Die Cauchy Riemannschen partiellen Differentialgleichungen auch Cauchy Riemannsche Differentialgleichungen oder Cauchy Riemann Gleichungen im mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie sind ein System von zwei partiellen Differentialgleichungen zweier reell wertiger Funktionen Sie schlagen eine Brucke von den reell differenzierbaren Funktionen R 2 R 2 displaystyle mathbb R 2 rightarrow mathbb R 2 zu den komplex differenzierbaren der komplexen Funktionentheorie C C displaystyle mathbb C rightarrow mathbb C Zum ersten Mal tauchen sie 1752 bei d Alembert auf 1 Euler verband dieses System 1777 mit den analytischen Funktionen 2 In einem rein funktionentheoretischen Kontext erscheinen sie 1814 bei Cauchy 3 und 1851 in Riemanns Dissertation 4 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beziehung zu den holomorphen Funktionen 2 1 Isomorphie zwischen der reellen Ebene und den komplexen Zahlen 2 2 Komplexe Differenzierbarkeit 2 3 Herleitung 2 4 Beispiel 3 Weitere Eigenschaften 3 1 Polarkoordinaten 3 2 Beziehung zu den konformen Abbildungen 3 3 Darstellung durch den Cauchy Riemann Operator 3 4 Beziehung zu den harmonischen Funktionen 4 Physikalische Interpretation 5 Inhomogene Cauchy Riemannsche Differentialgleichung in einer Veranderlichen 5 1 Definition 5 2 Fundamentallosung 5 3 Integraldarstellung 6 Inhomogene Cauchy Riemannsche Differentialgleichung in mehreren Veranderlichen 6 1 Definition 6 2 Notwendige Bedingung 6 3 Existenzaussage 7 Literatur 8 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenDie Cauchy Riemannschen Differentialgleichungen CRDG sind das System von zwei Differentialgleichungen zweier reellwertiger Funktionen u v R 2 R displaystyle u v colon mathbb R 2 rightarrow mathbb R nbsp in zwei reellen Variablen x y displaystyle x y nbsp u x x y v y x y u y x y v x x y displaystyle left begin aligned frac partial u partial x x y amp frac partial v partial y x y amp qquad frac partial u partial y x y amp frac partial v partial x x y amp qquad end aligned right nbsp CRDG Beziehung zu den holomorphen Funktionen BearbeitenVergleiche hierzu auch den Abschnitt Erlauterungen im Artikel uber holomorphe Funktionen Isomorphie zwischen der reellen Ebene und den komplexen Zahlen Bearbeiten C displaystyle mathbb C nbsp ist in naturlicher Weise ein zweidimensionaler reeller Vektorraum mit der kanonischen Basis 1 i displaystyle 1 mathrm i nbsp Dies gibt Anlass zu einer naturlichen Identifikation C R 2 displaystyle mathbb C simeq mathbb R 2 nbsp Ein Punkt z C displaystyle z in mathbb C nbsp hat die reellen kartesischen Koordinaten x Re z y Im z R displaystyle x operatorname Re z y operatorname Im z in mathbb R nbsp oder kurz z x i y displaystyle z x mathrm i y nbsp Eine komplexwertige Funktion f U C C displaystyle f U subset mathbb C to mathbb C nbsp auf einer offenen Teilmenge von C displaystyle mathbb C nbsp kann man daher durch Zerlegung in ihren Real und Imaginarteil f x i y u x y i v x y displaystyle f left x mathrm i y right u left x y right mathrm i v left x y right nbsp als eine R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp wertige Funktion von zwei reellen Variablen x y U a b R 2 a i b U displaystyle x y in tilde U a b in mathbb R 2 a mathrm i b in U nbsp auffassen Komplexe Differenzierbarkeit Bearbeiten Ein wichtiges elementares Resultat der Funktionentheorie ist die Beziehung zwischen den Losungen der Cauchy Riemannschen