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Soliton Ein ist ein Wellenpaket das sich ohne Änderung seiner Form durch ein dispersives und zugleich nichtlineares Medi

Soliton

Ein Soliton ist ein Wellenpaket, das sich ohne Änderung seiner Form durch ein dispersives und zugleich nichtlineares Medium bewegt. Beim Zusammenstoß mit gleichartigen Wellenpaketen kommt es nicht zu einer Wechselwirkung; tritt dagegen eine Wechselwirkung auf, bei der Energie ausgetauscht wird, so handelt es sich um eine solitäre Welle.

Allgemein enthält ein Wellenpaket, wie mit Hilfe der Fourieranalyse gezeigt werden kann, harmonische Wellen mehrerer Frequenzen. Ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit im Medium bei verschiedenen Frequenzen unterschiedlich, so verändert das Paket mit der Zeit seine Form. Man nennt dies die Dispersion der Phasengeschwindigkeit.

Nichtlineare Effekte können nun die einzelnen Frequenzen, aus denen ein Wellenpaket besteht, ineinander umwandeln. Geschieht dies derart, dass die schnelleren Frequenzkomponenten in langsamere umgewandelt werden und langsamere in schnellere, so kann sich ein dynamisches Gleichgewicht ausbilden: ein formstabiles Soliton.

Soliton im Wellenkanal im Labor – Wasserwelle

Geschichte Bearbeiten

Das Phänomen der Solitonen wurde erstmals 1834 von dem jungen Ingenieur John Scott Russell beschrieben. Russell ritt mehrere Kilometer neben einer etwa 10 Meter langen und etwa einen halben Meter hohen Wasserwelle, die sich in einem engen schottischen Kanal ausbreitete, und beobachtete, dass sich deren Wellenform nur wenig veränderte.

Er erforschte das Phänomen weiter mit Hilfe eines Tanks in seiner Werkstatt. Dabei entdeckte er einige Schlüsseleigenschaften dieser Wellen:

  • Die Wellen können sich stabil über lange Distanzen fortsetzen.
  • Die Geschwindigkeit der Wellen hängt von der Größe der Welle und der Wassertiefe ab.
  • Anders als normale Wellen vereinigen sie sich nicht. Eine kleine Welle wird von einer größeren überholt.
  • Wenn eine Welle zu groß für die Wassertiefe ist, teilt sie sich in zwei Wellen: eine große und eine kleine.

Es dauerte bis 1895, bis das Phänomen auch theoretisch durch die Korteweg-de-Vries-Gleichung erklärt werden konnte, jedoch wurde erst in den 1960ern die Bedeutung der Entdeckung erkannt. 1973 wurde die Existenz von optischen Solitonen in Lichtwellenleitern theoretisch vorausgesagt und 1980 erstmals experimentell nachgewiesen.

Anwendung Bearbeiten

Im Lichtwellenleiter sind Lichtimpulse geringer Intensität Wellenpakete in einem linearen Medium. Sie werden aufgrund von Dispersion mit der Zeit breiter. In der Anwendung zur Signalübertragung verschlechtert sich dadurch die Signalqualität, weil es zu Intersymbolinterferenz kommen kann. Infolgedessen ist die maximal mögliche Übertragungsstrecke bzw. die Übertragungsrate beschränkt. Ein Soliton ist dagegen ein Lichtimpuls, der sich bei der Ausbreitung nicht verändert. Damit ist theoretisch eine Nachrichtenübertragung über beliebig weite Strecken möglich, bei genügend kurzen Lichtimpulsen kann eine sehr hohe Datenübertragungsrate erreicht werden.

In Lichtwellenleitern lassen sich Solitonen im Bereich anomaler Dispersion (die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist hier bei höheren Frequenzen größer) erzeugen – also bei herkömmlichen Glasfasern bei Wellenlängen von λ > 1,3 µm. Hierzu ist nur eine Leistung von wenigen Milliwatt erforderlich. Die Pulsdauer beträgt einige Pikosekunden, was Übertragungsraten im Bereich von Terabits/Sekunde (1012 bit/s) über weite Strecken ermöglicht. In realen Medien existieren Dämpfung und Streuverluste, was zu einer Abnahme der Energie führt. Dies zerstört das Gleichgewicht zwischen Dispersion und Nichtlinearität, so dass sich das Soliton auflöst. In realen Datenübertragungssystemen muss man folglich die Solitonen immer wieder (etwa alle 20 km) nachverstärken.

