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Bäcklund Transformation en im Englischen auch Baecklund oder Backlund geschrieben sind Transformationen der abhängigen u

Bäcklund-Transformation

Bäcklund-Transformationen (im Englischen auch Baecklund oder Backlund geschrieben) sind Transformationen der abhängigen und unabhängigen Variablen in nichtlinearen Differentialgleichungen, die es ermöglichen, Lösungen einer Gleichung oder Lösungen verschiedener Gleichungen miteinander zu verbinden. Sie sind in der Theorie der Solitonen wichtig.

Geschichte Bearbeiten

Bäcklund-Transformationen werden nach Albert Bäcklund benannt, der sie von 1875 bis 1882 in mehreren Arbeiten in den Mathematischen Annalen behandelte, und zusätzlich manchmal nach Sophus Lie, der sie ebenfalls um 1880 in der Differentialgeometrie benutzte. Eine Zusammenfassung früherer Arbeiten gab Édouard Goursat, Jean Clairin gab Anfang des 20. Jahrhunderts eine Methode zur Erzeugung von Bäcklund-Transformationen an. Danach wurde es ruhig um die Methode, die ab den 1970er Jahren eine Renaissance in der Theorie der Solitonen („teilchenartige“ Lösungen nichtlinearer Differentialgleichungen) erlebte.

Bäcklund-Transformationen für die Sinus-Gordon-Gleichung, die schon im 19. Jahrhundert in der Differentialgeometrie (Flächen negativer Krümmung) betrachtet wurde, waren schon länger bekannt (von Bäcklund selbst), für die Korteweg-de-Vries-Gleichung gaben zuerst Hugo Wahlquist und Frank Estabrook 1973 eine solche Transformation an. Eine Ableitung mit der Methode von J. Clairin gab George Lamb, der 1967 auch Multi-Soliton-Lösungen der Sinus-Gordon-Gleichung mit Bäcklund-Transformationen gewann, wobei die Sinus-Gordon-Gleichung diesmal in der Theorie ultrakurzer Laserpulse auftrat. Die Methode lieferte (neben der Inversen Streutransformation und der direkten Methode von Ryōgo Hirota) auch Methoden zur Lösung nichtlinearer Evolutionsgleichungen, wobei sie meist auf Gleichungen in zwei unabhängigen Variablen angewandt wurde, doch sind auch Transformationen für mehr Variablen bekannt (wie für die KP-Gleichung).

Definition Bearbeiten

In der ursprünglichen Definition verbanden Bäcklund und Lie

  • die beiden Gleichungen , zweier Flächen im
  • die unabhängigen Koordinaten bzw. sowie
  • die partiellen Ableitungen der beiden Flächengleichungen, wobei z. B. die partielle Ableitung nach andeutet,

durch vier Gleichungen bzw. Bäcklund-Transformationen:

Die Gleichungen verbanden in damaliger Sprachweise zwei Flächenelemente: eine der beiden Flächengleichungen oder war bekannt, die andere suchte man.

Zusätzlich herangezogen wurde die Integrabilitätsbedingung:

bzw. die analoge Integrabilitätsbedingung für .

Von Goursat und Clairin wurde dies darauf erweitert, dass auch die zweiten Ableitungen in die Relationen einfließen konnten. In modernen Anwendungen sind meist Lösungen nichtlinearer partieller Differentialgleichungen (der gleichen oder verschiedener), die miteinander über Bäcklundtransformationen verbunden werden.

Eine moderne geometrische Formulierung von Bäcklund-Transformationen erfolgt über den Jet-Bündel-Formalismus, in dem Systeme partieller Differentialgleichungen als Untermannigfaltigkeiten eines Jet-Bündels betrachtet werden.

Beispiele Bearbeiten

Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen Bearbeiten

Ein einfacher Fall einer Bäcklund-Transformation sind die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen zwischen Realteil und Imaginärteil einer holomorphen Funktion über (die unabhängige komplexe Variable habe Realteil und Imaginärteil ):

In diesem Fall sind sie Bäcklund-Transformationen zur Laplace-Gleichung , die sowohl als auch als Lösung hat, damit die Integrabilitätsbedingungen (und analog für ) erfüllt sind.