Differentialgleichung und den holomorphen also den auf einer offenen Menge U C displaystyle U subseteq mathbb C nbsp komplex differenzierbaren Funktionen Eine Funktion f displaystyle f nbsp ist auf U displaystyle U nbsp namlich genau dann komplex differenzierbar wenn ihre Entsprechung f x y f x i y u x y i v x y displaystyle tilde f x y f x mathrm i y u x y mathrm i v x y nbsp auf U displaystyle tilde U nbsp reell differenzierbar ist und die Funktionen u displaystyle u nbsp und v displaystyle v nbsp die Cauchy Riemannschen Differentialgleichungen erfullen In diesem Fall gilt f f x i f y displaystyle f tfrac partial f partial x mathrm i tfrac partial f partial y nbsp Insbesondere klart diese Aussage den Zusammenhang zwischen komplexer und reeller Differenzierbarkeit von Abbildungen der Ebene in die Ebene Weiter kann sogar gezeigt werden dass die Begriffe holomorph und analytisch aquivalent sind Fur weitere aquivalente Charakterisierungen siehe Holomorphe Funktion Holomorphe Funktionen mehrerer Veranderlicher Herleitung Bearbeiten Wenn f displaystyle f nbsp in U displaystyle U nbsp komplex differenzierbar ist dann existiert f z 0 f z z 0 lim h 0 h C f z 0 h f z 0 h displaystyle f z 0 frac partial f partial z z 0 lim underset h in mathbb C h to 0 frac f z 0 h f z 0 h nbsp fur jedes z 0 U displaystyle z 0 in U nbsp Durch Auflosen nach f z 0 h displaystyle f z 0 h nbsp ergibt sich f z 0 h f z 0 f z 0 h r h mit lim h 0 r h h 0 displaystyle f z 0 h f z 0 f z 0 cdot h r h quad text mit lim h rightarrow 0 frac r h h 0 nbsp Zerlegt man f z 0 a i b displaystyle f z 0 a mathrm i b nbsp und h D x i D y displaystyle h Delta x mathrm i Delta y nbsp so erhalt man f x 0 D x i y 0 D y f x 0 i y 0 a i b D x b i a D y r h displaystyle f x 0 Delta x mathrm i y 0 Delta y f x 0 mathrm i y 0 a mathrm i b Delta x b mathrm i a Delta y r h nbsp Dies zeigt dass f u i v displaystyle f u mathrm i v nbsp total differenzierbar ist und die partiellen Ableitungen von u v displaystyle u v nbsp gegeben sind durch u x z 0 a v y z 0 u y z 0 b v x z 0 displaystyle frac partial u partial x z 0 a frac partial v partial y z 0 frac partial u partial y z 0 b frac partial v partial x z 0 nbsp Beispiel Bearbeiten Die Funktion f C C displaystyle f colon mathbb C to mathbb C nbsp f x i y x 2 y 2 2 i x y displaystyle f x mathrm i y x 2 y 2 2 mathrm i xy nbsp ist holomorph denn ihr Realteil u x y x 2 y 2 displaystyle u x y x 2 y 2 nbsp und ihr Imaginarteil v x y 2 x y displaystyle v x y 2xy nbsp sind reell differenzierbar und es gilt u x x y 2 x v y x y displaystyle frac partial u partial x x y 2x frac partial v partial y x y nbsp u y x y 2 y v x x y displaystyle frac partial u partial y x y 2y frac partial v partial x x y nbsp Weitere Eigenschaften BearbeitenPolarkoordinaten Bearbeiten Man kann die Cauchy Riemannschen Differentialgleichungen auch in anderen Koordinaten als den kartesischen darstellen Im Folgenden wird die Darstellung in Polarkoordinaten erlautert Eine Darstellung einer komplexen Zahl in Polarform ist z r e i ϕ displaystyle z r mathrm e mathrm i phi nbsp Dies fuhrt dazu dass man die partiellen Ableitungen von f displaystyle f nbsp nach r displaystyle r nbsp beziehungsweise ϕ displaystyle phi nbsp zu betrachten hat Fur diese gilt f r z r f z e i ϕ f f ϕ z ϕ f z i r e i ϕ f displaystyle frac partial f partial r frac partial z partial r frac partial f partial z mathrm e mathrm i phi f quad frac partial f