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Phasengeschwindigkeit Die ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit gleicher Phasen einer monochromatischen Welle 1 Der rote P

Phasengeschwindigkeit

Die Phasengeschwindigkeit ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit gleicher Phasen einer monochromatischen Welle.

Der rote Punkt ist immer am Punkt gleicher Phase (Wellenberg) und bewegt sich mit der Phasengeschwindigkeit der blauen, monochromatischen Welle.
Ein Wellenpaket breitet sich in einem nicht-dispersiven Medium aus (z. B. eine elektromagnetische Welle im Vakuum).
Ein Wellenpaket breitet sich in einem dispersiven Medium aus.

In dispersiven Medien breiten sich Wellen unterschiedlicher Frequenz mit unterschiedlichen Phasengeschwindigkeiten aus. Bei der Ausbreitung von Wellenpaketen (also der Summe mehrerer überlagerter monochromatischer Wellen) in dispersiven Medien sind folglich auch die Phasendifferenzen zwischen einzelnen Komponenten nicht konstant, sondern zeitabhängig: Die Form des Wellenpaktes ändert sich (es „zerfließt“).

In der oberen Abbildung bewegt sich der rote Punkt mit der Phasengeschwindigkeit. Die zweite Abbildung zeigt ein Wellenpaket, dessen Gruppengeschwindigkeit gleich der Phasengeschwindigkeiten der einzelnen Komponenten ist. In der dritten Abbildung sind die Phasengeschwindigkeiten der einzelnen Komponenten unterschiedlich.

Die Phasengeschwindigkeit berechnet sich aus der Wellenlänge (die Strecke, die zurückgelegt wird) und der Periodendauer (die Zeit, die dafür benötigt wird) zu

Aufgrund der Definitionen von Frequenz , Kreisfrequenz und Kreiswellenzahl ergibt sich die äquivalente Darstellung

Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist die Obergrenze für die Übertragungsgeschwindigkeit von Energie und Information. Jedoch gibt es zahlreiche Fälle, in denen Phasengeschwindigkeiten oberhalb der Lichtgeschwindigkeit auftreten. Beispiele sind Materiewellen und Wellen in Hohlleitern.

Die grünen Punkte bewegen sich mit Gruppengeschwindigkeit, der rote mit Phasengeschwindigkeit.

Zusammenhang mit Gruppengeschwindigkeit und Dispersion Bearbeiten

Bezeichnung Symbol Beziehungen
Amplitude
Transversalwelle
Longitudinalwelle
Wellenvektor Ausbreitungsrichtung
Kreiswellenzahl
Wellenlänge
Kreisfrequenz Dispersionsrelation
Frequenz
Phasengeschwindigkeit
Gruppengeschwindigkeit
Phasenwinkel

Zur mathematischen Beschreibung einer Welle in einem speziellen Medium benötigt man ihre Wellenform, Amplitude, Frequenz, Phasenwinkel und die zugehörige Wellengleichung – gegebenenfalls mit Randbedingungen. Einer so eindeutig definierten Welle können trotzdem verschiedene Geschwindigkeiten zugeordnet werden, die nicht mit der Phasengeschwindigkeit verwechselt werden sollten.

Die Geschwindigkeit, mit der eine Welle Energie oder Informationen überträgt, ist die Signalgeschwindigkeit. Diese ist für ein verlustfreies Medium gleich der Gruppengeschwindigkeit, also der Geschwindigkeit eines Wellenpaketes. Ein solches Wellenpaket ist aus monochromatischen Wellen mit unterschiedlichen Frequenzen zusammengesetzt. Jede dieser monochromatischen Wellen hat eine eigene Phasengeschwindigkeit:

Der funktionale Zusammenhang zwischen Phasengeschwindigkeit und Frequenz wird als Dispersion bezeichnet.

Für elektromagnetische Wellen ist die Phasengeschwindigkeit und die Gruppengeschwindigkeit im Vakuum gleich der Lichtgeschwindigkeit , d. h., das Vakuum ist nicht dispersiv. In Materie ist die Phasengeschwindigkeit dagegen im Allgemeinen abhängig von der Frequenz. Aufgrund der Beziehung für den Brechungsindex wird hier die Frequenzabhängigkeit des Brechungsindex als Dispersion bezeichnet.