Erfüllt die Laplacegleichung, kann man umgekehrt über die Bäcklundtransformation ein finden, dass ebenfalls die Laplacegleichung erfüllt. Der Fall ist hier sehr einfach gelagert, da die Transformationen und die zugehörige invariante Differentialgleichung linear sind.

Sinus-Gordon-Gleichung Bearbeiten

Die Lösung der Sinus-Gordon-Gleichung:

kann durch eine Bäcklund-Transformation

(mit Parameter ) mit einer anderen Lösung der Sinus-Gordon-Gleichung verknüpft werden. Da hier Lösungen derselben Gleichung miteinander verknüpft werden, spricht man von Auto-Bäcklundtransformation.

Liouville-Gleichung Bearbeiten

Eine Lösung der nichtlinearen Liouville-Gleichung

kann über eine Bäcklund-Transformation von zu :

(mit einem Parameter ) in eine Lösung der linearen Gleichung:

transformiert werden und umgekehrt. Statt einer nichtlinearen Differentialgleichung muss man hier nur eine viel einfachere lineare Differentialgleichung lösen.

Korteweg-de-Vries-Gleichung Bearbeiten

Betrachtet wird eine Methode, mit Hilfe von Bäcklund-Transformationen neue Lösungen der Korteweg-de-Vries-Gleichung zu erhalten, wenn eine Lösung u schon bekannt ist (Auto-Bäcklund-Transformation).

Die KdV-Gleichung ist:

Gesucht wird folgendes Differentialgleichungspaar, wobei Lösung der KdV-Gleichung seien.

wobei die Funktionen nur von den angegebenen Variablen, nicht von den partiellen Ableitungen von abhängen. Außerdem wird verlangt, dass

Das Finden solcher Bäcklund-Transformationen ist nicht einfach. Hier liefert die Wahl (mit einer Konstanten )

eine Bäcklundtransformation, denn aus der Integrabilitätsbedingung folgt, dass die Gleichung:

für alle erfüllen und aus der Ableitung dieser Gleichung nach folgt, dass die KdV-Gleichung erfüllt.

Hat man nun eine Lösung, kann man damit unendlich viele weitere konstruieren. Man startet zum Beispiel mit und erhält:

Die Lösung ist (mit ), die 1-Solitonenlösung der KdV-Gleichung. Setzt man diese ein, erhält man die 2-Solitonenlösung usw. Explizit (mit dem Sekans hyperbolicus ):

Führt man die Funktion nach Estabrook und Wahlquist ein mit

ergibt sich:

die von derselben Form ist wie die Gleichung der ersten Näherung. Hier kann man nun eine weitere Lösung einsetzen (oben wurde sie außer Acht gelassen, da sie nicht beschränkt ist, hier wird sie aber in den Ansatz für im Nenner eingesetzt) und man erhält die 2-Soliton-Lösung.

Robert Miura benutzte 1968 eine Bäcklund-Transformation, um die Hierarchie unendlicher vieler Konstanten der Bewegung bei der KdV-Gleichung zu erhalten. Er schuf damit auch Verbindungen von der KdV-Gleichung zur sogenannten modifizierten KdV-Gleichung .

Literatur Bearbeiten

  • C. Rogers, W. Shackwick: Bäcklund transformations and their applications, Elsevier, Academic Press 1982
  • C. Rogers, W. K. Schief: Backlund and Darboux Transformations, Cambridge University Press 2002
  • R. Miura (Hrsg.): Bäcklund Transformations, the Inverse Scattering Method, Solitons, and Their Applications. New York: Springer-Verlag, 1974.
  • G. Lamb: Bäcklund transformations at the turn of the century, in R. M. Miura (Hrsg.), Bäcklund transformations, Springer, Lecture notes in Mathematics 515, 1976, S. 69–79

