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Polylogarithmus Der ist eine spezielle Funktion die durch die Reihe Li s z k 1 z k k s displaystyle operatorname Li s z

Polylogarithmus

Der Polylogarithmus ist eine spezielle Funktion, die durch die Reihe

definiert ist. Für geht der Polylogarithmus in den gewöhnlichen Logarithmus über:

In den Fällen und spricht man entsprechend von Dilogarithmus bzw. Trilogarithmus. Die Definition gilt für komplexe und mit . Durch analytische Fortsetzung lässt sich diese Definition auf weitere ausdehnen.

In den wichtigsten Anwendungsfällen ist eine natürliche Zahl. Für diese Fälle kann man den Polylogarithmus rekursiv durch

definieren, wonach der Dilogarithmus ein Integral des Logarithmus ist, der Trilogarithmus ein Integral des Dilogarithmus und so fort. Für negative ganzzahlige Werte von lässt sich der Polylogarithmus durch rationale Funktionen ausdrücken.

Der Polylogarithmus taucht beispielsweise im Zusammenhang mit der Fermi-Dirac-Verteilung und der Bose-Einstein-Verteilung auf. Zudem kann mit ihm im hexadezimalen Zahlensystem eine beliebige Stelle von polylogarithmischen Konstanten (z. B. ) einzeln berechnet werden.

Funktionswerte und Rekursionen Bearbeiten

Graphen einiger ganzzahliger Polylogarithmen

Funktionswerte mit Index unter Zwei Bearbeiten

Einige explizite Funktionsterme für spezielle ganzzahlige Werte von :

Formal kann man mit der (für alle divergierenden) Reihe definieren. Obwohl diese Reihe nicht konvergiert, kann diese Definition zum Beweis von Funktionalgleichungen (im Ring der formal definierten Laurent-Reihen) verwendet werden.

Für alle ganzzahligen nichtpositiven Werte vom Index kann der Polylogarithmus als Quotient von Polynomen geschrieben werden. In diesen Fällen ist er also eine rationale Funktion.

Funktionswerte mit positivem Index Bearbeiten

Es gilt

und

Der Buchstabe stellt dabei die Riemannsche Zetafunktion und der Buchstabe die Dedekindsche Etafunktion dar.

Für größeres sind keine weiteren derartigen Formeln bekannt.

Die zwei bekanntesten Werte des Dilogarithmus und somit des Polylogarithmus mit Indexzahl Zwei sind die folgenden Werte:

Diese beiden Werte gehen direkt aus der folgenden Integralidentität für den Dilogarithmus hervor:

Durch das Einsetzen der Werte sowie erscheinen direkt die soeben genannten Funktionswerte.

Und die nun gezeigte Formel geht wiederum aus dieser Areatangens-Hyperbolicus-Cardinalis-Formel durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich hervor:

Für die drei kleinsten positiven Werte vom Index sind im Folgenden die Funktionswerte an der Stelle des inneren Klammerwertes angegeben:

Die folgende Bildertafel zeigt die komplexen Ebenendiagramme für die Polylogarithmen.

Die erste Zeile zeigt die Diagramme für die Polylogarithmen von negativem Index und Nullindex und die zweite Zeile diejenigen von positivem Index:

Verschiedene Polylogarithmusfunktionen in der komplexen Ebene

Ableitung Bearbeiten

Die Ableitung der Polylogarithmen sind wieder Polylogarithmen:

Integraldarstellung Bearbeiten

Der Polylogarithmus lässt sich für alle komplexen durch

Auf der Abel-Plana-Summenformel basiert diese für den gesamten komplexen Raum gültige Gleichung.

mit Hilfe des Integralausdrucks für die Lerchsche Zeta-Funktion darstellen. Dabei ist die unvollständige Gammafunktion der unteren Grenze.

