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Kreisspiegelung Die Spiegelung am Kreis oder ist eine Abbildung der ebenen Geometrie die das Innere und das Äußere eines

Kreisspiegelung

Die Spiegelung am Kreis oder Kreisspiegelung ist eine Abbildung der ebenen Geometrie, die das Innere und das Äußere eines gegebenen Kreises miteinander vertauscht.

Die Abbildung ist winkeltreu und zählt zu den speziellen konformen Transformationen.

Eine Kreisspiegelung ist der ebene Fall einer (geometrischen) Inversion. Eine Inversion im Raum ist die Spiegelung an einer Kugel, kurz Kugelspiegelung, mit ähnlichen Eigenschaften wie die der Kreisspiegelung.

Zur Definition der Spiegelung an einem Kreis

Definition Bearbeiten

Für die Kreisspiegelung an einem Kreis mit Mittelpunkt und Radius ist der Bildpunkt eines Punktes dadurch festgelegt, dass auf einer Strecke bzw. auf einer Halbgeraden liegen und die Bedingung

erfüllen muss. Dabei darf der ursprüngliche Punkt nicht mit dem Mittelpunkt übereinstimmen. Gelegentlich umgeht man dieses Problem, indem man einen neuen Punkt zur Ebene hinzufügt und diesen als Bildpunkt von definiert. Der Bildpunkt dieses neuen Punktes ist der Mittelpunkt des Inversionskreises. Häufig ist nur der Mittelpunkt nicht jedoch der Radius wichtig, sodass man einen Kreis mit beliebigem Radius (z. B. 1) zeichnen kann.

Analytische Beschreibung Bearbeiten

Ist in einem kartesischen Koordinatensystem der Ursprung, so lässt sich die Spiegelung an dem Kreis durch

beschreiben.

In ebenen Polarkoordinaten besitzt eine Kreisspiegelung eine besonders einfache Darstellung:

Die Spiegelung am Einheitskreis ist dann

und rechtfertigt die Bezeichnung Inversion.

In der Funktionentheorie behandelt man die Inversionen und die von ihnen erzeugten Kreisverwandtschaften am besten in der komplexen („Gaußschen“) Zahlenebene. Eine Inversion am Einheitskreis wird dabei durch die Abbildung beschrieben. Darin bezeichnet eine komplexe Zahl und die zugehörige konjugiert komplexe Zahl.

Konstruktion Bearbeiten

Mit Zirkel und Lineal Bearbeiten

Bild 1: Konstruktion des am Inversionskreis (rot) gespiegelten Bildpunktes mit Zirkel und Lineal.
  • Liegt auf dem gegebenen Kreis, so ist gleich .
  • Falls der Punkt im Kreisinneren liegt (Bild 1), zeichnet man die zur Halbgeraden senkrechte Kreissehne durch und die beiden Kreistangenten in den Endpunkten dieser Sehne. ergibt sich dann als Schnittpunkt dieser Tangenten.
  • Liegt der Punkt dagegen außerhalb des Kreises, so beginnt man mit den beiden Kreistangenten durch mithilfe des Thaleskreises. Anschließend bringt man die Verbindungsstrecke der beiden Berührpunkte mit der Halbgeraden zum Schnitt. Der Schnittpunkt ist der gesuchte Bildpunkt .

Der Beweis, dass man so den Bildpunkt erhält, folgt direkt aus dem Kathetensatz.

Mit Zirkel allein Bearbeiten

Bild 2: Der Urbildpunkt wird nur mit Hilfe eines Zirkels am Inversionskreis (rot) gespiegelt, es ergibt sich der Bildpunkt

Liegt der Punkt außerhalb des Inversionskreises (Bild 2), so zeichnet man um einen Kreis durch den Mittelpunkt des Inversionskreises. Dieser schneidet den Inversionskreis in zwei Punkten. Zeichne auch um diese Punkte Kreise durch den Mittelpunkt. Diese beiden Kreise schneiden sich nun im Bildpunkt .