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Bäcklund, Zur Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung, Mathematische Annalen, Band 17, 1880, S. 285–328, SUB Göttingen
  2. Bäcklund, Zur Theorie der Flächentransformationen, Mathematische Annalen, Band 19, 1882, S. 387–422, SUB Göttingen
  3. Goursat, Lecons sur l´intégration des equations aux derivées partielles du second ordre, Band 2, 1902
  4. Clairin, Sur les transformations de Baecklund, Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Sér. 3, 19 (1902), p. 3-63, (Memento vom 18. August 2016 im Internet Archive)
  5. Clairin, Sur quelques équations aux dérivées partielles du second ordre, Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Sér. 2, 5 no. 4, 1903, S. 437–458, (Memento vom 18. August 2016 im Internet Archive)
  6. Wahlquist, Estabrook, Backlund transformations for solutions of the Korteweg-de-Vries equation, Phys. Rev. Lett., Band 31, 1973, S. 1386
  7. G. L. Lamb, Bäcklund transformations for certain nonlinear evolution equations, J. Math. Phys., Band 15, 1974, S. 1257–1265
  8. Lamb, Propagation of ultrashort laser pulses, Phys. Lett. A, Band 25, 1967, S. 181–182
  9. Zum Beispiel C. Rogers, W. F. Shadwick, Bäcklund transformations and their applications, Academic Press 1982, S. 15
  10. C. Rogers, W. F. Shadwick, 1982, Kapitel 2
  11. Felix Pirani, D. C. Robinson, W. F. Shackwick, Local jet bundle formalism of Bäcklund transformations, Reidel 1979
  12. Die Darstellung folgt E. Infeld, G. Rowlands, Nonlinear Waves, Solitons and Chaos, Cambridge UP 1990, S. 196ff. In der Literatur finden sich auch andere Bäcklund-Transformationen der KdV.
  13. Miura, Korteweg-de-Vries equation and generalizions 1, 2, J. Math. Phys., Band 9, 1968, S. 1202, 1204
  14. Infeld, Rowlands, loc. cit., S. 191
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Veröffentlichungsdatum:
Backlund Transformationen im Englischen auch Baecklund oder Backlund geschrieben sind Transformationen der abhangigen und unabhangigen Variablen in nichtlinearen Differentialgleichungen die es ermoglichen Losungen einer Gleichung oder Losungen verschiedener Gleichungen miteinander zu verbinden Sie sind in der Theorie der Solitonen wichtig Inhaltsverzeichnis 1 Geschichte 2 Definition 3 Beispiele 3 1 Cauchy Riemannsche Differentialgleichungen 3 2 Sinus Gordon Gleichung 3 3 Liouville Gleichung 3 4 Korteweg de Vries Gleichung 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseGeschichte BearbeitenBacklund Transformationen werden nach Albert Backlund benannt der sie von 1875 bis 1882 in mehreren Arbeiten in den Mathematischen Annalen behandelte 1 2 und zusatzlich manchmal nach Sophus Lie der sie ebenfalls um 1880 in der Differentialgeometrie benutzte Eine Zusammenfassung fruherer Arbeiten gab Edouard Goursat 3 Jean Clairin gab Anfang des 20 Jahrhunderts eine Methode zur Erzeugung von Backlund Transformationen an 4 5 Danach wurde es ruhig um die Methode die ab den 1970er Jahren eine Renaissance in der Theorie der Solitonen teilchenartige Losungen nichtlinearer Differentialgleichungen erlebte Backlund Transformationen fur die Sinus Gordon Gleichung die schon im 19 Jahrhundert in der Differentialgeometrie Flachen negativer Krummung betrachtet wurde waren schon langer bekannt von Backlund selbst fur die Korteweg de Vries Gleichung gaben zuerst Hugo Wahlquist und