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Mehrdimensionale Polylogarithmen Bearbeiten

Die mehrdimensionalen Polylogarithmen sind folgendermaßen definiert:

Lerchsche Zeta-Funktion Bearbeiten

Der Polylogarithmus ist ein Spezialfall der transzendenten Lerchschen Zeta-Funktion:

Nielsens verallgemeinerte Polylogarithmen Bearbeiten

Nielsen fand folgende Verallgemeinerung für den Polylogarithmus:

Es gilt:

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Eric W. Weisstein: Dirichlet Eta Function. In: MathWorld (englisch).
  2. Eric W. Weisstein: Multidimensional Polylogarithms. In: MathWorld (englisch).
  3. Eric W. Weisstein: Nielsen Generalized Polylogarithm. In: MathWorld (englisch).
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Veröffentlichungsdatum:
Der Polylogarithmus ist eine spezielle Funktion die durch die Reihe Li s z k 1 z k k s displaystyle operatorname Li s z sum k 1 infty frac z k k s definiert ist Fur s 1 displaystyle s 1 geht der Polylogarithmus in den gewohnlichen Logarithmus uber Li 1 z ln 1 z displaystyle operatorname Li 1 z ln 1 z In den Fallen s 2 displaystyle s 2 und s 3 displaystyle s 3 spricht man entsprechend von Dilogarithmus bzw Trilogarithmus Die Definition gilt fur komplexe s displaystyle s und z displaystyle z mit z lt 1 displaystyle z lt 1 Durch analytische Fortsetzung lasst sich diese Definition auf weitere z displaystyle z ausdehnen In den wichtigsten Anwendungsfallen ist s n displaystyle s n eine naturliche Zahl Fur diese Falle kann man den Polylogarithmus rekursiv durch Li 0 z z 1 z displaystyle operatorname Li 0 z frac z 1 z Li n z 0 z Li n 1 t t d t fur n 1 2 3 displaystyle operatorname Li n z int 0 z frac operatorname Li n 1 t t text d t quad mbox fur quad n 1 2 3 dotsc definieren wonach der Dilogarithmus ein Integral des Logarithmus ist der Trilogarithmus ein Integral des Dilogarithmus und so fort Fur negative ganzzahlige Werte von s displaystyle s lasst sich der Polylogarithmus durch rationale Funktionen ausdrucken Der Polylogarithmus taucht beispielsweise im Zusammenhang mit der Fermi Dirac Verteilung und der Bose Einstein Verteilung auf Zudem kann mit ihm im hexadezimalen Zahlensystem eine beliebige Stelle von polylogarithmischen Konstanten z B p displaystyle pi einzeln berechnet werden Inhaltsverzeichnis 1 Funktionswerte und Rekursionen 1 1 Funktionswerte mit Index unter Zwei 1 2 Funktionswerte mit positivem Index 2 Ableitung 3 Integraldarstellung 4 Verallgemeinerungen 4 1 Mehrdimensionale Polylogarithmen 4 2 Lerchsche Zeta Funktion 4 3 Nielsens verallgemeinerte Polylogarithmen 5 Siehe auch 6 Literatur 7 Weblinks 8 EinzelnachweiseFunktionswerte und Rekursionen Bearbeiten nbsp Graphen einiger ganzzahliger PolylogarithmenFunktionswerte mit Index unter Zwei Bearbeiten Einige explizite Funktionsterme fur spezielle ganzzahlige Werte von s displaystyle s nbsp Li 1 z ln 1 z displaystyle operatorname Li 1 z ln left 1 z right nbsp Li 0 z z 1 z displaystyle operatorname Li 0 z frac z 1 z nbsp Li 1 z z 1 z 2 displaystyle operatorname Li 1 z frac z 1 z 2 nbsp Li 2 z z 1 z 1 z 3 displaystyle