www.wikidata.de-de.nina.az

Zustandsdichte Die D E displaystyle D E bzw D ω displaystyle D omega engl density of states abgekürzt DOS ist eine physi

Zustandsdichte

Die Zustandsdichte bzw. (engl. density of states, abgekürzt DOS) ist eine physikalische Größe, die angibt, wie viele Zustände pro Energieintervall bzw. pro Frequenzintervall in einem physikalischen System existieren.

Im Allgemeinen wird die Zustandsdichte für Vielteilchensysteme im Rahmen eines Modells unabhängiger Teilchen betrachtet. Dann beziehen sich die Variablen bzw. auf die Energie der 1-Teilchenzustände. Häufig wird die Zustandsdichte dann auch in Abhängigkeit vom Impuls bzw. Wellenvektor der 1-Teilchenzustände betrachtet und gibt deren Anzahl pro Volumenintervall des Impulsraums () bzw. des reziproken Raums () an. Die Zustandsdichte kann sich auf verschiedene Teilchensorten beziehen, z. B. auf Photonen, Phononen, Elektronen, Magnonen, Quasiteilchen, und wird pro Einheit des räumlichen Volumens angegeben. Für freie Teilchen ohne Spin lässt sich die Zustandsdichte daraus berechnen, dass im Phasenraum jeder quantenmechanische Zustand das Volumen einnimmt. Die Zustandsdichte (pro Volumen) ist dann konstant

Im Falle von Wechselwirkungen der Teilchen, sei es untereinander oder mit vorgegebenen Potentialen, kann die Zustandsdichte stark davon abweichen (siehe z. B. Bändermodell).

Definition Bearbeiten

Allgemein ist die – auf das Volumen bezogene – Zustandsdichte für eine abzählbare Anzahl an Energieniveaus definiert durch:

mit der Delta-Distribution .

Daraus erhält man durch Erweitern mit (der kleinsten erlaubten Änderung von für ein Teilchen in einem -dimensionalen Kasten der Länge ) beim Übergang zu einem Riemann-Integral (Limes ) die auf das Volumen bezogene Zustandsdichte für kontinuierliche Energieniveaus:

mit

  • der räumlichen Dimension des betrachteten Systems
  • dem Betrag des Wellenvektors.

Äquivalent kann die Zustandsdichte auch als Ableitung der mikrokanonischen Zustandssumme nach der Energie aufgefasst werden:

Die Zahl der Zustände mit Energie (Entartungsgrad) ist gegeben durch:

Anschauung Bearbeiten

Anschaulich zählt man die Mikrozustände für eine vorgegebene Energie : betrachtet man ein System mit Mikrozuständen , so wird die Zustandsdichte beschrieben durch

da das Integral über die Zustandsdichte gerade die Gesamtzahl der Mikrozustände liefert:

und außerdem liefert folgendes Integral die Zahl der Mikrozustände bei Energie :

In obiger Formel ist zumindest für die Anschauung die Eigenschaft der Deltadistribution wichtig, die jedoch nur für endlich viele und einfache Nullstellen von gilt.

n-dimensionales Elektronengas Bearbeiten

Die folgenden Erläuterungen beziehen sich vorrangig auf Anwendungen in der Festkörperphysik.

Zustandsdichte über der Energie abhängig von der Dimension (3D = gepunktet, 2D = rot, 1D = grün, 0D = blau). Die Sprünge in den Zustandsdichten für die Dimensionen D=0 bis D=2 sind darin begründet, dass in diesen Fällen die Zustandsdichten um verschiedene Energiezustände gezeichnet sind. Um diese Energiezustände herum hat die Zustandsdichte dann die berechnete und in der Tabelle dargestellte Form.