Bei Versuchen in speziellen Glasfaserringen wurden Solitonen bereits über 180 Millionen Kilometer ohne merkliche Pulsverbreiterung übertragen. Mit Lasern lassen sich durch Modenkopplung Solitonen erzeugen, die Voraussetzung zum Betrieb eines Frequenzkammes sind. Dabei beobachtet man auch nach Stunden kein Zerfließen eines einmal gespeicherten Pulses.

Solitonartige Anregungen gibt es, zusätzlich zu den üblichen Spinwellen, auch in niederdimensionalen Magneten. Sie werden sowohl theoretisch als auch experimentell seit langem ausführlich untersucht.

Solitonengleichungen aus der mathematischen Physik Bearbeiten

Folgende Gleichungen sind einige Beispiele von Gleichungen der mathematischen Physik mit Solitonenlösungen:

Es gibt noch einige weitere Beispiele, wie die modifizierte Korteweg-de-Vries-Gleichung sowie ganze Hierarchien von Gleichungen, die aus diesen abgeleitet werden. Sie sind häufig durch die Methode der Inversen Streutransformation exakt lösbar. Weitere Lösungsmethoden sind die direkte Methode von Ryōgo Hirota und Bäcklund-Transformationen.

Eindimensionale (1D) FDTD-Simulation eines Solitons mit Kraftwirkung Bearbeiten

Das folgende Video zeigt eine FDTD-Simulation zweier ruhender Solitonen laut Sinus-Gordon-Gleichung (siehe unten). Beide senden zusätzlich Druck-Geschwindigkeit-Felder mit unterschiedlicher Polarität aus. Weil die Enden des Raumes nicht korrekt terminiert sind, treten auch Reflexionen auf.

Die Simulation soll im Folgenden erklärt werden.

Sinus-Gordon-Gleichung Bearbeiten

Die Sinus-Gordon-Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung (DGL) zweiter Ordnung und lautet:

(Der Subindex bezeichnet die partielle Ableitung nach der betreffenden Variablen.)

Ihr Name entstand nicht ganz ernst gemeint daraus, dass sie die Form einer Klein-Gordon-Gleichung hat, bei der die Masse durch die Sinus-Funktion „ersetzt“ ist (die Form der Klein-Gordon-Gleichung ergibt sich auch als erster Term der Reihenentwicklung des Sinus). Sie beschreibt den Zusammenhang zwischen der Zeit , der Position und der Anregung in einem eindimensionalen Raum. Der Sachverhalt kann veranschaulicht werden als eine Kette von transversal schwingenden Pendeln, wobei sich zwischen den Pendeln Federn befinden, die den Drehwinkel der Pendel untereinander koppelt. In dem Beispiel ist weiter die Ortskoordinate durch die Anzahl der Pendel und die verstrichene Zeit. Lösungen der DGL sind unter anderem zwei entgegengesetzt aufgebaute Solitonen, bezeichnet als Kink und Antikink. Für kleine Winkel beschreibt die Gleichung außerdem fortschreitende Wellen. Ein Soliton kann ruhen oder sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegen. Es ist dadurch gekennzeichnet, dass die Winkelunterschiede innerhalb des Solitons insgesamt einen Vollkreis ergeben. Das Soliton hat eine feste Größe und kann nur als ganzes existieren. Gegen Störungen eines einzelnen Pendels ist es unempfindlich, es reagiert dann elastisch.

Simulation mit diskreter Zeit und diskretem Raum – FDTD Bearbeiten

Die Finite-Differenzen-Methode im Zeitbereich (FDTD) wird hauptsächlich eingesetzt, um die Ausbreitung elektromagnetische Felder im dreidimensionalen Raum zu simulieren. Der Raum wird dabei in ein rechtwinkliges Gitter aus winzigen Würfeln eingeteilt. Das Verhalten der Felder simuliert man durch Nahwirkung zwischen direkten Nachbarwürfeln mit Differenzengleichungen. Die Berechnungen werden oft von Grafikprozessoren (GPUs) durchgeführt, da die Art der verwendeten Algorithmen bzw. Rechenoperationen hier meist effektiver umgesetzt werden können und in diesem Bereich leistungsstärker sind als auf konventionellen Hauptprozessoren (CPU). In Pseudocode hier zwei zyklisch hintereinander ausgeführte Rechenschritte:

Schritt 1 

SELF(VAR1) += RIGHT(VAR2) - LEFT(VAR2)

Schritt 2 

SELF(VAR2) += RIGHT(VAR1) - LEFT(VAR1)

Diese Rechenvorschrift verwendet eine Art Doppelpuffertechnik und ermöglicht die Ausbreitung sinusförmiger Wellen.