Liegt auf dem Inversionskreis, so ist keine Konstruktion notwendig, es gilt

Liegt innerhalb des Inversionskreises, kann z. B. mithilfe einer Einteilung der möglichen Lagen des Punktes in drei Bereiche (Bild 3–5), eine deutliche Vereinfachung des Konstruktionsaufwandes für zwei Bereiche erreicht werden. Hierfür stellt man sich, quasi gedanklich, eine Kreisfläche (hellgrau) vor, deren Radius gleich ist dem halben Radius des Inversionskreises. Für die eigentliche Konstruktion ist die Kreisfläche (hellgrau) nicht erforderlich. Die drei Bereiche der möglichen Lage des Punktes , meist gegeben als Abstand zum Mittelpunkt des Inverskreises, und die dafür möglichen Konstruktionsmethoden sind:

  1. Der Abstand des Punktes zu (Bild 3) ist größer als der halbe Radius des Inversionskreises, d. h.
Bild 3: Der Abstand des Punktes zu ist größer als der halbe Radius des Inversionskreises (rot), 
Bild 4: Der Abstand des Punktes zu ist gleich dem halben Radius des Inversionskreises (rot), 
  2. Der Abstand des Punktes zu (Bild 4) ist gleich dem halben Radius des Inversionskreises, d. h.
  2. Der Abstand des Punktes zu (Bild 5) ist kleiner als die Hälfte, aber größer als ein Achtel des Radius des Inversionskreises, d. h.
Bild 5: Der Abstand des Punktes zu ist kleiner als die Hälfte, aber größer als ein Achtel des Radius des Inversionskreises (rot),
  • Universelle Methode für Liegt innerhalb des Inversionskreises:

Mit anderen Hilfsmitteln Bearbeiten

Es gibt mechanische Geräte, die speziell für die Inversion am Kreis konstruiert wurden, zum Beispiel den Inversor von Peaucellier.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Die Abbildung vertauscht Inneres und Äußeres des Inversionskreises, die Punkte auf dem Rand sind Fixpunkte.
  • Wendet man die Inversion zweimal an, so erhält man wieder die Ausgangssituation, die Inversion ist also eine Involution.
  • Die Inversion ist eine konforme Abbildung, d. h., sie ist winkeltreu. Insbesondere werden Objekte, die einander berühren, auch wieder auf solche abgebildet.
  • Geraden, die durch den Mittelpunkt des Inversionskreises verlaufen, werden auf sich selbst abgebildet.
  • Geraden, die nicht durch den Mittelpunkt verlaufen, werden auf Kreise abgebildet, die durch den Mittelpunkt gehen.
  • Kreise, die durch den Mittelpunkt verlaufen, werden auf Geraden abgebildet, die nicht durch den Mittelpunkt gehen.
  • Kreise, die nicht durch den Mittelpunkt des Inversionskreises verlaufen, werden wieder auf solche Kreise abgebildet. Allerdings wird der Mittelpunkt des ursprünglichen Kreises durch die Inversion nicht auf den Mittelpunkt des Bildkreises abgebildet.
  • Insbesondere werden Kreise, die den Inversionskreis rechtwinklig schneiden, auf sich selbst abgebildet.

Da die Inversion also nicht geradentreu ist, ist sie im Gegensatz zur Punkt-, Achsen- oder Ebenenspiegelung keine Kongruenzabbildung.

Literatur Bearbeiten

  • Coxeter, H. S. M., und S. L. Greitzer: Zeitlose Geometrie, Klett Stuttgart 1983
  • Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 121–127 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry), S. 43–57