partial phi frac partial z partial phi frac partial f partial z mathrm i r mathrm e mathrm i phi f nbsp Daraus folgt mit f u i v displaystyle f u mathrm i v nbsp 0 f r i r f ϕ u r i r u ϕ i v r i 2 r v ϕ u r 1 r v ϕ i 1 r u ϕ v r displaystyle 0 frac partial f partial r frac mathrm i r frac partial f partial phi frac partial u partial r frac mathrm i r frac partial u partial phi mathrm i frac partial v partial r frac mathrm i 2 r frac partial v partial phi left frac partial u partial r frac 1 r frac partial v partial phi right mathrm i left frac 1 r frac partial u partial phi frac partial v partial r right nbsp Da beide Klammern verschwinden mussen gilt u r 1 r v ϕ displaystyle frac partial u partial r frac 1 r frac partial v partial phi nbsp und v r 1 r u ϕ displaystyle frac partial v partial r frac 1 r frac partial u partial phi nbsp Dies sind die Cauchy Riemannschen Differentialgleichungen in Polarkoordinaten Beziehung zu den konformen Abbildungen Bearbeiten Hauptartikel Konforme Abbildung und Biholomorphe Abbildung Die komplexe Darstellung der Cauchy Riemannschen Differentialgleichungen ist 0 f i 2 f f x i f y i f x f y displaystyle 0 f mathrm i 2 f frac partial f partial x mathrm i frac partial f partial y quad Rightarrow quad mathrm i frac partial f partial x frac partial f partial y nbsp Diese Form der Gleichung entspricht der Forderung dass in der Matrixdarstellung der komplexen Zahlen die Jacobi Matrix die folgende Struktur hat a b b a displaystyle left begin array lr a amp b b amp a end array right nbsp mit a u x v y b v x u y displaystyle a frac partial u partial x frac partial v partial y quad b frac partial v partial x frac partial u partial y nbsp Die zu diesen Matrizen gehorenden linearen Abbildungen sind sofern a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp nicht beide null sind Drehstreckungen im Raum R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp dabei ist a r cos ϕ displaystyle a r cos phi nbsp und b r sin ϕ displaystyle b r sin phi nbsp wobei r 0 displaystyle r neq 0 nbsp der Skalierungsfaktor und ϕ displaystyle phi nbsp der Drehwinkel ist Diese Abbildung ist somit winkel und orientierung streu das heisst der orientierte Winkel zwischen zwei Kurven in der Ebene bleibt erhalten Funktionen die die Cauchy Riemannschen Differentialgleichungen erfullen und deren Ableitung in keinem Punkt verschwindet sind also konform Darstellung durch den Cauchy Riemann Operator Bearbeiten Hauptartikel Wirtinger Kalkul In diesem Abschnitt wird eine kompaktere Schreibweise der Cauchy Riemannschen Differentialgleichungen aufgezeigt Dabei wird ersichtlich dass in z displaystyle z nbsp holomorphe Funktionen unabhangig vom komplex konjugierten z displaystyle bar z nbsp sein mussen Eine komplexe Zahl z displaystyle z nbsp und ihre komplex konjugierte z displaystyle bar z nbsp hangen mit Realteil x displaystyle x nbsp und Imaginarteil y displaystyle y nbsp mittels der Gleichungen z x i y z x i y x z z 2 y z z 2 i displaystyle begin aligned z amp x mathrm i y amp bar z amp x mathrm i y x amp frac z bar z 2 amp y amp frac z bar z 2 mathrm i end aligned nbsp zusammen Aufgrund dieses Zusammenhangs erscheint es sinnvoll die Differentialoperatoren z x z x y z y 1 2 x i y z x z x y z y 1 2 x i y displaystyle begin aligned partial frac partial partial z amp frac partial x partial z frac partial partial x frac partial y partial z frac partial partial y frac 1 2 Bigl