Erzeugung des obigen Videos Bearbeiten

Das Video stellt einen 1D-FDTD-Raum mit der Sinus-Gordon-Gleichung zwischen den Raumpunkten bereit (Iterator). Zusätzlich wird eine zweite Nachbarschaftsbeziehung implementiert welche Druck-Geschwindigkeitswellen ermöglicht.

Beide Beziehungen sind untereinander gekoppelt (Soliton sendet ab und wird zur Winkelgeschwindigkeit addiert).

Untereinander sind in dem Video zu sehen:

Beim Start sind zuerst zwei entgegengesetzte Solitonen (erkennbar als weiße Balken in der ersten Zeile, mit entgegengesetztem Verlauf des Sinus-Anteils in der zweiten Zeile) initialisiert (Generator). Da das keine stationäre Lösung der Gl. (1) ist, wird überflüssige Energie als Welle abgesendet. Dann senden die Solitonen ein p/v-Feld ab (siehe vierte und fünfte Zeile). Wenn das p/v-Feld das jeweils andere Soliton erreicht, setzen sich die Solitonen in Bewegung. Weil der Einfachheit halber die Enden des Raumes nicht perfekt terminiert sind, werden dort Wellen reflektiert. Schließlich treffen sich die Solitonen in der Mitte und werden durch Annihilation zerstört. Übrig bleibt die Energie in Form von Wellen.

Zweck des Videos Bearbeiten

Es modelliert die Sachverhalte Teilchen, Kraft und Welle im Raum sowie deren Zusammenhang. Somit sind spezielle Solitonen eine Möglichkeit von Teilchen, die bereits mehrere Eigenschaften zeigen: Antiteilchen, Bewegung, Energie, Elastizität, Größe und Stetigkeit.

