In der Funktionentheorie ist eine biholomorphe oder schlichte Abbildung eine bijektive holomorphe Abbildung mit holomorpher Umkehrabbildung. Manchmal versteht man jedoch unter einer schlichten Abbildung auch eine injektive (nicht notwendigerweise bijektive), holomorphe Abbildung.
Eigenschaften Bearbeiten
- Eine bijektive holomorphe Abbildung ist immer biholomorph. Im eindimensionalen Fall folgt dies direkt aus dem Satz über implizite Funktionen, in höheren Dimensionen aus dem Satz von Osgood.
- Im eindimensionalen Fall ist eine biholomorphe Abbildung eine konforme Abbildung. Umgekehrt ist eine bijektive, stetig differenzierbare Abbildung von Gebieten der komplexen Ebene, die konform und orientierungserhaltend ist und deren Ableitung nicht verschwindet, ebenfalls biholomorph.
- Eine biholomorphe Abbildung ist eigentlich.
- Eine wichtige Aussage über biholomorphe Funktionen macht der riemannsche Abbildungssatz: Jedes einfach zusammenhängende Gebiet lässt sich biholomorph auf die offene Einheitskreisscheibe abbilden.
Eindimensionale Beispiele Bearbeiten
Die lineare Funktion Bearbeiten
- für und eine Verschiebung (Translation)
- für reell und positiv eine zentrische Streckung mit dem Streckfaktor und Streckzentrum ;
- für und eine Drehung. Verwendet man nämlich Polarkoordinaten für die Zahl , so kann der „Punkt“ durch gekennzeichnet werden (s. Abb. 1). Weil
ist, erhält man mit der Eulerformel
Wenn gesetzt wird, ist und somit
Der Punkt (mit dem Argument (Bogenmaß) φz und dem Betrag r = rz) geht somit in den Punkt (mit φa+φz) und dem Betrag rz über, das ist eine Drehung.
- für und eine Drehstreckung.
Beispielsweise führt die Drehstreckung den Punkt in den Bildpunkt über. Die Bildpunkte zweier weiterer Punkte, die mit dem ersten ein Dreieck bilden können, lassen sich ebenso berechnen, so dass das Bilddreieck gezeichnet werden kann und damit diese Drehstreckung sich leicht veranschaulichen lässt.
- für und eine Drehstreckung mit Verschiebung.
Inversion Bearbeiten
Die Abbildung
heißt Inversion oder Kreisspiegelung. Bei ihr wird das Innere des Kreises mit Radius = 1 (sog. Einheitskreis) auf das Äußere, das Äußere in das Innere abgebildet, der Rand des Kreises geht in sich selber über. 1 und −1 werden auf 1 und −1 abgebildet, das sind die beiden Fixpunkte der Inversion.
Quadratfunktion Bearbeiten
Bei der Quadratfunktion
ist nicht Null, wenn z nicht Null ist. Wählt man Definitions- und Zielbereich so, dass die Null nicht enthalten ist und die Einschränkung von bijektiv ist, erhält man folglich eine biholomorphe Abbildung. Man kann beispielsweise
wählen, also als Definitionsbereich die rechte Halbebene und als Zielbereich die entlang der negativen reellen Achse geschlitzte Ebene.
Aus w = u + iv = (x + iy)2 = x2 - y2 + (2xy)i ergibt der Vergleich der Koeffizienten bei Real- und Imaginärteil
Die zur x-Achse symmetrisch liegenden Hyperbeln (vgl. Abb. 2)
x2 - y2 = const gehen in vertikale Parallelen u = const über. Die zur ersten Winkelhalbierenden symmetrisch liegenden Hyperbeln 2xy = const gehen in waagrecht verlaufende Parallelen über.
Literatur Bearbeiten
- Klaus Fritzsche, Hans Grauert: From Holomorphic Functions to Complex Manifolds. Springer-Verlag, New York NY 2002, ISBN 0-387-95395-7 (Graduate Texts in Mathematics 213).
- Otto Forster: Riemannsche Flächen. Springer, Berlin u. a. 1977, ISBN 3-540-08034-1 (Heidelberger Taschenbücher 184), (Englisch: Lectures on Riemann Surfaces. Corrected 2nd printing. ebenda 1991, ISBN 3-540-90617-7 [Graduate Texts in Mathematics, 81]).
- K. Jänich: Einführung in die Funktionentheorie. Springer-Verlag, ISBN 3-540-08309-X.
Weblinks Bearbeiten
- E.D. Solomentsev: Biholomorphic mapping. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
Einzelnachweise Bearbeiten
- Klas Diederich, Reinhold Remmert: Funktionentheorie I. Springer, Berlin 1972.