Beispiele Bearbeiten

Körperschall Bearbeiten

Lambmoden für zwei verschiedene Materialien mit Poissonzahl
(z. B. Titan) und (z. B. Stahl)

In Festkörpern können sich Schallwellen als Körperschall ausbreiten. Die Phasengeschwindigkeiten sind dabei je nach Wellentyp verschieden. Beispielsweise beträgt die Phasengeschwindigkeit der Longitudinalwelle bei Raumtemperatur in Edelstahl etwa 5980 m/s; die Phasengeschwindigkeit der Transversalwelle ist um etwa den Faktor 1,8 kleiner: ca. 3300 m/s. In dünnen Platten existieren noch weitere Wellentypen, sogenannte Lambwellen. Im nebenstehenden Bild entspricht jeder Ast einem Lambwellentyp (Mode). Vertikal ist die Phasengeschwindigkeit in Einheiten der Transversalwellengeschwindigkeit dargestellt, horizontal die Frequenz als Produkt von Kreisfrequenz und Plattendicke in Einheiten der Transversalwellengeschwindigkeit. Die höheren Moden existieren erst ab bestimmten Mindestfrequenzen und breiten sich dann mit sehr hohen Phasengeschwindigkeiten aus. Die -Mode hat für kleine Frequenzen eine verschwindende Phasengeschwindigkeit.

Materiewelle Bearbeiten

Gemäß dem Welle-Teilchen-Dualismus kann man einem Teilchen, z. B. einem Elektron mit der Energie und dem Impuls , eine Wellenlänge zuordnen und somit eine Phasengeschwindigkeit

Mit Einsteins Formel

oder in der Formulierung mit dem Lorentzfaktor

und der Definition des relativistischen Impulses folgt

Hier ist die Lichtgeschwindigkeit, die höchste Geschwindigkeit, mit der sich Energie oder Informationen ausbreiten können. Die Gruppengeschwindigkeit ist die Teilchengeschwindigkeit, die immer kleiner als ist. Daher ist

Die de Broglie-Phasengeschwindigkeit ist also immer größer als die Lichtgeschwindigkeit. Diese sog. superluminale Geschwindigkeit von Materiewellen widerspricht nicht der Relativitätstheorie, da die Signalgeschwindigkeit ist.

Hohlleiter Bearbeiten

Auch elektromagnetische Wellen in normalen, zur Leistungsübertragung genutzten Hohlleitern bewegen sich mit Phasengeschwindigkeiten oberhalb der Lichtgeschwindigkeit. Im Wanderwellenbeschleuniger muss die Phasengeschwindigkeit künstlich durch regelmäßig angeordnete leitfähige Blenden auf Werte unterhalb der Lichtgeschwindigkeit verringert werden.