Literatur Bearbeiten

  • Alan C. Newell: Solitons in Mathematics and Physics. SIAM 1985
  • Mark J. Ablowitz, P. A. Clarkson: Solitons, Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering. Cambridge University Press, 1991
  • George L. Lamb: Elements of Soliton Theory. Wiley, 1980
  • A. C. Scott, F. Y. F. Chu, D. W. McLaughlin: Soliton: A new concept in applied science. In: Proceedings of the IEEE, 61, 1973, Nr. 10, S. 1443–1482.
  • Hans-Jürgen Mikeska, M. Steiner: Solitary excitations in one-dimensional magnets. In: Advances in Physics, 40, 1991, Nr. 3, S. 191–356, doi:10.1080/00018739100101492.
  • A. V. Buryak, P. Di Trapani, D. V. Skryabin, S. Trillo: Optical solitons due to quadratic nonlinearities: From basic physics to futuristics applications. In: Physics Reports, 370, 2002, Nr. 2, S. 63–235.
  • Reinhard Meinel, Gernot Neugebauer, Heinz Steudel: Solitonen – Nichtlineare Strukturen. Akademie Verlag, Berlin 1991, ISBN 3-05-500710-7.
  • Philip G. Drazin et al.: Solitons – an introduction. Cambridge Univ. Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-33389-X.
  • Thierry Dauxois, Michel Peyrard: Physics of solitons. Cambridge Univ. Press, Cambridge 2006, ISBN 0-521-85421-0.
  • R.Rajaraman: Solitons and instantons – an introduction to solitons and instantons in quantum field theory. Elsevier, Amsterdam 2005, ISBN 0-444-87047-4.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Thomas Udem: Die Messung der Frequenz von Licht mit modengekoppelten Lasern. Habilitationsschrift. 2002, S. 16 (mpg.de [PDF; abgerufen am 27. Februar 2018]).
  2. Markus Dietrich, Hans-Josef Patt: Wellenmaschine zur Demonstration und Messung harmonischer und anharmonischer Wellenphhaenomene (Solitonen), uni-saarland.de (PDF; 3,1 MB)
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Veröffentlichungsdatum:
Ein Soliton ist ein Wellenpaket das sich ohne Anderung seiner Form durch ein dispersives und zugleich nichtlineares Medium bewegt Beim Zusammenstoss mit gleichartigen Wellenpaketen kommt es nicht zu einer Wechselwirkung tritt dagegen eine Wechselwirkung auf bei der Energie ausgetauscht wird so handelt es sich um eine solitare Welle Allgemein enthalt ein Wellenpaket wie mit Hilfe der Fourieranalyse gezeigt werden kann harmonische Wellen mehrerer Frequenzen Ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit im Medium bei verschiedenen Frequenzen unterschiedlich so verandert das Paket mit der Zeit seine Form Man nennt dies die Dispersion der Phasengeschwindigkeit Nichtlineare Effekte konnen nun die einzelnen Frequenzen aus denen ein Wellenpaket besteht ineinander umwandeln Geschieht dies derart dass die schnelleren Frequenzkomponenten in langsamere umgewandelt werden und langsamere in schnellere so kann sich ein dynamisches Gleichgewicht ausbilden ein formstabiles Soliton Soliton im Wellenkanal im Labor WasserwelleInhaltsverzeichnis 1 Geschichte 2 Anwendung 3 Solitonengleichungen aus der mathematischen Physik 4 Eindimensionale 1D FDTD Simulation eines Solitons mit Kraftwirkung 4 1 Sinus Gordon Gleichung 4 2 Simulation mit diskreter Zeit und diskretem Raum FDTD 4 3 Erzeugung des obigen Videos 4 4 Zweck des Videos 5 Literatur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseGeschichte BearbeitenDas Phanomen der Solitonen wurde erstmals 1834 von dem jungen Ingenieur John Scott Russell beschrieben Russell ritt mehrere Kilometer neben einer etwa 10 Meter langen und etwa einen halben Meter hohen Wasserwelle die sich in einem engen schottischen Kanal ausbreitete und beobachtete dass sich deren Wellenform nur wenig veranderte Er erforschte das Phanomen weiter mit Hilfe eines Tanks in seiner Werkstatt Dabei entdeckte er einige Schlusseleigenschaften dieser Wellen Die Wellen konnen sich stabil uber lange Distanzen fortsetzen Die Geschwindigkeit der Wellen hangt von der Grosse der Welle und der Wassertiefe ab Anders als normale Wellen vereinigen sie sich nicht Eine kleine Welle wird von einer grosseren uberholt Wenn eine Welle zu gross fur die Wassertiefe ist teilt sie sich in zwei Wellen eine grosse und eine kleine Es dauerte bis 1895 bis das Phanomen auch theoretisch durch die Korteweg de Vries Gleichung erklart werden konnte jedoch wurde erst in den 1960ern die Bedeutung der Entdeckung erkannt 1973 wurde die Existenz von optischen Solitonen in Lichtwellenleitern theoretisch