Frank Estabrook 1973 eine solche Transformation an 6 Eine Ableitung mit der Methode von J Clairin gab George Lamb 7 der 1967 auch Multi Soliton Losungen der Sinus Gordon Gleichung mit Backlund Transformationen gewann 8 wobei die Sinus Gordon Gleichung diesmal in der Theorie ultrakurzer Laserpulse auftrat Die Methode lieferte neben der Inversen Streutransformation und der direkten Methode von Ryōgo Hirota auch Methoden zur Losung nichtlinearer Evolutionsgleichungen wobei sie meist auf Gleichungen in zwei unabhangigen Variablen angewandt wurde doch sind auch Transformationen fur mehr Variablen bekannt wie fur die KP Gleichung Definition BearbeitenIn der ursprunglichen Definition 9 verbanden Backlund und Lie die beiden Gleichungen u x y displaystyle u x y nbsp v x 1 y 1 displaystyle v x 1 y 1 nbsp zweier Flachen im R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp die unabhangigen Koordinaten x y displaystyle x y nbsp bzw x 1 y 1 displaystyle x 1 y 1 nbsp sowie die partiellen Ableitungen u x u y v x 1 v y 1 displaystyle u x u y v x 1 v y 1 nbsp der beiden Flachengleichungen wobei z B u x displaystyle u x nbsp die partielle Ableitung nach x displaystyle x nbsp andeutet durch vier Gleichungen bzw Backlund Transformationen B j u u x u y x y v v x 1 v y 1 x 1 y 1 0 displaystyle B j u u x u y x y v v x 1 v y 1 x 1 y 1 0 nbsp mit j 1 4 displaystyle j 1 dots 4 nbsp Die Gleichungen verbanden in damaliger Sprachweise zwei Flachenelemente eine der beiden Flachengleichungen u displaystyle u nbsp oder v displaystyle v nbsp war bekannt die andere suchte man Zusatzlich herangezogen wurde die Integrabilitatsbedingung u x y u y x displaystyle u xy u yx nbsp bzw die analoge Integrabilitatsbedingung fur v displaystyle v nbsp Von Goursat und Clairin wurde dies darauf erweitert dass auch die zweiten Ableitungen in die Relationen einfliessen konnten In modernen Anwendungen sind u v displaystyle u v nbsp meist Losungen nichtlinearer partieller Differentialgleichungen der gleichen oder verschiedener die miteinander uber Backlundtransformationen verbunden werden Eine moderne geometrische Formulierung von Backlund Transformationen erfolgt uber den Jet Bundel Formalismus in dem Systeme partieller Differentialgleichungen als Untermannigfaltigkeiten eines Jet Bundels betrachtet werden 10 11 Beispiele BearbeitenCauchy Riemannsche Differentialgleichungen Bearbeiten Ein einfacher Fall einer Backlund Transformation sind die Cauchy Riemann Differentialgleichungen zwischen Realteil u displaystyle u nbsp und Imaginarteil v displaystyle v nbsp einer holomorphen Funktion uber C displaystyle mathbb C nbsp die unabhangige komplexe Variable z x i y displaystyle z x iy nbsp habe Realteil x displaystyle x nbsp und Imaginarteil y displaystyle y nbsp u x v y u y v x displaystyle u x v y quad u y v x nbsp In diesem Fall sind sie Backlund Transformationen zur Laplace Gleichung u x x u y y 0 displaystyle u xx u yy 0 nbsp die sowohl u displaystyle u nbsp als auch v displaystyle v nbsp als Losung hat damit die Integrabilitatsbedingungen u x y u y x displaystyle u xy u yx nbsp und analog fur v displaystyle v nbsp erfullt sind Erfullt u displaystyle u nbsp die Laplacegleichung kann man umgekehrt uber die Backlundtransformation ein v displaystyle v nbsp finden dass ebenfalls die Laplacegleichung erfullt Der Fall ist hier sehr einfach gelagert da die