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Dispersionsrelation In der Physik beschreibt die lat dispergere verteilen ausbreiten zerstreuen den Zusammenhang zwische

Dispersionsrelation

In der Physik beschreibt die Dispersionsrelation (lat. dispergere ‚verteilen', ‚ausbreiten', ‚zerstreuen') den Zusammenhang zwischen dem Ablauf eines physikalischen Prozesses (Frequenz, Energie) und den Eigenschaften der ihn beschreibenden Größen (Wellenzahl, Brechungsindex, Ausbreitungsgeschwindigkeit, Impuls).

Mathematisch ist die Dispersionsrelation die Beziehung zwischen der Kreisfrequenz und der Kreiswellenzahl . Sie wird aus der linearen Wellengleichung durch eine Fouriertransformation in Raum und Zeit gewonnen und hat die Form

Im einfachsten Fall sind Kreisfrequenz und Kreiswellenzahl stets proportional

mit der konstanten Phasengeschwindigkeit . In diesem Fall gibt es keine Dispersion.

Die Geschwindigkeit eines Wellenpakets ist dagegen die Gruppengeschwindigkeit

Ein Wellenpaket besteht aus Wellen verschiedener Frequenzen, die unterschiedliche Phasengeschwindigkeiten haben können. Daher läuft ein Wellenpaket im Allgemeinen auseinander. Wellenpakete, die aufgrund nichtlinearer Effekte trotz Dispersion nicht auseinanderlaufen, werden als Solitonen bezeichnet.

Optik Bearbeiten

Bandstruktur eines eindimensionalen photonischen Kristalls. Die Dispersionsrelation lässt sich direkt an der Steigung der Bänder ablesen

In der Dispersionsrelation der Optik taucht der (komplexe) Brechungsindex als Funktion der Kreisfrequenz auf:

mit

Teilchenphysik Bearbeiten

Da die Frequenz immer in Zusammenhang mit der Energie steht

und die Wellenzahl (bzw. der Wellenvektor) mit dem Impuls

bezeichnet man die Energie-Impuls-Beziehungen der Teilchenphysik auch als Dispersionsrelation (oder Dispersionsbeziehung), z. B. bei freien Elektronen im nicht-relativistischen Grenzfall:

wobei das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum und die Masse des Teilchens bezeichnet.

Festkörperphysik Bearbeiten

In der Festkörperphysik wird die Dispersion als Zusammenhang zwischen Energie bzw. Kreisfrequenz und Wellenzahl eines Teilchens oder Quasiteilchens angegeben. In Festkörpern wird dabei einerseits den Phononen (Gitterschwingungen des Atomgitters) eine Phononen-Dispersionsrelation zugeordnet, andererseits kann den Elektronen eine Elektronen-Dispersionsrelation zugeordnet werden, die mit Hilfe der Bandstruktur beschrieben wird.

Literatur Bearbeiten

  • Dieter Meschede: Optik, Licht und Laser. Springer-Verlag, 2015, ISBN 3-663-10954-2, S. 29 f.
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In der Physik beschreibt die Dispersionsrelation lat dispergere verteilen ausbreiten zerstreuen den Zusammenhang zwischen dem Ablauf eines physikalischen Prozesses Frequenz Energie und den Eigenschaften der ihn beschreibenden Grossen Wellenzahl Brechungsindex Ausbreitungsgeschwindigkeit Impuls Mathematisch ist die Dispersionsrelation die Beziehung zwischen der Kreisfrequenz w displaystyle omega und der Kreiswellenzahl k displaystyle k Sie wird aus der linearen Wellengleichung durch eine Fouriertransformation in Raum und Zeit gewonnen und hat die Form w f k displaystyle omega f k Im einfachsten Fall sind Kreisfrequenz und Kreiswellenzahl stets proportional w v Phase k displaystyle omega v text Phase cdot k mit der konstanten Phasengeschwindigkeit v Phase w k displaystyle v text Phase frac omega k In diesem Fall gibt es keine Dispersion Die Geschwindigkeit eines Wellenpakets ist dagegen die Gruppengeschwindigkeit v Gruppe d w d k displaystyle v text Gruppe frac mathrm d omega mathrm d k Ein Wellenpaket besteht aus Wellen verschiedener Frequenzen die unterschiedliche Phasengeschwindigkeiten haben konnen Daher lauft ein Wellenpaket im Allgemeinen auseinander Wellenpakete die aufgrund nichtlinearer Effekte trotz Dispersion nicht auseinanderlaufen werden als Solitonen bezeichnet Inhaltsverzeichnis 1 Optik 2 Teilchenphysik 3 Festkorperphysik 4 LiteraturOptik Bearbeiten nbsp Bandstruktur eines eindimensionalen photonischen Kristalls Die Dispersionsrelation w k z displaystyle omega k mathrm z nbsp lasst sich direkt an der Steigung der Bander ablesenIn der Dispersionsrelation der Optik taucht der komplexe Brechungsindex n displaystyle n nbsp als Funktion der Kreisfrequenz auf w c M k c n w k n c c M c k w f w displaystyle omega c text M k frac c n omega k quad Rightarrow quad n frac c c text M frac c k omega f omega nbsp mit der Phasengeschwindigkeit c M displaystyle c text M nbsp von Licht in einem Medium der Vakuumlichtgeschwindigkeit c displaystyle c nbsp Teilchenphysik BearbeitenDa die Frequenz immer in Zusammenhang mit der Energie steht w E ℏ displaystyle omega frac E hbar nbsp und die Wellenzahl bzw der Wellenvektor mit dem Impuls p displaystyle p nbsp k p ℏ displaystyle vec k frac vec p hbar nbsp bezeichnet man die Energie Impuls Beziehungen der Teilchenphysik auch als Dispersionsrelation oder Dispersionsbeziehung z B bei freien Elektronen im nicht relativistischen Grenzfall E p 2 2 m ℏ w ℏ 2 k 2 2 m w ℏ 2 m k 2 displaystyle begin aligned amp amp E amp frac p 2 2m Rightarrow amp amp hbar omega amp frac hbar 2 k 2 2m Leftrightarrow amp amp omega amp frac hbar 2m k 2 end aligned nbsp wobei ℏ displaystyle hbar nbsp das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum und m displaystyle m nbsp die Masse des Teilchens bezeichnet Festkorperphysik BearbeitenIn der Festkorperphysik wird die Dispersion als Zusammenhang zwischen Energie bzw Kreisfrequenz und Wellenzahl eines Teilchens oder Quasiteilchens angegeben In Festkorpern wird dabei einerseits den Phononen Gitterschwingungen des Atomgitters eine Phononen Dispersionsrelation zugeordnet andererseits kann den Elektronen eine Elektronen Dispersionsrelation zugeordnet werden die mit Hilfe der Bandstruktur beschrieben wird Literatur BearbeitenDieter Meschede Optik Licht und Laser Springer Verlag 2015 ISBN 3 663 10954 2 S 29 f Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Dispersionsrelation amp oldid 231544121