vorausgesagt und 1980 erstmals experimentell nachgewiesen Anwendung BearbeitenIm Lichtwellenleiter sind Lichtimpulse geringer Intensitat Wellenpakete in einem linearen Medium Sie werden aufgrund von Dispersion mit der Zeit breiter In der Anwendung zur Signalubertragung verschlechtert sich dadurch die Signalqualitat weil es zu Intersymbolinterferenz kommen kann Infolgedessen ist die maximal mogliche Ubertragungsstrecke bzw die Ubertragungsrate beschrankt Ein Soliton ist dagegen ein Lichtimpuls der sich bei der Ausbreitung nicht verandert Damit ist theoretisch eine Nachrichtenubertragung uber beliebig weite Strecken moglich bei genugend kurzen Lichtimpulsen kann eine sehr hohe Datenubertragungsrate erreicht werden In Lichtwellenleitern lassen sich Solitonen im Bereich anomaler Dispersion die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist hier bei hoheren Frequenzen grosser erzeugen also bei herkommlichen Glasfasern bei Wellenlangen von l gt 1 3 µm Hierzu ist nur eine Leistung von wenigen Milliwatt erforderlich Die Pulsdauer betragt einige Pikosekunden was Ubertragungsraten im Bereich von Terabits Sekunde 1012 bit s uber weite Strecken ermoglicht In realen Medien existieren Dampfung und Streuverluste was zu einer Abnahme der Energie fuhrt Dies zerstort das Gleichgewicht zwischen Dispersion und Nichtlinearitat so dass sich das Soliton auflost In realen Datenubertragungssystemen muss man folglich die Solitonen immer wieder etwa alle 20 km nachverstarken Bei Versuchen in speziellen Glasfaserringen wurden Solitonen bereits uber 180 Millionen Kilometer ohne merkliche Pulsverbreiterung ubertragen Mit Lasern lassen sich durch Modenkopplung Solitonen erzeugen die Voraussetzung zum Betrieb eines Frequenzkammes sind Dabei beobachtet man auch nach Stunden kein Zerfliessen eines einmal gespeicherten Pulses 1 Solitonartige Anregungen gibt es zusatzlich zu den ublichen Spinwellen auch in niederdimensionalen Magneten Sie werden sowohl theoretisch als auch experimentell seit langem ausfuhrlich untersucht Weitere Beispiele fur SolitonenPororoca Solitonen auf dem Amazonas Morning Glory Cloud Erregungsleitung in Nervenzellen SkyrmionenSolitonengleichungen aus der mathematischen Physik BearbeitenFolgende Gleichungen sind einige Beispiele von Gleichungen der mathematischen Physik mit Solitonenlosungen Korteweg de Vries Gleichung nichtlineare Schrodinger Gleichung Toda Kette Kadomtsev Petviashvili Gleichung ursprunglich aus der Plasmaphysik sie beschreibt Solitonen in zwei Raum Dimensionen Benjamin Ono Gleichung die unten behandelte Sinus Gordon Gleichung Gross Pitaevskii GleichungEs gibt noch einige weitere Beispiele wie die modifizierte Korteweg de Vries Gleichung sowie ganze Hierarchien von Gleichungen die aus diesen abgeleitet werden Sie sind haufig durch die Methode der Inversen Streutransformation exakt losbar Weitere Losungsmethoden sind die direkte Methode von Ryōgo Hirota und Backlund Transformationen Eindimensionale 1D FDTD Simulation eines Solitons mit Kraftwirkung BearbeitenDas folgende Video zeigt eine FDTD Simulation zweier ruhender Solitonen laut Sinus Gordon Gleichung siehe unten Beide senden zusatzlich Druck Geschwindigkeit Felder mit unterschiedlicher Polaritat aus Weil die Enden des Raumes nicht korrekt terminiert sind treten auch Reflexionen auf source source source Die Simulation soll im Folgenden erklart werden Sinus Gordon Gleichung Bearbeiten Die Sinus Gordon Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung DGL zweiter Ordnung und lautet f t t f x x sin f 0 displaystyle varphi 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Antikink Fur kleine Winkel f displaystyle varphi nbsp beschreibt die Gleichung ausserdem fortschreitende Wellen Ein Soliton kann ruhen oder sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegen Es ist dadurch gekennzeichnet dass die Winkelunterschiede innerhalb des Solitons insgesamt einen Vollkreis ergeben Das Soliton hat eine feste Grosse und kann nur als ganzes existieren Gegen Storungen eines einzelnen Pendels ist es unempfindlich es reagiert dann elastisch Simulation mit diskreter Zeit und diskretem Raum FDTD Bearbeiten Die Finite Differenzen Methode im Zeitbereich FDTD wird hauptsachlich eingesetzt um die Ausbreitung elektromagnetische Felder im dreidimensionalen Raum zu simulieren Der Raum wird dabei in ein rechtwinkliges