In einem -dimensionalen Elektronengas können sich Ladungsträger in den Dimensionen frei bewegen. Der entsprechende Anteil der Energie ist kontinuierlich und kann unter Nutzung der parabolischen Näherung angegeben werden:

Dabei ist

Im Gegensatz dazu ist die Energiekomponente der anderen Dimensionen diskretisiert in den Werten . Die (auf das Volumen bezogene) Zustandsdichte kann allgemein beschrieben werden:

Darin entspricht

  • der Vorfaktor 2 den zwei möglichen Spinzuständen (oft wird er aber in berücksichtigt, hier wurde dies nicht so gemacht)
  • dem Volumen des Festkörpers
  • der Anzahl aller Zustände mit Energie kleiner gleich (vgl.: Mikrokanonische Zustandssumme ):
    • beschreibt im -dimensionalen -Raum das Gesamtvolumen aller Zustände, die bei der verbleibenden Energie zugänglich sind
    • ist das Volumen eines solchen Zustandes.
    • ist die Heaviside-Funktion.
Werte für verschieden-dimensionale Elektronengase
Gesamtvolumen aller Zustände
 Volumen eines Zustandes
 (auf das Volumen bezogene) Zustandsdichte
im k-Raum bei der verbleibenden Energie
3D – Bulk
2D – Quantentopf/Quantenfilm
1D – Quantendraht
0D – Quantenpunkt

Im Halbleiter Bearbeiten

Zustandsdichten (farbig) in einem undotierten Halbleiter mit direktem Bandübergang. Zusätzlich ist die Fermi-Verteilung bei Raumtemperatur nach links aufgetragen, als Energieniveaus das Fermi-Niveau EF und die Leitungsbandenergie EC.

In Halbleitermaterialien wird wegen der periodisch auftretenden Atomkerne ein ähnlicher Ansatz für das Leitungs- und Valenzband gemacht (siehe Bändermodell). Halbleiter zeichnet aus, dass ihre Dispersionkurven oder auch Bandstruktur ein Maximum (Valenzband) und Minimum (Leitungsband) besitzt, welche nicht überlappen, sondern durch die Bandlücke getrennt sind. Dabei wird bei einer Versetzung der Extrema im -Raum (Impulsraum) von einem indirekten, bei gleichem Impulsunterschied von einem direkten Halbleiter gesprochen. Das funktionale Verhalten um solche Extremwerte lässt sich parabolisch (quadratisch) nähern. Die Krümmung dieser zur Näherung verwendeten Form muss allerdings nicht mit der Krümmung der Dispersionskurve der oben besprochenen freien Elektronen übereinstimmen. Stattdessen weist man den Ladungsträgern, also Elektronen und Löchern, in den beiden Bändern bei diesen Extrema effektive Massen zu, so dass nun die funktionale Beschreibung identisch zu der der echten freien Elektronen ist.

Zustandsdichten (farbig) in einem n-dotierten Halbleiter mit direktem Bandübergang. Energieniveau der Dotieratome ED.

Die Energie der Leitungsband-Unterkante sei , die der Valenzband-Oberkante , die Differenz ist gleich der Bandlückenenergie . Die Zustandsdichte im Leitungsband ist ( ist die Zustandsdichtemasse des Elektrons im Leitungsband, also seine gemittelte effektive Masse):

Die Zustandsdichte im Valenzband ist ( ist die Zustandsdichtemasse des Lochs im Valenzband):

Bei dotierten Halbleitern treten zu diesen möglichen Zuständen noch Zustände in der Bandlücke auf. Diese sind bei -Dotierung nahe am Leitungsband und bei -Dotierung nahe am Valenzband. Durch Zuführen von Energie kann die Aktivierungsenergie überwunden werden und es bilden sich vermehrt besetzte Zustände in Leitungs- bzw. Valenzband. Darüber hinaus ändert sich durch Dotierung die Lage des Fermi-Niveaus: es wird bei -Dotierung angehoben, bzw. senkt sich bei -Dotierung zum Valenzband hin ab. Bei einer -Dotierung sind damit bereits bei Raumtemperatur wegen der thermischen Energie weit mehr Zustände im Leitungsband besetzt als bei einem undotierten Material. Die zusätzlichen freien Ladungsträger können damit den Stromtransport erhöhen.

Die thermische Besetzung der Zustände wird durch die Fermi-Verteilung bestimmt. Die Wahrscheinlichkeitsdichte, dass ein Zustand mit der Energie besetzt ist, schreibt sich

Die Wahrscheinlichkeitsdichte, dass ein Zustand mit der Energie nicht besetzt oder äquivalent ausgedrückt mit einem Loch besetzt ist, schreibt sich

Damit lassen sich die Ladungsträgerdichten, also Elektronendichte im Leitungsband und Löcherdichte im Valenzband, angeben:

sowie

Eigentlich sollten die Integrationsgrenzen nicht bis unendlich ausgedehnt sein, sondern nur bis zum Ende des jeweiligen Bandes. Allerdings ist dort die Fermi-Verteilung schon näherungsweise Null – das chemische Potential liegt nämlich im Bereich der Bandlücke – sodass der Fehler vernachlässigbar ist. Zur Berechnung dieser Integrale siehe Fermi-Dirac-Integral.