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L.:Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer. 1967, S. 108 5.3 Inversion (Auszug (Google)) – englische Originalausgabe von Zeitlose Geometrie.
  2. David A. Brannan, Matthew F. Esplen, Jeremy J. Gray: Geometry. Cambridge University Press 1999, 2. Auflage 2011, ISBN 978-1-107-64783-1, S. 281–283 (Auszug (Google))
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Veröffentlichungsdatum:
Die Spiegelung am Kreis oder Kreisspiegelung ist eine Abbildung der ebenen Geometrie die das Innere und das Aussere eines gegebenen Kreises miteinander vertauscht Die Abbildung ist winkeltreu und zahlt zu den speziellen konformen Transformationen Eine Kreisspiegelung ist der ebene Fall einer geometrischen Inversion Eine Inversion im Raum ist die Spiegelung an einer Kugel kurz Kugelspiegelung mit ahnlichen Eigenschaften wie die der Kreisspiegelung Zur Definition der Spiegelung an einem KreisInhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Analytische Beschreibung 3 Konstruktion 3 1 Mit Zirkel und Lineal 3 2 Mit Zirkel allein 3 3 Mit anderen Hilfsmitteln 4 Eigenschaften 5 Literatur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenFur die Kreisspiegelung an einem Kreis mit Mittelpunkt M displaystyle M nbsp und Radius R displaystyle R nbsp ist der Bildpunkt P displaystyle P nbsp eines Punktes P displaystyle P nbsp dadurch festgelegt dass P displaystyle P nbsp auf einer Strecke M P displaystyle overline MP nbsp bzw auf einer Halbgeraden M P displaystyle MP nbsp liegen und die Bedingung M P R 2 M P displaystyle overline MP frac R 2 overline MP nbsp erfullen muss 1 Dabei darf der ursprungliche Punkt P displaystyle P nbsp nicht mit dem Mittelpunkt M displaystyle M nbsp ubereinstimmen Gelegentlich umgeht man dieses Problem indem man einen neuen Punkt zur Ebene hinzufugt und diesen als Bildpunkt von M displaystyle M nbsp definiert Der Bildpunkt dieses neuen Punktes ist der Mittelpunkt des Inversionskreises Haufig ist nur der Mittelpunkt M displaystyle M nbsp nicht jedoch der Radius R displaystyle R nbsp wichtig sodass man einen Kreis mit beliebigem Radius z B 1 zeichnen kann Analytische Beschreibung BearbeitenIst in einem kartesischen Koordinatensystem M displaystyle M nbsp der Ursprung so lasst sich die Spiegelung an dem Kreis x 2 y 2 R 2 displaystyle x 2 y 2 R 2 nbsp durch x y R 2 x y x 2 y 2 displaystyle x y rightarrow frac R 2 cdot x y x 2 y 2 nbsp beschreiben In ebenen Polarkoordinaten r f displaystyle r varphi nbsp besitzt eine Kreisspiegelung eine besonders einfache Darstellung r f R 2 r f displaystyle r varphi rightarrow left frac R 2 r varphi right nbsp Die Spiegelung am Einheitskreis ist dann r f 1 r f displaystyle r varphi rightarrow left frac 1 r varphi right nbsp und rechtfertigt die Bezeichnung Inversion In der Funktionentheorie behandelt man die Inversionen und die von ihnen erzeugten Kreisverwandtschaften am besten in der komplexen Gaussschen Zahlenebene Eine Inversion am Einheitskreis wird dabei durch die Abbildung z 1 z displaystyle z mapsto frac 1 overline z nbsp beschrieben 2 Darin bezeichnet z displaystyle z nbsp eine komplexe Zahl und z displaystyle overline z nbsp die zugehorige konjugiert komplexe Zahl Konstruktion BearbeitenMit Zirkel und Lineal Bearbeiten nbsp Bild 1 Konstruktion des am Inversionskreis rot gespiegelten Bildpunktes P displaystyle P nbsp mit Zirkel und Lineal Liegt P displaystyle P nbsp auf dem gegebenen Kreis so ist P displaystyle P nbsp gleich P displaystyle P nbsp Falls der Punkt P displaystyle P nbsp im Kreisinneren liegt Bild 1 zeichnet man die zur Halbgeraden M P displaystyle MP nbsp senkrechte Kreissehne durch P displaystyle P nbsp und die beiden Kreistangenten in den Endpunkten dieser Sehne P displaystyle P nbsp ergibt sich dann als Schnittpunkt dieser Tangenten Liegt der Punkt P displaystyle P nbsp dagegen ausserhalb des Kreises so beginnt man mit den beiden Kreistangenten durch P displaystyle P nbsp mithilfe des Thaleskreises Anschliessend bringt man die Verbindungsstrecke der beiden Beruhrpunkte mit der Halbgeraden M P displaystyle MP nbsp zum Schnitt Der Schnittpunkt ist der gesuchte Bildpunkt P displaystyle P nbsp Der Beweis dass man so den Bildpunkt erhalt folgt direkt aus dem Kathetensatz Mit Zirkel allein Bearbeiten nbsp Bild 2 Der Urbildpunkt P displaystyle P nbsp wird nur mit Hilfe eines Zirkels am Inversionskreis rot gespiegelt es ergibt sich der Bildpunkt P displaystyle P nbsp Liegt der Punkt P displaystyle P nbsp ausserhalb des Inversionskreises Bild 2 so zeichnet man um P displaystyle P nbsp einen Kreis durch den Mittelpunkt des Inversionskreises Dieser schneidet den