Gitter aus winzigen Wurfeln eingeteilt Das Verhalten der Felder simuliert man durch Nahwirkung zwischen direkten Nachbarwurfeln mit Differenzengleichungen Die Berechnungen werden oft von Grafikprozessoren GPUs durchgefuhrt da die Art der verwendeten Algorithmen bzw Rechenoperationen hier meist effektiver umgesetzt werden konnen und in diesem Bereich leistungsstarker sind als auf konventionellen Hauptprozessoren CPU In Pseudocode hier zwei zyklisch hintereinander ausgefuhrte Rechenschritte Schritt 1 SELF VAR1 RIGHT VAR2 LEFT VAR2 Schritt 2 SELF VAR2 RIGHT VAR1 LEFT VAR1 Diese Rechenvorschrift verwendet eine Art Doppelpuffertechnik und ermoglicht die Ausbreitung sinusformiger Wellen Erzeugung des obigen Videos Bearbeiten Das Video stellt einen 1D FDTD Raum mit der Sinus Gordon Gleichung zwischen den Raumpunkten bereit Iterator Zusatzlich wird eine zweite Nachbarschaftsbeziehung implementiert welche Druck Geschwindigkeitswellen ermoglicht f t t f x x sin f 0 displaystyle varphi tt varphi xx sin varphi 0 nbsp p t v x v t p x displaystyle p t v x v t p x nbsp Beide Beziehungen sind untereinander gekoppelt Soliton sendet p displaystyle p nbsp ab und v displaystyle v nbsp wird zur Winkelgeschwindigkeit addiert Untereinander sind in dem Video zu sehen cos f displaystyle cos varphi nbsp sin f displaystyle sin varphi nbsp f t displaystyle varphi t nbsp p displaystyle p nbsp v displaystyle v nbsp Beim Start sind zuerst zwei entgegengesetzte Solitonen erkennbar als weisse Balken in der ersten Zeile mit entgegengesetztem Verlauf des Sinus Anteils in der zweiten Zeile initialisiert Generator Da das keine stationare Losung der Gl 1 ist wird uberflussige Energie als Welle abgesendet Dann senden die Solitonen ein p v Feld ab siehe vierte und funfte Zeile Wenn das p v Feld das jeweils andere Soliton erreicht setzen sich die Solitonen in Bewegung Weil der Einfachheit halber die Enden des Raumes nicht perfekt terminiert sind werden dort Wellen reflektiert Schliesslich treffen sich die Solitonen in der Mitte und werden durch Annihilation zerstort Ubrig bleibt die Energie in Form von Wellen Zweck des Videos Bearbeiten Es modelliert die Sachverhalte Teilchen Kraft und Welle im Raum sowie deren Zusammenhang Somit sind spezielle Solitonen eine Moglichkeit von Teilchen die bereits mehrere Eigenschaften zeigen Antiteilchen Bewegung Energie Elastizitat Grosse und Stetigkeit Literatur BearbeitenAlan C Newell Solitons in Mathematics and Physics SIAM 1985 Mark J Ablowitz P A Clarkson Solitons Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering Cambridge University Press 1991 George L Lamb Elements of Soliton Theory Wiley 1980 A C Scott F Y F Chu D W McLaughlin Soliton A new concept in applied science In Proceedings of the IEEE 61 1973 Nr 10 S 1443 1482 Hans Jurgen Mikeska M Steiner Solitary excitations in one dimensional magnets In Advances in Physics 40 1991 Nr 3 S 191 356 doi 10 1080 00018739100101492 A V Buryak P Di Trapani D V Skryabin S Trillo Optical solitons due to quadratic nonlinearities From basic physics to futuristics applications In Physics Reports 370 2002 Nr 2 S 63 235 Reinhard Meinel Gernot Neugebauer Heinz Steudel Solitonen Nichtlineare Strukturen Akademie Verlag Berlin 1991 ISBN 3 05 500710 7 Philip G Drazin et al Solitons an introduction Cambridge Univ Press Cambridge 2002 ISBN 0 521 33389 X Thierry Dauxois Michel Peyrard Physics of solitons Cambridge Univ Press Cambridge 2006 ISBN 0 521 85421 0 R Rajaraman Solitons and instantons an introduction to solitons and instantons in quantum field theory Elsevier Amsterdam 2005 ISBN 0 444 87047 4 Weblinks BearbeitenDatenubertragung mit Solitonen Memento vom 5 April 2011 im Internet Archive physik uni rostock de abgerufen am 31 Mai 2011 Solitonen vor der Strasse von Gibraltar Solitons History exact Solutions and graphical Representation Memento vom 7 Oktober 2011 im Internet Archive PDF Solitons Home Page including many linksEinzelnachweise Bearbeiten Thomas Udem Die Messung der Frequenz von Licht mit modengekoppelten Lasern Habilitationsschrift 2002 S 16 mpg de PDF abgerufen am 27 Februar 2018 Markus Dietrich Hans Josef Patt Wellenmaschine zur Demonstration und Messung harmonischer und anharmonischer Wellenphhaenomene Solitonen uni saarland de PDF 3 1 MB Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Soliton amp oldid 217104520