Literatur Bearbeiten

  • Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik Bd. 3 – Atome, Moleküle und Festkörper. 3. Auflage. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21473-9.

Weblinks Bearbeiten

wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Die Zustandsdichte D E displaystyle D E bzw D w displaystyle D omega engl density of states abgekurzt DOS ist eine physikalische Grosse die angibt wie viele Zustande pro Energieintervall d E displaystyle mathrm d E bzw pro Frequenzintervall d w displaystyle mathrm d omega in einem physikalischen System existieren Im Allgemeinen wird die Zustandsdichte fur Vielteilchensysteme im Rahmen eines Modells unabhangiger Teilchen betrachtet Dann beziehen sich die Variablen w displaystyle omega bzw E ℏ w displaystyle E hbar omega auf die Energie der 1 Teilchenzustande Haufig wird die Zustandsdichte dann auch in Abhangigkeit vom Impuls p ℏ k displaystyle vec p hbar vec k bzw Wellenvektor k displaystyle vec k der 1 Teilchenzustande betrachtet und gibt deren Anzahl pro Volumenintervall des Impulsraums d 3 p displaystyle mathrm d 3 vec p bzw des reziproken Raums d 3 k displaystyle mathrm d 3 vec k an Die Zustandsdichte kann sich auf verschiedene Teilchensorten beziehen z B auf Photonen Phononen Elektronen Magnonen Quasiteilchen und wird pro Einheit des raumlichen Volumens angegeben Fur freie Teilchen ohne Spin lasst sich die Zustandsdichte daraus berechnen dass im Phasenraum jeder quantenmechanische Zustand das Volumen 2 p ℏ 3 displaystyle 2 pi hbar 3 einnimmt Die Zustandsdichte pro Volumen D k displaystyle D vec k ist dann konstant D k d 3 k 1 2 p 3 d 3 k displaystyle D vec k mathrm d 3 vec k frac 1 2 pi 3 mathrm d 3 vec k Im Falle von Wechselwirkungen der Teilchen sei es untereinander oder mit vorgegebenen Potentialen kann die Zustandsdichte stark davon abweichen siehe z B Bandermodell Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Anschauung 2 n dimensionales Elektronengas 3 Im Halbleiter 4 Literatur 5 WeblinksDefinition BearbeitenAllgemein ist die auf das Volumen V displaystyle V nbsp bezogene Zustandsdichte fur eine abzahlbare Anzahl N displaystyle N nbsp an Energieniveaus definiert durch D E 1 V i 1 N d E E k i displaystyle D E frac 1 V cdot sum i 1 N delta E E vec k i nbsp mit der Delta Distribution d displaystyle delta nbsp Daraus erhalt man durch Erweitern mit D k d 2 p L d displaystyle Delta k d left frac 2 pi L right d nbsp der kleinsten erlaubten Anderung von k displaystyle k nbsp fur ein Teilchen in einem d displaystyle d nbsp dimensionalen Kasten der Lange L displaystyle L nbsp beim Ubergang zu einem Riemann Integral Limes L displaystyle L to infty nbsp die auf das Volumen bezogene Zustandsdichte fur kontinuierliche Energieniveaus D E R d d d k 2 p d d E E k displaystyle D E int mathbb R d frac mathrm d d k 2 pi d cdot delta E E vec k qquad nbsp mit d displaystyle d nbsp der raumlichen Dimension des betrachteten Systems dem Betrag k displaystyle k nbsp des Wellenvektors Aquivalent kann die Zustandsdichte auch als Ableitung der mikrokanonischen Zustandssumme Z m E N E displaystyle Z m E N E nbsp nach der Energie aufgefasst werden D E 1 V d N E d E displaystyle D E frac 1 V cdot frac mathrm d N E mathrm d E nbsp Die Zahl der Zustande mit Energie E displaystyle E nbsp Entartungsgrad ist gegeben durch g E lim D E 0 E E D E D E d E lim D E 0 D E D E displaystyle g E lim Delta E