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Wellenvektor Der oder auch Wellenzahlvektor k displaystyle vec k ist in der Physik ein Vektor der senkrecht auf der Well

Wellenvektor

Der Wellenvektor oder auch Wellenzahlvektor ist in der Physik ein Vektor, der senkrecht auf der Wellenfront einer Welle steht und dessen Betrag  ist, wobei die Wellenlänge ist. Die Maßeinheit der Komponenten ist 1/m. In den meisten Fällen gibt er die Ausbreitungsrichtung der Welle an, jedoch kann die Richtung des Poynting-Vektors für den Energiefluss bei elektromagnetischen Wellen in bestimmten Medien vom Wellenvektor abweichen.

Beschreibung Bearbeiten

Eine ebene Welle, die sich in -Richtung ausbreitet, lässt sich schreiben als:

mit

Mit den Komponenten in -, - und -Richtung

zeigt der Wellenvektor im 3-dimensionalen -Raum, auch reziproker Raum genannt, in eine bestimmte Richtung.

Der Betrag des Wellenvektors ist die Kreiswellenzahl , daher auch die Bezeichnung Wellenzahlvektor:

wobei

Wellenvektor und Quantenzahlen Bearbeiten

Ohne weitere Randbedingungen, etwa im Vakuum, kann der Wellenvektor eines Teilchens kontinuierlich jeden Betrag und jede Ausrichtung annehmen. Unter bestimmten Umständen ist der Wellenvektor jedoch eine quantisierte Größe.

Die Beschränkung von Teilchen auf einen endlichen Raum, beispielsweise in einem Potentialtopf, oder das Gitter eines Festkörpers, führt dazu, dass der stationäre Zustand des Systems nur diskrete Werte annehmen kann. In diesem Fall ist der Wellenvektor quantisiert, auch wenn er streng genommen keine Quantenzahlen darstellt. Der Wellenvektor ist vielmehr eine Funktion von Quantenzahlen, bzw. seine möglichen Werte können durch Quantenzahlen abgezählt werden. Dies ist in Analogie zu den Eigenenergien eines quantenmechanischen Problems mit einem diskreten Spektrum zu sehen: der Index der diskreten Energie ist die Quantenzahl, nicht jedoch die Energie selbst.

Beispiel: Für die Lösungen der Schrödingergleichung eines dreidimensionalen, unendlich hohen Potentialtopfs der Kantenlängen gilt

mit der Amplitude und der Abkürzung

Dabei ist eine nichtnegative ganze Zahl und der Index kann die Werte , , oder annehmen.

Die stationären Zustände des Teilchens, sind also durch die Quantenzahlen , und charakterisiert. Anstatt einen Zustand durch dieses Zahlentripel zu benennen, kann auch der Wellenvektor verwendet werden. Jedoch darf der Wellenvektor oder einer seiner Komponenten nicht als Quantenzahl bezeichnet werden, weil er zum einen dimensionsbehaftet und zum anderen durch reelle Zahlen dargestellt ist.

Bei einem Potentialtopf mit Teilchen ergeben sich Vektoren im reziproken Raum. Wenn es sich um Fermionen handelt, gibt es pro Wellenvektor nur eine begrenzte Anzahl von stationären Zuständen. Deren Anzahl ergibt sich aus dem Betrag des Spins der betrachteten Teilchen. Elektronen sind Teilchen bei denen der Betrag des Spins den Wert hat. Ein solcher Spin kann in Bezug auf eine Quantisierungsachse nur zwei Ausrichtungen annehmen. Daher kann im Potentialtopf jeder Wellenvektor von maximal zwei Elektronen angenommen werden.

Wellenvektor und Impuls Bearbeiten

Bei Photonen (Einstein-Gleichungen) sowie bei Materiewellen (De-Broglie-Relation) ist der vektorielle Impuls proportional zum Wellenvektor, mit dem reduzierten Planckschen Wirkungsquantum als Proportionalitätsfaktor:

Literatur Bearbeiten

  • Charles Kittel: Einführung in die Festkörperphysik. 15. Auflage, Oldenbourg Verlag München, München 2013, ISBN 978-3-486-59755-4.
  • Bahaa E. A. Saleh, Malvin Carl Teich: Grundlagen der Photonik. 1. Auflage, Wiley-VCH Verlag GmbH & Co, Weinheim 2008, ISBN 978-3-527-40677-7.