Transformationen und die zugehorige invariante Differentialgleichung linear sind Sinus Gordon Gleichung Bearbeiten Die Losung u displaystyle u nbsp der Sinus Gordon Gleichung u x y sin u displaystyle u xy sin u nbsp kann durch eine Backlund Transformation v x u x 2 a sin u v 2 v y u y 2 a sin v u 2 displaystyle begin aligned v x amp u x 2a sin Bigl frac u v 2 Bigr v y amp u y frac 2 a sin Bigl frac v u 2 Bigr end aligned nbsp mit Parameter a displaystyle a nbsp mit einer anderen Losung der Sinus Gordon Gleichung v displaystyle v nbsp verknupft werden Da hier Losungen derselben Gleichung miteinander verknupft werden spricht man von Auto Backlundtransformation Liouville Gleichung Bearbeiten Eine Losung u displaystyle u nbsp der nichtlinearen Liouville Gleichung u x y exp u displaystyle u xy exp u nbsp kann uber eine Backlund Transformation von u displaystyle u nbsp zu v displaystyle v nbsp v x u x 2 a exp u v 2 v y u y 1 a exp u v 2 displaystyle begin aligned v x amp u x 2a exp Bigl frac u v 2 Bigr v y amp u y frac 1 a exp Bigl frac u v 2 Bigr end aligned nbsp mit einem Parameter a displaystyle a nbsp in eine Losung v displaystyle v nbsp der linearen Gleichung v x y 0 displaystyle v xy 0 nbsp transformiert werden und umgekehrt Statt einer nichtlinearen Differentialgleichung muss man hier nur eine viel einfachere lineare Differentialgleichung losen Korteweg de Vries Gleichung Bearbeiten Betrachtet wird eine Methode mit Hilfe von Backlund Transformationen neue Losungen der Korteweg de Vries Gleichung zu erhalten wenn eine Losung u schon bekannt ist Auto Backlund Transformation Die KdV Gleichung ist u t 6 u u x u x x x 0 displaystyle u t 6uu x u xxx 0 nbsp Gesucht wird folgendes Differentialgleichungspaar wobei u w displaystyle u w nbsp Losung der KdV Gleichung seien 12 w x P u w u x u t u x x displaystyle w x P u w u x u t u xx nbsp w t Q u w u x u t u x x displaystyle w t Q u w u x u t u xx nbsp wobei die Funktionen P Q displaystyle P Q nbsp nur von den angegebenen Variablen nicht von den partiellen Ableitungen von w displaystyle w nbsp abhangen Ausserdem wird verlangt dass w x t w t x displaystyle w xt w tx nbsp Integrabilitatsbedingung Das Finden solcher Backlund Transformationen ist nicht einfach Hier liefert die Wahl mit einer Konstanten k displaystyle k nbsp P u x k 2 w u 2 displaystyle P u x k 2 w u 2 nbsp Q u t 4 k 4 k 2 u x k 2 w u 2 u x w u 2 u x x w u displaystyle Q u t 4 k 4 k 2 u x k 2 w u 2 u x w u 2 u xx w u nbsp eine Backlundtransformation denn aus der Integrabilitatsbedingung folgt dass w u displaystyle w u nbsp die Gleichung s t 6 s x 2 s x x x 0 displaystyle s t 6s x 2 s xxx 0 nbsp fur alle k displaystyle k nbsp erfullen und aus der Ableitung dieser Gleichung nach x displaystyle x nbsp folgt dass 2 s x displaystyle 2s x nbsp die KdV Gleichung erfullt Hat man nun eine Losung kann man damit unendlich viele weitere konstruieren Man startet zum Beispiel mit u 0 displaystyle u 0 nbsp und erhalt w x k 0 2 w 2 displaystyle w x k 0 2 w 2 nbsp w t 4 k 0 2 w 2 k 0 2 displaystyle w t 4k 0 2 w 2 k 0 2 nbsp Die Losung ist w k 0 tanh k 0 x 4 k 0 t k 0 tanh 3 0 displaystyle w k 0 tanh k 0 x 4k 0 t k 0 tanh xi 0 nbsp mit 3 0 k 0 x 4 k 0 t displaystyle xi 0 k 0 x 4k 0 t nbsp die 1 Solitonenlosung der KdV Gleichung Setzt man diese ein erhalt man die 2 Solitonenlosung usw Explizit mit dem Sekans hyperbolicus sech