frac partial partial x mathrm i frac partial partial y Bigr bar partial frac partial partial bar z amp frac partial x partial bar z frac partial partial x frac partial y partial bar z frac partial partial y frac 1 2 Bigl frac partial partial x mathrm i frac partial partial y Bigr end aligned nbsp zu definieren Der Operator displaystyle bar partial nbsp heisst Cauchy Riemann Operator und der Kalkul dieser Operatoren wird Wirtinger Kalkul genannt Mit der komplexen Darstellung der Cauchy Riemannschen Differentialgleichungen aus dem vorigen Abschnitt erhalt man die Gleichung 0 f x i f y 2 f z 2 f displaystyle 0 frac partial f partial x mathrm i frac partial f partial y 2 frac partial f partial bar z 2 bar partial f nbsp Hier konnte die partielle Ableitung nach der komplex konjugierten Variable identifiziert werden Die Gleichung f z 0 displaystyle frac partial f partial bar z 0 nbsp bzw f 0 displaystyle bar partial f 0 nbsp ist eine alternative Darstellung der Cauchy Riemannschen Differentialgleichungen und bedeutet dass wenn f displaystyle f nbsp holomorph ist es unabhangig von z displaystyle bar z nbsp sein muss Somit konnen analytische Funktionen als wirkliche Funktionen einer komplexen Variable anstatt einer komplexen Funktion von zwei reellen Variablen angesehen werden Beziehung zu den harmonischen Funktionen Bearbeiten Seien u v displaystyle u v nbsp und f displaystyle f nbsp Funktionen wie im Abschnitt Isomorphie zwischen der reellen Ebene und den komplexen Zahlen Dann sind u displaystyle u nbsp und v displaystyle v nbsp harmonische Funktionen falls f u i v displaystyle f u mathrm i v nbsp holomorph ist Dann sind namlich u displaystyle u nbsp und v displaystyle v nbsp zweimal stetig differenzierbar sie sind sogar glatt und erfullen die Cauchy Riemannschen Differentialgleichungen Beispielsweise fur u displaystyle u nbsp folgt dann mit dem Satz von Schwarz 2 u x 2 x v y y v x 2 u y 2 displaystyle frac partial 2 u partial x 2 frac partial partial x left frac partial v partial y right frac partial partial y left frac partial v partial x right frac partial 2 u partial y 2 nbsp also D u 0 displaystyle Delta u 0 nbsp mit dem Laplace Operator D displaystyle Delta nbsp Eine analoge Rechnung gilt fur v displaystyle v nbsp und ergibt D v 0 displaystyle Delta v 0 nbsp Aus dem Lemma von Weyl folgt dass jede Distribution T D W displaystyle T in mathcal D Omega nbsp die die Cauchy Riemannschen Differentialgleichungen im distributionellen Sinn lost regular sein muss Daher sind also auch distributionelle Losungen der Cauchy Riemannschen Differentialgleichungen holomorphe Funktionen 5 Physikalische Interpretation BearbeitenDiese Interpretation verwendet nicht direkt komplexe Variablen Es sei eine Funktion f displaystyle f nbsp gegeben mit f u i v displaystyle f u mathrm i v nbsp Die skalaren Felder u displaystyle u nbsp und v displaystyle v nbsp sollen die Cauchy Riemannschen Differentialgleichungen erfullen beachte andere Vorzeichenkonvention u x v y v x u y displaystyle frac partial u partial x frac partial v partial y quad frac partial v partial x frac partial u partial y nbsp Betrachte nun das Vektorfeld f displaystyle vec f nbsp als reeller dreikomponentiger Vektor f u v 0 displaystyle vec f begin bmatrix u v 0 end bmatrix nbsp Dann beschreibt die erste Cauchy Riemannsche Differentialgleichung die Quellen freiheit 0 u x v y div f displaystyle 0 frac partial u partial x frac