum m 1 infty sum n 1 infty frac 1 m 1 m 1 frac 1 n m 1 sum n 1 infty sum m 1 infty frac 1 m 1 m 1 frac 1 n m 1 nbsp n 1 1 n Li 1 1 n n 1 1 n ln 1 1 n g displaystyle sum n 1 infty frac 1 n operatorname Li 1 left frac 1 n right sum n 1 infty frac 1 n ln left 1 frac 1 n right gamma nbsp Deswegen nimmt ps 1 den Wert g an In der dritten Zeile der Gleichungskette wird der Debyesche Funktionswert von Plus Unendlich genannt welcher aus der Geometrischen Reihe hervorgeht Am Ende der vierten Zeile taucht die Maclaurinsche Reihe des Monologarithmus auf welche als Stammfunktion der Geometrischen Reihe hervorgeht Beweise fur die Digammafunktionswerte der Kehrwerte naturlicher Zahlen Bearbeiten Aus der Beziehung zur harmonischen Reihe resultiert diese fur alle z ℕ gultige Formel ps 1 z 1 g z 1 0 1 1 x z 1 x z 1 d x displaystyle psi left frac 1 z 1 right gamma z 1 int 0 1 frac 1 x z 1 x z 1 mathrm d x nbsp Also gilt ps 1 2 g 2 0 1 1 x 1 x 2 d x g 2 0 1 1 1 x d x g 2 0 1 d d x ln x 1 d x g 2 ln 2 displaystyle psi left frac 1 2 right gamma 2 int 0 1 frac 1 x 1 x 2 mathrm d x gamma 2 int 0 1 frac 1 1 x mathrm d x gamma 2 int 0 1 frac mathrm d mathrm d x ln x 1 mathrm d x gamma 2 ln 2 nbsp ps 1 3 g 3 0 1 1 x 2 1 x 3 d x g 3 0 1 1 x 1 x x 2 d x displaystyle psi left frac 1 3 right gamma 3 int 0 1 frac 1 x 2 1 x 3 mathrm d x gamma 3 int 0 1 frac 1 x 1 x x 2 mathrm d x nbsp g 3 0 1 d d x 1 3 3 arctan 1 3 3 1 2 x 1 2 ln 1 x x 2 d x g 1 6 3 p 3 2 ln 3 displaystyle gamma 3 int 0 1 frac mathrm d mathrm d x frac 1 3 sqrt 3 arctan left frac 1 3 sqrt 3 1 2x right frac 1 2 ln 1 x x 2 mathrm d x gamma frac 1 6 sqrt 3 pi frac 3 2 ln 3 nbsp Ableitung BearbeitenDie Ableitung der Digammafunktion ist nach deren Definition die Trigamma Funktion ps 1 x d 2 d x 2 ln G x displaystyle psi 1 x frac mathrm d 2 mathrm d x 2 ln Gamma x nbsp die zweite Polygammafunktion Literatur BearbeitenMilton Abramowitz und Irene A Stegun Handbook of Mathematical Functions 1964 Dover Publications New York ISBN 0 486 61272 4 Siehe 6 3Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Digamma Function In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Digamma Funktion amp oldid 228629678