to 0 int E E Delta E D E mathrm d E lim Delta E to 0 D E Delta E nbsp wobei das letzte Gleichheitszeichen nur dann gilt wenn der Mittelwertsatz der Integralrechnung fur das Integral anwendbar ist Anschauung Bearbeiten Anschaulich zahlt man die Mikrozustande fur eine vorgegebene Energie E displaystyle E nbsp betrachtet man ein System mit N displaystyle N nbsp Mikrozustanden i displaystyle i nbsp so wird die Zustandsdichte beschrieben durch D E i 1 N d E E i displaystyle D E sum i 1 N delta E E i nbsp da das Integral uber die Zustandsdichte gerade die Gesamtzahl N displaystyle N nbsp der Mikrozustande liefert R i 1 N d E E i d E i 1 N N displaystyle int mathbb R sum i 1 N delta E E i mathrm d E sum i 1 N N nbsp und ausserdem liefert folgendes Integral die Zahl n E displaystyle n tilde E nbsp der Mikrozustande bei Energie E displaystyle tilde E nbsp lim D E 0 E D E E D E i 1 N d E E i D E d E lim D E 0 j k E k E D E E D E E D E E D E d E E j d E 1 n E displaystyle lim Delta E to 0 int tilde E Delta E tilde E Delta E underbrace sum i 1 N delta E E i D E mathrm d E lim Delta E to 0 sum j in k E k in tilde E Delta E tilde E Delta E underbrace int tilde E Delta E tilde E Delta E delta E E j dE 1 n tilde E nbsp In obiger Formel displaystyle nbsp ist zumindest fur die Anschauung die Eigenschaft d g x i 1 n d x x i g x i displaystyle delta g x sum i 1 n frac delta x x i g prime x i nbsp der Deltadistribution wichtig die jedoch nur fur endlich viele und einfache Nullstellen x i displaystyle x i nbsp von g x displaystyle g x nbsp gilt n dimensionales Elektronengas BearbeitenDie folgenden Erlauterungen beziehen sich vorrangig auf Anwendungen in der Festkorperphysik nbsp Zustandsdichte uber der Energie abhangig von der Dimension 3D gepunktet 2D rot 1D grun 0D blau Die Sprunge in den Zustandsdichten fur die Dimensionen D 0 bis D 2 sind darin begrundet dass in diesen Fallen die Zustandsdichten um verschiedene Energiezustande gezeichnet sind Um diese Energiezustande herum hat die Zustandsdichte dann die berechnete und in der Tabelle dargestellte Form In einem n displaystyle n nbsp dimensionalen Elektronengas konnen sich Ladungstrager in den Dimensionen 1 n displaystyle 1 dotsc n nbsp frei bewegen Der entsprechende Anteil der Energie ist kontinuierlich und kann unter Nutzung der parabolischen Naherung angegeben werden E ℏ 2 k 2 2 m displaystyle E frac hbar 2 k 2 2m nbsp Dabei ist m displaystyle m nbsp die effektive Masse des Ladungstragers im Festkorper genauer ist m displaystyle m nbsp die effektive Zustandsdichtemasse ℏ displaystyle hbar nbsp das durch 2 p displaystyle 2 pi nbsp geteilte Plancksche Wirkungsquantum Im Gegensatz dazu ist die Energiekomponente der anderen Dimensionen diskretisiert in den Werten E l displaystyle E l nbsp Die auf das Volumen V displaystyle V nbsp bezogene Zustandsdichte kann allgemein beschrieben werden D E 2 d N E d E 1 V displaystyle D E 2 cdot frac mathrm d N E mathrm d E frac 1 V nbsp Darin entspricht der Vorfaktor 2 den zwei moglichen Spinzustanden oft wird er aber in N E displaystyle N E nbsp berucksichtigt hier wurde dies nicht so gemacht V L x L y L z displaystyle V L x cdot L y cdot L z nbsp dem Volumen des Festkorpers N E displaystyle N E nbsp der Anzahl aller Zustande mit Energie kleiner gleich E displaystyle E nbsp vgl Mikrokanonische Zustandssumme Z m displaystyle Z m nbsp N E V k W k wenn n 3 l 8 E E l V k W k wenn