operatorname Li 2 z frac z 1 z 1 z 3 nbsp Li 3 z z 1 4 z z 2 1 z 4 displaystyle operatorname Li 3 z frac z 1 4z z 2 1 z 4 nbsp Li 4 z z 1 z 1 10 z z 2 1 z 5 displaystyle operatorname Li 4 z frac z 1 z 1 10z z 2 1 z 5 nbsp Formal kann man Li n z z d d z n H z displaystyle operatorname Li n z z tfrac text d text d z n H z nbsp mit der fur alle z displaystyle z nbsp divergierenden Reihe H z k z k displaystyle textstyle H z sum k infty infty z k nbsp definieren Obwohl diese Reihe nicht konvergiert kann diese Definition zum Beweis von Funktionalgleichungen im Ring der formal definierten Laurent Reihen verwendet werden Fur alle ganzzahligen nichtpositiven Werte vom Index n displaystyle n nbsp kann der Polylogarithmus als Quotient von Polynomen geschrieben werden In diesen Fallen ist er also eine rationale Funktion Funktionswerte mit positivem Index Bearbeiten Es gilt Li s 1 z s displaystyle operatorname Li s 1 zeta s nbsp und Li s 1 h s displaystyle operatorname Li s 1 eta s nbsp Der Buchstabe z displaystyle zeta nbsp stellt dabei die Riemannsche Zetafunktion und der Buchstabe h displaystyle eta nbsp die Dedekindsche Etafunktion 1 dar Fur grosseres s displaystyle s nbsp sind keine weiteren derartigen Formeln bekannt Die zwei bekanntesten Werte des Dilogarithmus und somit des Polylogarithmus mit Indexzahl Zwei sind die folgenden Werte Li 2 1 1 6 p 2 displaystyle operatorname Li 2 1 tfrac 1 6 pi 2 nbsp Li 2 1 1 12 p 2 displaystyle operatorname Li 2 1 tfrac 1 12 pi 2 nbsp Diese beiden Werte gehen direkt aus der folgenden Integralidentitat fur den Dilogarithmus hervor Li 2 x 1 4 Li 2 x 2 1 2 Li 2 x 1 2 Li 2 x 0 1 arcsin x y 1 y 2 d y displaystyle operatorname Li 2 x tfrac 1 4 operatorname Li 2 x 2 tfrac 1 2 operatorname Li 2 x tfrac 1 2 operatorname Li 2 x int 0 1 frac operatorname arcsin xy sqrt 1 y 2 mathrm d y nbsp Durch das Einsetzen der Werte x 1 displaystyle x 1 nbsp sowie x 1 displaystyle x 1 nbsp erscheinen direkt die soeben genannten Funktionswerte Und die nun gezeigte Formel geht wiederum aus dieser Areatangens Hyperbolicus Cardinalis Formel durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezuglich x displaystyle x nbsp hervor 1 x artanh x 0 1 y 1 x 2 y 2 1 y 2 d y displaystyle frac 1 x operatorname artanh x int 0 1 frac y sqrt 1 x 2 y 2 1 y 2 mathrm d y nbsp Fur die drei kleinsten positiven Werte vom Index s displaystyle s nbsp sind im Folgenden die Funktionswerte an der Stelle des inneren Klammerwertes 1 2 displaystyle 1 2 nbsp angegeben Li 1 1 2 ln 2 displaystyle operatorname Li 1 left tfrac 1 2 right ln 2 nbsp Li 2 1 2 1 12 p 2 6 ln 2 2 displaystyle operatorname Li 2 left tfrac 1 2 right tfrac 1 12 left pi 2 6 ln 2 2 right nbsp Li 3 1 2 1 24 4 ln 3 2 2 p 2 ln 2 21 z 3 displaystyle operatorname Li 3 left tfrac 1 2 right tfrac 1 24 left 4 ln 3 2 2 pi 2 ln 2 21 zeta 3 right nbsp Die folgende Bildertafel zeigt die komplexen Ebenendiagramme fur die Polylogarithmen Die erste Zeile zeigt die Diagramme fur die Polylogarithmen von negativem Index und Nullindex und die zweite Zeile diejenigen von positivem Index Verschiedene Polylogarithmusfunktionen