partial v partial y operatorname div vec f nbsp und die zweite Gleichung beschreibt die Rotations freiheit 0 v x u y rot f 3 displaystyle 0 frac partial v partial x frac partial u partial y left operatorname rot vec f right 3 nbsp Somit ist f displaystyle vec f nbsp quellenfrei und besitzt ein Potential In der Stromungslehre beschreibt solch ein Feld eine zweidimensionale Potentialstromung Inhomogene Cauchy Riemannsche Differentialgleichung in einer Veranderlichen BearbeitenDefinition Bearbeiten Die inhomogene Cauchy Riemannsche Differentialgleichung hat die Darstellung u f displaystyle bar partial u f nbsp dabei ist displaystyle bar partial nbsp der Cauchy Riemann Operator f displaystyle f nbsp ist eine gegebene Funktion und u displaystyle u nbsp ist die gesuchte Losung Dass u 0 displaystyle bar partial u 0 nbsp den oben definierten homogenen Cauchy Riemannschen Differentialgleichungen entspricht wird weiter oben im Artikel schon angesprochen Die Theorie der inhomogenen Cauchy Riemannschen Differentialgleichung ist fur Losungen in C displaystyle mathbb C nbsp verschieden von Losungen in C n displaystyle mathbb C n nbsp mit n gt 1 displaystyle n gt 1 nbsp und wird hier in zwei unterschiedlichen Abschnitten angerissen Fundamentallosung Bearbeiten Fur Dimension n 1 displaystyle n 1 nbsp ist die Fundamentallosung des Cauchy Riemann Operators z displaystyle textstyle frac partial partial overline z nbsp durch 1 p z displaystyle textstyle frac 1 pi z nbsp gegeben Das heisst die durch die Funktion u z 1 p z displaystyle textstyle u z frac 1 pi z nbsp erzeugte Distribution lost die Gleichung z u z d displaystyle textstyle frac partial partial overline z u z delta nbsp wobei d displaystyle delta nbsp die Delta Distribution ist Sei ϕ C c C displaystyle textstyle phi in C c infty mathbb C nbsp eine glatte Testfunktion mit kompaktem Trager dann sieht man die Gultigkeit der Aussage aufgrund z 1 z ϕ D D 1 2 i C 1 z z ϕ z d z d z lim ϵ 0 1 2 i C B ϵ 1 z z ϕ z ϕ z z 1 z d z d z lim ϵ 0 1 2 i C B ϵ z ϕ z z d z d z lim ϵ 0 1 2 i 2 i 2 i R 2 B ϵ i x ϕ x i y x i y y ϕ x i y x i y d x d y lim ϵ 0 1 2 i B ϵ ϕ x i y x i y d x i ϕ x i y x i y d y lim ϵ 0 1 2 i B ϵ ϕ z z d z p ϕ 0 displaystyle begin aligned left frac partial partial overline z frac 1 z phi right mathcal D times mathcal D amp frac 1 2 mathrm i int mathbb C frac 1 z frac partial partial overline z phi z mathrm d overline z mathrm d z amp lim epsilon to 0 frac 1 2 mathrm i int mathbb C backslash B epsilon left frac 1 z frac partial partial overline z phi z phi z frac partial partial overline z frac 1 z right mathrm d overline z mathrm d z amp lim epsilon to 0 frac 1 2 mathrm i int mathbb C backslash B epsilon frac partial partial overline z frac phi z z mathrm d overline z mathrm d z amp lim epsilon to 0 frac 1 2 mathrm i frac 2 mathrm i 2 mathrm i int mathbb R 2 backslash B epsilon left i frac partial partial x frac phi x mathrm i y x mathrm i y frac partial partial y frac phi x mathrm i y x mathrm i y right mathrm d x mathrm d y amp lim epsilon to 0 frac 1 2 mathrm i int partial B epsilon left frac phi x mathrm i y x mathrm i y mathrm d x mathrm i frac phi x mathrm i y x mathrm i y mathrm d y right amp lim epsilon to 0 frac 1 2 mathrm i int partial B epsilon frac phi z z mathrm d z amp pi phi 0 end aligned nbsp Integraldarstellung Bearbeiten Fur f C k C displaystyle f in C k mathbb C nbsp mit k 1 displaystyle k geq 1 nbsp