n 1 2 l 8 E E l wenn n 0 displaystyle N E begin cases frac V k Omega k amp text wenn quad n 3 sum l Theta E E l frac V k Omega k amp text wenn quad n 1 2 sum l Theta E E l amp text wenn quad n 0 end cases nbsp V k displaystyle V k nbsp beschreibt im n displaystyle n nbsp dimensionalen k displaystyle k nbsp Raum das Gesamtvolumen aller Zustande die bei der verbleibenden Energie E E l displaystyle E E l nbsp zuganglich sind W k displaystyle Omega k nbsp ist das Volumen eines solchen Zustandes 8 displaystyle Theta nbsp ist die Heaviside Funktion Werte fur verschieden dimensionale Elektronengase Gesamtvolumen aller ZustandeV k displaystyle V k nbsp Volumen eines ZustandesW k displaystyle Omega k nbsp auf das Volumen bezogene ZustandsdichteD E displaystyle D E nbsp im k Raum bei der verbleibenden Energie E E l displaystyle E E l nbsp 3D Bulk 4 3 p k 3 displaystyle frac 4 3 pi k 3 nbsp 2 p 3 L x L y L z displaystyle frac 2 pi 3 L x L y L z nbsp 2 m 3 2 2 p 2 ℏ 3 E displaystyle frac 2m frac 3 2 2 pi 2 hbar 3 sqrt E nbsp 2D Quantentopf Quantenfilm p k 2 displaystyle pi k 2 nbsp 2 p 2 L x L y displaystyle frac 2 pi 2 L x L y nbsp m p ℏ 2 L z l 8 E E l displaystyle frac m pi hbar 2 L z sum l Theta E E l nbsp 1D Quantendraht 2 k displaystyle 2k nbsp 2 p L x displaystyle frac 2 pi L x nbsp 2 m p ℏ L y L z l 1 E E l displaystyle frac sqrt 2m pi hbar L y L z sum l frac 1 sqrt E E l nbsp 0D Quantenpunkt 2 L x L y L z l d E E l displaystyle frac 2 L x L y L z sum l delta E E l nbsp Im Halbleiter Bearbeiten nbsp Zustandsdichten farbig in einem undotierten Halbleiter mit direktem Bandubergang Zusatzlich ist die Fermi Verteilung bei Raumtemperatur nach links aufgetragen als Energieniveaus das Fermi Niveau EF und die Leitungsbandenergie EC In Halbleitermaterialien wird wegen der periodisch auftretenden Atomkerne ein ahnlicher Ansatz fur das Leitungs und Valenzband gemacht siehe Bandermodell Halbleiter zeichnet aus dass ihre Dispersionkurven oder auch Bandstruktur ein Maximum Valenzband und Minimum Leitungsband besitzt welche nicht uberlappen sondern durch die Bandlucke getrennt sind Dabei wird bei einer Versetzung der Extrema im k displaystyle k nbsp Raum Impulsraum von einem indirekten bei gleichem Impulsunterschied von einem direkten Halbleiter gesprochen Das funktionale Verhalten um solche Extremwerte lasst sich parabolisch quadratisch nahern Die Krummung dieser zur Naherung verwendeten Form muss allerdings nicht mit der Krummung der Dispersionskurve der oben besprochenen freien Elektronen ubereinstimmen Stattdessen weist man den Ladungstragern also Elektronen und Lochern in den beiden Bandern bei diesen Extrema effektive Massen m displaystyle m nbsp zu so dass nun die funktionale Beschreibung identisch zu der der echten freien Elektronen ist nbsp Zustandsdichten farbig in einem n dotierten Halbleiter mit direktem Bandubergang Energieniveau der Dotieratome ED Die Energie der Leitungsband Unterkante sei E C displaystyle E mathrm C nbsp die der Valenzband Oberkante E V displaystyle E mathrm V nbsp die Differenz ist gleich der Bandluckenenergie E G E C E V displaystyle E mathrm G E mathrm C E mathrm V nbsp Die Zustandsdichte im Leitungsband ist m e d displaystyle m mathrm e d nbsp ist die Zustandsdichtemasse des Elektrons im Leitungsband also seine gemittelte effektive Masse D C E 2 m e d 3 2 2 p 2 ℏ 3 E E C displaystyle D mathrm C E frac 2m mathrm e d frac 3 2 2 