displaystyle operatorname sech nbsp v x k 0 sech 2 3 0 k 1 2 v k 0 tanh 3 0 2 displaystyle v x k 0 operatorname sech 2 xi 0 k 1 2 v k 0 tanh xi 0 2 nbsp Fuhrt man die Funktion ϕ displaystyle phi nbsp nach Estabrook und Wahlquist ein mit v k 1 2 k 0 2 ϕ v displaystyle v frac k 1 2 k 0 2 phi v nbsp ergibt sich ϕ x k 1 2 ϕ 2 displaystyle phi x k 1 2 phi 2 nbsp die von derselben Form ist wie die Gleichung der ersten Naherung Hier kann man nun eine weitere Losung ϕ k 1 coth 3 1 displaystyle phi k 1 coth xi 1 nbsp einsetzen oben wurde sie ausser Acht gelassen da sie nicht beschrankt ist hier wird sie aber in den Ansatz fur v displaystyle v nbsp im Nenner eingesetzt und man erhalt die 2 Soliton Losung Robert Miura benutzte 1968 eine Backlund Transformation um die Hierarchie unendlicher vieler Konstanten der Bewegung bei der KdV Gleichung zu erhalten 13 14 Er schuf damit auch Verbindungen von der KdV Gleichung zur sogenannten modifizierten KdV Gleichung u t 6 u 2 u x u x x x 0 displaystyle u t 6u 2 u x u xxx 0 nbsp Literatur BearbeitenC Rogers W Shackwick Backlund transformations and their applications Elsevier Academic Press 1982 C Rogers W K Schief Backlund and Darboux Transformations Cambridge University Press 2002 R Miura Hrsg Backlund Transformations the Inverse Scattering Method Solitons and Their Applications New York Springer Verlag 1974 G Lamb Backlund transformations at the turn of the century in R M Miura Hrsg Backlund transformations Springer Lecture notes in Mathematics 515 1976 S 69 79Weblinks BearbeitenBaecklund Transformation Wolfram Mathworld mit Literatur W H Steeb Baecklund transformations Encyclopedia of MathematicsEinzelnachweise Bearbeiten Backlund Zur Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung Mathematische Annalen Band 17 1880 S 285 328 SUB Gottingen Backlund Zur Theorie der Flachentransformationen Mathematische Annalen Band 19 1882 S 387 422 SUB Gottingen Goursat Lecons sur l integration des equations aux derivees partielles du second ordre Band 2 1902 Clairin Sur les transformations de Baecklund Annales scientifiques de l Ecole Normale Superieure Ser 3 19 1902 p 3 63 numdam Memento vom 18 August 2016 im Internet Archive Clairin Sur quelques equations aux derivees partielles du second ordre Annales de la Faculte des sciences de Toulouse Mathematiques Ser 2 5 no 4 1903 S 437 458 numdam Memento vom 18 August 2016 im Internet Archive Wahlquist Estabrook Backlund transformations for solutions of the Korteweg de Vries equation Phys Rev Lett Band 31 1973 S 1386 G L Lamb Backlund transformations for certain nonlinear evolution equations J Math Phys Band 15 1974 S 1257 1265 Lamb Propagation of ultrashort laser pulses Phys Lett A Band 25 1967 S 181 182 Zum Beispiel C Rogers W F Shadwick Backlund transformations and their applications Academic Press 1982 S 15 C Rogers W F Shadwick 1982 Kapitel 2 Felix Pirani D C Robinson W F Shackwick Local jet bundle formalism of Backlund transformations Reidel 1979 Die Darstellung folgt E Infeld G Rowlands Nonlinear Waves Solitons and Chaos Cambridge UP 1990 S 196ff In der Literatur finden sich auch andere Backlund Transformationen der KdV Miura Korteweg de Vries equation and generalizions 1 2 J Math Phys Band 9 1968 S 1202 1204 Infeld Rowlands loc cit S 191 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Backlund Transformation amp oldid 239595868