In der statistischen Physik wird das Fermi Dirac Integral nach Enrico Fermi und Paul Dirac mit Index j displaystyle j definiert als F j x 1 G j 1 0 t j exp t x 1 d t displaystyle F j x frac 1 Gamma j 1 int 0 infty frac t j exp t x 1 mathrm d t wobei G displaystyle Gamma cdot die Gammafunktion ist Wird die untere Grenze des Integrals als Argument der Funktion angegeben F j x b 1 G j 1 b t j exp t x 1 d t displaystyle F j x b frac 1 Gamma j 1 int b infty frac t j exp t x 1 mathrm d t dann spricht man vom unvollstandigen Fermi Dirac Integral Inhaltsverzeichnis 1 Anwendung fur F1 2 2 Naherung fur F1 2 3 Darstellung mit Polylogarithmen 4 Weblinks 5 LiteraturAnwendung fur F1 2 BearbeitenDie Funktion tritt unter anderem auf in der Festkorperphysik im Zusammenhang mit der Aufenthaltsverteilung von Elektronen im Kristallgitter Dort muss oft das Integral F 1 2 x displaystyle F 1 2 x nbsp berechnet werden siehe Zustandsdichte Substituiere beim zweiten Gleichheitszeichen t E E c k T displaystyle t tfrac E E c kT nbsp sowie x m E c k T displaystyle x tfrac mu E c kT nbsp sodass d E k T d t displaystyle mathrm d E kT mathrm d t nbsp n N E c E E c exp E m k T 1 d E N k T 3 2 p 2 2 p 0 t exp t x 1 d t N k T 3 2 p 2 F 1 2 x displaystyle n N int E c infty frac sqrt E E c exp left frac E mu kT right 1 mathrm d E N left kT right frac 3 2 frac sqrt pi 2 frac 2 sqrt pi int 0 infty frac sqrt t exp left t x right 1 mathrm d t N left kT right frac 3 2 frac sqrt pi 2 F 1 2 x nbsp Naherung fur F1 2 BearbeitenDas Integral F 1 2 x displaystyle F 1 2 x nbsp lasst sich fur verschiedene Wertebereiche von x displaystyle x nbsp naherungsweise losen F 1 2 x 1 e x 0 27 wenn lt x lt 1 3 4 3 p x 2 p 2 6 3 4 wenn 1 3 x lt displaystyle tilde F 1 2 x begin cases frac 1 e x 0 27 amp text wenn infty lt x lt 1 3 frac 4 3 sqrt pi left x 2 frac pi 2 6 right 3 4 amp text wenn 1 3 leq x lt infty end cases nbsp Der relative Fehler dieser Naherungslosung F 1 2 x F 1 2 x F 1 2 x displaystyle left tilde F 1 2 x F 1 2 x right F 1 2 x nbsp betragt maximal 3 maximale Abweichung bei x 0 displaystyle x 0 nbsp und bei x 1 3 displaystyle x 1 3 nbsp Fur grosse Entfernung vom Ursprung lasst sich F 1 2 x displaystyle F 1 2 x nbsp durch zwei Funktionen annahern F 1 2 x e x displaystyle F 1 2 x approx e x nbsp fur x 1 displaystyle x gg 1 nbsp F 1 2 x 4 3 p x 3 2 displaystyle F 1 2 x approx frac 4 3 sqrt pi x 3 2 nbsp fur x 1 displaystyle x gg 1 nbsp Darstellung mit Polylogarithmen BearbeitenMittels des Polylogarithmus kann das Fermi Dirac Integral dargestellt werden als F j x L i j 1 e x displaystyle mathrm F j x mathrm Li j 1 e x nbsp Wegen d d x L i n x 1 x L i n 1 x displaystyle frac mathrm d mathrm d x mathrm Li n x frac 1 x mathrm Li n 1 x nbsp folgt daraus d d x F j x F j 1 x displaystyle frac mathrm d mathrm d x mathrm F j x mathrm F j 1 x nbsp Weblinks BearbeitenGNU Scientific Library Reference ManualLiteratur BearbeitenJ S Blakemore Approximations for Fermi Dirac Integrals Solid State Electronics 25 11 1067 1076 1982 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Fermi Dirac Integral amp oldid 224804546