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Der Wellenvektor oder auch Wellenzahlvektor k displaystyle vec k ist in der Physik ein Vektor der senkrecht auf der Wellenfront einer Welle steht und dessen Betrag 2 p l displaystyle frac 2 pi lambda ist wobei l displaystyle lambda die Wellenlange ist Die Masseinheit der Komponenten ist 1 m In den meisten Fallen gibt er die Ausbreitungsrichtung der Welle an jedoch kann die Richtung des Poynting Vektors fur den Energiefluss bei elektromagnetischen Wellen in bestimmten Medien vom Wellenvektor abweichen Inhaltsverzeichnis 1 Beschreibung 2 Wellenvektor und Quantenzahlen 3 Wellenvektor und Impuls 4 Literatur 5 WeblinksBeschreibung BearbeitenEine ebene Welle die sich in k displaystyle vec k nbsp Richtung ausbreitet lasst sich schreiben als ps r t A e i k r w t displaystyle psi vec r t A cdot e i vec k cdot vec r omega t nbsp mit Amplitude A displaystyle A nbsp eulerscher Zahl e displaystyle e nbsp imaginarer Einheit i displaystyle i nbsp Ortsvektor r displaystyle vec r nbsp Kreisfrequenz w displaystyle omega nbsp Zeit t displaystyle t nbsp Mit den Komponenten in x displaystyle x nbsp y displaystyle y nbsp und z displaystyle z nbsp Richtung k k x k y k z displaystyle vec k k x k y k z nbsp zeigt der Wellenvektor im 3 dimensionalen k displaystyle k nbsp Raum auch reziproker Raum genannt in eine bestimmte Richtung Der Betrag des Wellenvektors ist die Kreiswellenzahl k displaystyle k nbsp daher auch die Bezeichnung Wellenzahlvektor k k w c 2 p l displaystyle k vec k frac omega c frac 2 pi lambda nbsp wobei c displaystyle c nbsp die Phasengeschwindigkeit und l displaystyle lambda nbsp die Wellenlange ist Wellenvektor und Quantenzahlen BearbeitenOhne weitere Randbedingungen etwa im Vakuum kann der Wellenvektor eines Teilchens kontinuierlich jeden Betrag und jede Ausrichtung annehmen Unter bestimmten Umstanden ist der Wellenvektor jedoch eine quantisierte Grosse Die Beschrankung von Teilchen auf einen endlichen Raum beispielsweise in einem Potentialtopf oder das Gitter eines Festkorpers fuhrt dazu dass der stationare Zustand des Systems nur diskrete Werte annehmen kann In diesem Fall ist der Wellenvektor quantisiert auch wenn er streng genommen keine Quantenzahlen darstellt Der Wellenvektor ist vielmehr eine Funktion von Quantenzahlen bzw seine moglichen Werte konnen durch Quantenzahlen abgezahlt werden Dies ist in Analogie zu den Eigenenergien eines quantenmechanischen Problems mit einem diskreten Spektrum E n displaystyle E n nbsp zu sehen der Index n displaystyle n nbsp der diskreten Energie ist die Quantenzahl nicht jedoch die Energie selbst Beispiel Fur die Losungen der Schrodingergleichung eines dreidimensionalen unendlich hohen Potentialtopfs der Kantenlangen a displaystyle a nbsp gilt PS n x n y n z x y z A sin k x x sin k y y sin k z z displaystyle Psi n x n y n z x y z A sin left k x x right sin left k y y right sin left k z z right nbsp mit der Amplitude A displaystyle A nbsp und der Abkurzung k i n i p a displaystyle k i frac n i pi a nbsp Dabei ist n i displaystyle n i nbsp eine nichtnegative ganze Zahl und der Index i displaystyle i nbsp kann die Werte x displaystyle x nbsp y displaystyle y nbsp oder z displaystyle z nbsp annehmen Die stationaren Zustande des Teilchens sind also durch die Quantenzahlen n x displaystyle n x nbsp n y displaystyle n y nbsp und n z displaystyle n z nbsp charakterisiert Anstatt einen Zustand durch dieses Zahlentripel zu benennen kann auch der Wellenvektor k k x k y k z displaystyle vec k k x k y k z nbsp verwendet werden Jedoch darf der Wellenvektor oder einer seiner Komponenten nicht als Quantenzahl bezeichnet werden weil er zum einen dimensionsbehaftet und zum anderen durch reelle Zahlen dargestellt ist Bei einem Potentialtopf mit N displaystyle N nbsp Teilchen ergeben sich N displaystyle N nbsp Vektoren im reziproken Raum Wenn es sich um Fermionen handelt gibt es pro Wellenvektor nur eine begrenzte Anzahl von stationaren Zustanden Deren Anzahl ergibt sich aus dem Betrag des Spins der betrachteten Teilchen Elektronen sind Teilchen bei denen der Betrag des Spins den Wert 1 2 displaystyle 1 2 nbsp hat Ein solcher Spin kann in Bezug auf eine Quantisierungsachse nur zwei Ausrichtungen annehmen Daher kann im Potentialtopf jeder Wellenvektor von maximal zwei Elektronen angenommen werden Wellenvektor und Impuls BearbeitenBei Photonen Einstein Gleichungen sowie bei Materiewellen De Broglie Relation ist der vektorielle Impuls p displaystyle vec p nbsp proportional zum Wellenvektor mit dem reduzierten Planckschen Wirkungsquantum ℏ displaystyle hbar nbsp als Proportionalitatsfaktor p ℏ k displaystyle vec p hbar vec k nbsp Literatur BearbeitenCharles Kittel Einfuhrung in die Festkorperphysik 15 Auflage Oldenbourg Verlag Munchen Munchen 2013 ISBN 978 3 486 59755 4 Bahaa E A Saleh Malvin Carl Teich Grundlagen der Photonik 1 Auflage Wiley VCH Verlag GmbH amp Co Weinheim 2008 ISBN 978 3 527 40677 7 Weblinks BearbeitenHerleitung des Photonen Wellenvektors abgerufen am 28 Dezember 2015 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Wellenvektor amp oldid 237049037