Literatur Bearbeiten

  • DIN 1311, Blatt 1: Schwingungen und schwingungsfähige Systeme. Teil 1: Grundbegriffe, Einteilung. Ausgabe 2000–2002.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Paul A. Tipler, Gene Mosca: Physik. Für Wissenschaftler und Ingenieure. Hrsg.: Dietrich Pelte. 2. Auflage. Spektrum akademischer Verlag, 2007, ISBN 978-3-8274-1164-8.
  2. Gunnar Lindström, Rudolf Langkau, Wolfgang Scobel: Physik kompakt 3: Quantenphysik und Statistische Physik. Springer, 2013, ISBN 3-642-56017-2, S. 54 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  3. Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 3. Atome, Moleküle und Festkörper. Springer DE, 2010, ISBN 978-3-642-03911-9, S. 97 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  4. Peter Schmüser: Theoretische Physik Für Studierende Des Lehramts 1: Quantenmechanik. Springer DE, 2012, ISBN 978-3-642-25395-9, S. 125 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
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Die Phasengeschwindigkeit ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit gleicher Phasen einer monochromatischen Welle 1 Der rote Punkt ist immer am Punkt gleicher Phase Wellenberg und bewegt sich mit der Phasengeschwindigkeit der blauen monochromatischen Welle Ein Wellenpaket breitet sich in einem nicht dispersiven Medium aus z B eine elektromagnetische Welle im Vakuum Ein Wellenpaket breitet sich in einem dispersiven Medium aus In dispersiven Medien breiten sich Wellen unterschiedlicher Frequenz mit unterschiedlichen Phasengeschwindigkeiten aus Bei der Ausbreitung von Wellenpaketen also der Summe mehrerer uberlagerter monochromatischer Wellen in dispersiven Medien sind folglich auch die Phasendifferenzen zwischen einzelnen Komponenten nicht konstant sondern zeitabhangig Die Form des Wellenpaktes andert sich es zerfliesst In der oberen Abbildung bewegt sich der rote Punkt mit der Phasengeschwindigkeit Die zweite Abbildung zeigt ein Wellenpaket dessen Gruppengeschwindigkeit gleich der Phasengeschwindigkeiten der einzelnen Komponenten ist In der dritten Abbildung sind die Phasengeschwindigkeiten der einzelnen Komponenten unterschiedlich Die Phasengeschwindigkeit v p displaystyle v mathrm p berechnet sich aus der Wellenlange l displaystyle lambda die Strecke die zuruckgelegt wird und der Periodendauer T displaystyle T die Zeit die dafur benotigt wird zu v p l T displaystyle v mathrm p frac lambda T Aufgrund der Definitionen von Frequenz f displaystyle f Kreisfrequenz w displaystyle omega und Kreiswellenzahl k displaystyle k ergibt sich die aquivalente Darstellung v p l f w k displaystyle v mathrm p lambda cdot f frac omega k Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist die Obergrenze fur die Ubertragungsgeschwindigkeit von Energie und Information Jedoch gibt es zahlreiche Falle in denen Phasengeschwindigkeiten oberhalb der Lichtgeschwindigkeit auftreten Beispiele sind Materiewellen und Wellen in Hohlleitern Die grunen Punkte bewegen sich mit Gruppengeschwindigkeit der rote mit Phasengeschwindigkeit Inhaltsverzeichnis 1 Zusammenhang mit Gruppengeschwindigkeit und Dispersion 2 Beispiele 2 1 Korperschall 2 2 Materiewelle 2 3 Hohlleiter 3 Literatur 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseZusammenhang mit Gruppengeschwindigkeit und Dispersion BearbeitenBezeichnung Symbol BeziehungenAmplitude A 0 displaystyle vec A 0 nbsp A 0 k displaystyle vec A 0 perp vec k nbsp TransversalwelleA 0 k displaystyle vec A 0 vec k nbsp LongitudinalwelleWellenvektor k displaystyle vec k nbsp AusbreitungsrichtungKreiswellenzahl k displaystyle k nbsp k k displaystyle k vec k nbsp Wellenlange l displaystyle mathbf lambda nbsp l 2 p k displaystyle lambda frac 2 pi k nbsp Kreisfrequenz w displaystyle mathbf omega nbsp w k displaystyle mathbf omega big vec k big nbsp DispersionsrelationFrequenz f displaystyle f nbsp f w 2 p displaystyle f frac omega 2 pi nbsp Phasengeschwindigkeit v p displaystyle v mathrm p nbsp v p w k l f displaystyle v mathrm p frac omega k lambda f nbsp Gruppengeschwindigkeit v g displaystyle v mathrm g nbsp v g w k displaystyle v mathrm g frac partial omega partial k nbsp Phasenwinkel f displaystyle varphi nbsp f k r w t displaystyle varphi vec k cdot vec r omega t nbsp Zur mathematischen Beschreibung einer Welle in einem speziellen Medium benotigt man ihre Wellenform Amplitude Frequenz Phasenwinkel und die zugehorige Wellengleichung gegebenenfalls mit Randbedingungen Einer so eindeutig definierten Welle konnen trotzdem verschiedene Geschwindigkeiten zugeordnet werden die nicht mit der Phasengeschwindigkeit verwechselt werden sollten Die Geschwindigkeit mit der eine Welle Energie oder Informationen ubertragt ist die Signalgeschwindigkeit Diese ist fur ein verlustfreies Medium gleich der Gruppengeschwindigkeit also der Geschwindigkeit eines Wellenpaketes Ein solches Wellenpaket ist aus monochromatischen Wellen mit unterschiedlichen Frequenzen f displaystyle f nbsp zusammengesetzt Jede dieser