erhalt man mit u z 1 2 p i C f z z z d z d z displaystyle u zeta frac 1 2 pi mathrm i int mathbb C frac f z z zeta mathrm d z mathrm d bar z nbsp eine Losung der inhomogenen Cauchy Riemannschen Differentialgleichung u f displaystyle bar partial u f nbsp mit u C k C displaystyle u in C k mathbb C nbsp Inhomogene Cauchy Riemannsche Differentialgleichung in mehreren Veranderlichen BearbeitenIm Folgenden sei n N displaystyle n in mathbb N nbsp die Dimension des zugrundeliegenden Raum beziehungsweise die Anzahl der Komponenten einer Funktion Definition Bearbeiten Die inhomogene Cauchy Riemannsche Differentialgleichung hat in mehreren Veranderlichen ebenfalls die Darstellung u f displaystyle bar partial u f nbsp dabei ist displaystyle bar partial nbsp der Dolbeault Quer Operator f f 1 f n displaystyle f f 1 ldots f n nbsp ist eine gegebene 0 1 displaystyle 0 1 nbsp komplexe Differentialform mit kompaktem Trager und u displaystyle u nbsp ist die gesuchte Losung Explizit bedeutet dies dass das System u z j f j displaystyle frac partial u partial bar z j f j nbsp von partiellen Differentialgleichungen fur j 1 n displaystyle j 1 ldots n nbsp gelost werden muss Der Differentialoperator z j displaystyle tfrac partial partial bar z j nbsp ist der Cauchy Riemann Operator Notwendige Bedingung Bearbeiten Fur n gt 1 displaystyle n gt 1 nbsp ist die Voraussetzung f 0 displaystyle bar partial f 0 nbsp notwendig Man sieht dies wenn man auf beiden Seiten der Gleichung den Dolbeault Quer Operator anwendet So erhalt man namlich u f displaystyle bar partial bar partial u bar partial f nbsp da fur den Dolbeault Operator auf Differentialformen 0 displaystyle bar partial bar partial 0 nbsp gilt muss f 0 displaystyle bar partial f 0 nbsp gelten Da f displaystyle f nbsp eine 0 1 Form ist bedeutet f 0 displaystyle bar partial f 0 nbsp nicht dass f displaystyle f nbsp eine holomorphe Differentialform ist denn nur p 0 Formen die diese Gleichung erfullen heissen holomorph Existenzaussage Bearbeiten Sei f f 1 f n displaystyle f f 1 ldots f n nbsp eine 0 1 Form mit f 0 displaystyle bar partial f 0 nbsp und f j C c k C n displaystyle f j in C c k mathbb C n nbsp Dann existiert eine Funktion u C c k C n displaystyle u in C c k mathbb C n nbsp so dass die Cauchy Riemannsche Differentialgleichung u f displaystyle bar partial u f nbsp erfullt ist Literatur BearbeitenEberhard Freitag Rolf Busam Funktionentheorie 1 Band 3 neu bearbeitete und erweiterte Auflage Springer Berlin u a 2000 ISBN 3 540 67641 4 Springer Lehrbuch Lars Hormander An Introduction to Complex Analysis in Several Variables 2 revised edition North Holland Pub Co u a Amsterdam u a 1973 ISBN 0 7204 2450 X North Holland mathematical Library 7 Einzelnachweise Bearbeiten J d Alembert Essai d une nouvelle theorie de la resistance des fluides In gallica 1752 bnf fr L Euler Ulterior disquisitio de formulis integralibus imaginariis In Nova Acta Acad Sci Petrop 10 Jahrgang 1797 S 3 19 A L Cauchy Memoire sur les integrales definies In Oeuvres completes Ser 1 1 Jahrgang 1814 S 319 506 B Riemann Grundlagen fur eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veranderlichen komplexen Grosse In pdf tcd ie PDF Otto Forster Riemannsche Flachen Heidelberger Taschenbucher 184 Springer Berlin u a 1977 ISBN 3 540 08034 1 S 174 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Cauchy Riemannsche partielle Differentialgleichungen amp oldid 225922379