in der komplexen Ebene nbsp nbsp nbsp nbsp Li 3 z displaystyle operatorname Li 3 z nbsp Li 2 z displaystyle operatorname Li 2 z nbsp Li 1 z displaystyle operatorname Li 1 z nbsp Li 0 z displaystyle operatorname Li 0 z nbsp nbsp nbsp nbsp Li 1 z displaystyle operatorname Li 1 z nbsp Li 2 z displaystyle operatorname Li 2 z nbsp Li 3 z displaystyle operatorname Li 3 z nbsp Ableitung BearbeitenDie Ableitung der Polylogarithmen sind wieder Polylogarithmen d d x Li n x 1 x Li n 1 x displaystyle frac text d text d x operatorname Li n x frac 1 x operatorname Li n 1 x nbsp Integraldarstellung BearbeitenDer Polylogarithmus lasst sich fur alle komplexen z s displaystyle z s nbsp durch Li s z z 2 ln s 1 1 z G 1 s ln z 2 z 0 sin s arctan t t ln z 1 t 2 s 2 e 2 p t 1 d t displaystyle operatorname Li s z frac z 2 ln s 1 frac 1 z Gamma 1 s ln z 2z int 0 infty frac sin s arctan t t ln z 1 t 2 s 2 mathrm e 2 pi t 1 text d t nbsp Auf der Abel Plana Summenformel basiert diese fur den gesamten komplexen Raum gultige Gleichung mit Hilfe des Integralausdrucks fur die Lerchsche Zeta Funktion darstellen Dabei ist G s z z t s 1 e t d t displaystyle textstyle Gamma s z int z infty t s 1 mathrm e t text d t nbsp die unvollstandige Gammafunktion der unteren Grenze Verallgemeinerungen BearbeitenMehrdimensionale Polylogarithmen Bearbeiten Die mehrdimensionalen Polylogarithmen sind folgendermassen definiert 2 L a 1 a m z n 1 gt gt n m gt 0 z n 1 n 1 a 1 n m a m displaystyle operatorname L a 1 dotsc a m z sum n 1 gt dotsb gt n m gt 0 frac z n 1 n 1 a 1 dotsb n m a m nbsp Lerchsche Zeta Funktion Bearbeiten Der Polylogarithmus ist ein Spezialfall der transzendenten Lerchschen Zeta Funktion Li s z z F z s 1 displaystyle operatorname Li s z z cdot Phi z s 1 nbsp Nielsens verallgemeinerte Polylogarithmen Bearbeiten Nielsen fand folgende Verallgemeinerung fur den Polylogarithmus 3 S n p z 1 n p 1 n 1 p 0 1 ln t n 1 ln 1 z t p t d t displaystyle operatorname S n p z frac 1 n p 1 n 1 p int limits 0 1 frac left ln t right n 1 left ln 1 zt right p t text d t nbsp Es gilt S n 1 1 z Li n z displaystyle operatorname S n 1 1 z operatorname Li n z nbsp Siehe auch BearbeitenFermi Dirac Integral Legendresche Chi Funktion Debyesche FunktionenLiteratur BearbeitenAlexander Goncharov Polylogarithms in arithmetic and geometry PDF 228 kB In Proceedings of the International Congress of Mathematicians Zurich 1994 Birkhauser Basel 1995 Vol 1 2 S 374 387 Milton Abramowitz Irene Stegun Handbook of Mathematical Functions Dover Publications New York 1964 ISBN 978 0 486 61272 0 Abs 27 7 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Dilogarithm Trilogarithm und Polylogarithm In MathWorld englisch David H Bailey David J Broadhurst A seventeenth order polylogarithm ladder arxiv math CA 9906134Einzelnachweise Bearbeiten Eric W Weisstein Dirichlet Eta Function In MathWorld englisch Eric W Weisstein Multidimensional Polylogarithms In MathWorld englisch Eric W Weisstein Nielsen Generalized Polylogarithm In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Polylogarithmus amp oldid 231591541