pi 2 hbar 3 sqrt E E mathrm C nbsp Die Zustandsdichte im Valenzband ist m p d displaystyle m mathrm p d nbsp ist die Zustandsdichtemasse des Lochs im Valenzband D V E 2 m p d 3 2 2 p 2 ℏ 3 E V E displaystyle D mathrm V E frac 2m mathrm p d frac 3 2 2 pi 2 hbar 3 sqrt E mathrm V E nbsp Bei dotierten Halbleitern treten zu diesen moglichen Zustanden noch Zustande in der Bandlucke auf Diese sind bei n displaystyle n nbsp Dotierung nahe am Leitungsband und bei p displaystyle p nbsp Dotierung nahe am Valenzband Durch Zufuhren von Energie kann die Aktivierungsenergie uberwunden werden und es bilden sich vermehrt besetzte Zustande in Leitungs bzw Valenzband Daruber hinaus andert sich durch Dotierung die Lage des Fermi Niveaus es wird bei n displaystyle n nbsp Dotierung angehoben bzw senkt sich bei p displaystyle p nbsp Dotierung zum Valenzband hin ab Bei einer n displaystyle n nbsp Dotierung sind damit bereits bei Raumtemperatur wegen der thermischen Energie weit mehr Zustande im Leitungsband besetzt als bei einem undotierten Material Die zusatzlichen freien Ladungstrager konnen damit den Stromtransport erhohen Die thermische Besetzung der Zustande wird durch die Fermi Verteilung bestimmt Die Wahrscheinlichkeitsdichte dass ein Zustand mit der Energie E E d E displaystyle E E mathrm d E nbsp besetzt ist schreibt sich W e E 1 exp E m k B T 1 displaystyle W mathrm e E frac 1 exp left frac E mu k mathrm B T right 1 nbsp Die Wahrscheinlichkeitsdichte dass ein Zustand mit der Energie E E d E displaystyle E E mathrm d E nbsp nicht besetzt oder aquivalent ausgedruckt mit einem Loch besetzt ist schreibt sich W h E 1 W e E 1 exp E m k B T 1 displaystyle W mathrm h E 1 W mathrm e E frac 1 exp left frac E mu k mathrm B T right 1 nbsp Damit lassen sich die Ladungstragerdichten also Elektronendichte im Leitungsband n displaystyle n nbsp und Locherdichte p displaystyle p nbsp im Valenzband angeben n E C W e E D C E d E displaystyle n int E mathrm C infty W mathrm e E D mathrm C E mathrm d E nbsp sowie p E V W h E D V E d E displaystyle p int infty E mathrm V W mathrm h E D mathrm V E mathrm d E nbsp Eigentlich sollten die Integrationsgrenzen nicht bis unendlich ausgedehnt sein sondern nur bis zum Ende des jeweiligen Bandes Allerdings ist dort die Fermi Verteilung schon naherungsweise Null das chemische Potential liegt namlich im Bereich der Bandlucke sodass der Fehler vernachlassigbar ist Zur Berechnung dieser Integrale siehe Fermi Dirac Integral Literatur BearbeitenWolfgang Demtroder Experimentalphysik Bd 3 Atome Molekule und Festkorper 3 Auflage Springer Berlin 2005 ISBN 3 540 21473 9 Weblinks BearbeitenSemiconductor Physics Density of States In Britney Spears Guide to Semiconductor Physics Carl Hepburn abgerufen am 7 April 2009 englisch C R Wie Carrier concentration in Si or in any Semiconductor versus the Fermi Energy Level and the Density of States Abgerufen am 7 April 2009 englisch Java Applet zu Zustandsdichte im Halbleiter M Alam Online lecture ECE 606 Lecture 8 Density of States englisch Zustandsdichte des freien Elektronengases Kapitel 2 2 3 In Einfuhrung in die Materialwissenschaft II Uni Kiel Abgerufen am 12 August 2010 Sehr ausfuhrliches und recht verstandliches Skript Herleitung der Zustandsdichte freier Teilchen in 3D Memento vom 19 Oktober 2013 im Internet Archive Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zustandsdichte amp oldid 238169059