monochromatischen Wellen hat eine eigene Phasengeschwindigkeit v p v p f displaystyle v mathrm p v mathrm p f nbsp Der funktionale Zusammenhang zwischen Phasengeschwindigkeit und Frequenz wird als Dispersion bezeichnet Fur elektromagnetische Wellen ist die Phasengeschwindigkeit v p displaystyle v mathrm p nbsp und die Gruppengeschwindigkeit v g displaystyle v mathrm g nbsp im Vakuum gleich der Lichtgeschwindigkeit c displaystyle c nbsp d h das Vakuum ist nicht dispersiv In Materie ist die Phasengeschwindigkeit dagegen im Allgemeinen abhangig von der Frequenz Aufgrund der Beziehung fur den Brechungsindex n c v p displaystyle n c v mathrm p nbsp wird hier die Frequenzabhangigkeit des Brechungsindex n f displaystyle n f nbsp als Dispersion bezeichnet Beispiele BearbeitenKorperschall Bearbeiten nbsp Lambmoden fur zwei verschiedene Materialien mit Poissonzahls 0 34 displaystyle sigma 0 34 nbsp z B Titan und s 0 27 displaystyle sigma 0 27 nbsp z B Stahl In Festkorpern konnen sich Schallwellen als Korperschall ausbreiten Die Phasengeschwindigkeiten sind dabei je nach Wellentyp verschieden Beispielsweise betragt die Phasengeschwindigkeit der Longitudinalwelle bei Raumtemperatur in Edelstahl etwa 5980 m s die Phasengeschwindigkeit der Transversalwelle ist um etwa den Faktor 1 8 kleiner ca 3300 m s In dunnen Platten existieren noch weitere Wellentypen sogenannte Lambwellen Im nebenstehenden Bild entspricht jeder Ast einem Lambwellentyp Mode Vertikal ist die Phasengeschwindigkeit v displaystyle v nbsp in Einheiten der Transversalwellengeschwindigkeit v s displaystyle v mathrm s nbsp dargestellt horizontal die Frequenz als Produkt von Kreisfrequenz w displaystyle omega nbsp und Plattendicke d displaystyle d nbsp in Einheiten der Transversalwellengeschwindigkeit Die hoheren Moden S 1 A 1 S 2 A 2 displaystyle S 1 A 1 S 2 A 2 dots nbsp existieren erst ab bestimmten Mindestfrequenzen und breiten sich dann mit sehr hohen Phasengeschwindigkeiten aus Die A 0 displaystyle A 0 nbsp Mode hat fur kleine Frequenzen eine verschwindende Phasengeschwindigkeit Materiewelle Bearbeiten Gemass dem Welle Teilchen Dualismus kann man einem Teilchen z B einem Elektron mit der Energie E displaystyle E nbsp und dem Impuls p displaystyle p nbsp eine Wellenlange l displaystyle lambda nbsp zuordnen und somit eine Phasengeschwindigkeit v p f l w k E p displaystyle v mathrm p f lambda frac omega k frac E p nbsp Mit Einsteins Formel E m c 2 displaystyle E mc 2 nbsp oder in der Formulierung mit dem Lorentzfaktor g displaystyle gamma nbsp E m 0 g c 2 displaystyle E m 0 gamma c 2 nbsp und der Definition des relativistischen Impulses p m 0 g v displaystyle p m 0 gamma v nbsp folgt v p m 0 g c 2 m 0 g v g c 2 v g displaystyle v mathrm p frac m 0 gamma c 2 m 0 gamma v mathrm g frac c 2 v mathrm g nbsp Hier ist c displaystyle c nbsp die Lichtgeschwindigkeit die hochste Geschwindigkeit mit der sich Energie oder Informationen ausbreiten konnen Die Gruppengeschwindigkeit v g d w d k displaystyle v mathrm g frac mathrm d omega mathrm d k nbsp ist die Teilchengeschwindigkeit 2 die immer kleiner als c displaystyle c nbsp ist Daher ist v p gt c displaystyle v mathrm p gt c nbsp Die de Broglie Phasengeschwindigkeit ist also immer grosser als die Lichtgeschwindigkeit 3 Diese sog superluminale Geschwindigkeit von Materiewellen widerspricht nicht der Relativitatstheorie da die Signalgeschwindigkeit v g displaystyle v mathrm g nbsp ist Hohlleiter Bearbeiten Auch elektromagnetische Wellen in normalen zur Leistungsubertragung genutzten Hohlleitern bewegen sich mit Phasengeschwindigkeiten oberhalb der Lichtgeschwindigkeit 4 Im Wanderwellenbeschleuniger muss die Phasengeschwindigkeit kunstlich durch regelmassig angeordnete leitfahige Blenden auf Werte unterhalb der Lichtgeschwindigkeit verringert werden Literatur BearbeitenDIN 1311 Blatt 1 Schwingungen und schwingungsfahige Systeme Teil 1 Grundbegriffe Einteilung Ausgabe 2000 2002 Weblinks BearbeitenJava Animation welche die Gruppengeschwindigkeit und Phasengeschwindigkeit veranschaulicht veraltetEinzelnachweise Bearbeiten Paul A Tipler Gene Mosca Physik Fur Wissenschaftler und Ingenieure Hrsg Dietrich Pelte 2 Auflage Spektrum akademischer Verlag 2007 ISBN 978 3 8274 1164 8 Gunnar Lindstrom Rudolf Langkau Wolfgang Scobel Physik kompakt 3 Quantenphysik und Statistische Physik Springer 2013 ISBN 3 642 56017 2 S 54 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Wolfgang Demtroder Experimentalphysik 3 Atome Molekule und Festkorper Springer DE 2010 ISBN 978 3 642 03911 9 S 97 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Peter Schmuser Theoretische Physik Fur Studierende Des Lehramts 1 Quantenmechanik Springer DE 2012 ISBN 978 3 642 25395 9 S 125 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Wellengeschwindigkeiten Phasengeschwindigkeit Gruppengeschwindigkeit SignalgeschwindigkeitPhasenlaufzeit Gruppenlaufzeit Signallaufzeit Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Phasengeschwindigkeit amp oldid 231584325