Inversionskreis in zwei Punkten Zeichne auch um diese Punkte Kreise durch den Mittelpunkt Diese beiden Kreise schneiden sich nun im Bildpunkt P displaystyle P nbsp Liegt P displaystyle P nbsp auf dem Inversionskreis so ist keine Konstruktion notwendig es gilt P P displaystyle P P nbsp Liegt P displaystyle P nbsp innerhalb des Inversionskreises kann z B mithilfe einer Einteilung der moglichen Lagen des Punktes P displaystyle P nbsp in drei Bereiche Bild 3 5 eine deutliche Vereinfachung des Konstruktionsaufwandes fur zwei Bereiche erreicht werden Hierfur stellt man sich quasi gedanklich eine Kreisflache hellgrau vor deren Radius gleich ist dem halben Radius des Inversionskreises Fur die eigentliche Konstruktion ist die Kreisflache hellgrau nicht erforderlich Die drei Bereiche der moglichen Lage des Punktes P displaystyle P nbsp meist gegeben als Abstand zum Mittelpunkt M displaystyle M nbsp des Inverskreises und die dafur moglichen Konstruktionsmethoden sind Der Abstand des Punktes P displaystyle P nbsp zu M displaystyle M nbsp Bild 3 ist grosser als der halbe Radius des Inversionskreises d h M P gt 1 2 R displaystyle overline MP gt frac 1 2 R nbsp Zuerst wird um den Punkt P displaystyle P nbsp ein Kreis mit Radius M P displaystyle overline MP nbsp gezogen Dieser schneidet den Inversionskreis in den Punkten A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp Die abschliessenden Kreise um A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp mit den Radien A M displaystyle overline AM nbsp bzw B M displaystyle overline BM nbsp liefern den Bildpunkt P displaystyle P nbsp dd nbsp Bild 3 Der Abstand des Punktes P displaystyle P nbsp zu M displaystyle M nbsp ist grosser als der halbe Radius des Inversionskreises rot M P gt 1 2 R displaystyle overline MP gt frac 1 2 R nbsp nbsp Bild 4 Der Abstand des Punktes P displaystyle P nbsp zu M displaystyle M nbsp ist gleich dem halben Radius des Inversionskreises rot M P 1 2 R displaystyle overline MP frac 1 2 R nbsp Der Abstand des Punktes P displaystyle P nbsp zu M displaystyle M nbsp Bild 4 ist gleich dem halben Radius des Inversionskreises d h M P 1 2 R displaystyle overline MP frac 1 2 R nbsp Zuerst wird um den Punkt P displaystyle P nbsp ein Kreis mit Radius M P displaystyle overline MP nbsp gezogen und anschliessend mittels dreimaligem Abtragen dieses Radius ab dem Punkt M displaystyle M nbsp sein Durchmesser M C displaystyle overline MC nbsp bestimmt Als Nachstes wird der letzte Kreis mit dem Radius M C displaystyle overline MC nbsp um den Punkt C displaystyle C nbsp gezogen Abschliessend bedarf es noch eines zweimaligen Abtragens dieses Radius ab den soeben erzeugten Schnittpunkt D displaystyle D nbsp um den Bildpunkt P displaystyle P nbsp zu erhalten dd Der Abstand des Punktes P displaystyle P nbsp zu M displaystyle M nbsp Bild 5 ist kleiner als die Halfte aber grosser als ein Achtel des Radius des Inversionskreises d h 1 8 R lt M P lt 1 2 R displaystyle frac 1 8 R lt overline MP lt frac 1 2 R nbsp nbsp Bild 5 Der Abstand des Punktes P displaystyle P nbsp zu M displaystyle M nbsp ist kleiner als die Halfte aber grosser als ein Achtel des Radius des Inversionskreises rot 1 8 R lt M P lt 1 2 R displaystyle frac 1 8 R lt overline MP lt frac 1 2 R nbsp Im nebenstehenden Bild 5 veranschaulicht die kleine Kreisflache rosa ein Achtel des Radius des Inversionskreises Fur die eigentliche Konstruktion ist die Kreisflache rosa nicht erforderlich Dies gilt ebenso fur die eingezeichneten gepunkteten Linien sie sollen lediglich einen Vergleich mit der Konstruktion Mit Zirkel und Lineal verdeutlichen Zuerst wird um den Punkt P displaystyle P nbsp ein Kreis mit Radius M P displaystyle overline MP nbsp gezogen und anschliessend durch ein dreimaliges Abtragen dieses Radius sein Durchmesser M C displaystyle overline MC nbsp bestimmt Es folgt ein Kreisbogen um C displaystyle C nbsp mit Radius M C displaystyle overline MC nbsp auf dem analog zuvor der Durchmesser M F displaystyle overline MF nbsp erzeugt wird Nun wird ein Kreisbogen um F displaystyle F nbsp mit Radius M F displaystyle overline MF nbsp gezogen der den Inversionskreis in G displaystyle G nbsp und H displaystyle H nbsp schneidet Je ein Kreisbogen um G displaystyle G nbsp und H displaystyle H nbsp mit den Radien M G displaystyle overline MG nbsp bzw M H displaystyle overline MH nbsp schliessen sich an und schneiden sich in I displaystyle I nbsp Um I displaystyle I nbsp wird ein Kreisbogen mit Radius M I displaystyle overline MI nbsp gezogen auf dem analog zuvor der Durchmesser M L displaystyle overline ML nbsp erzeugt wird Als Nachstes wird der letzte Kreis mit dem Radius M L displaystyle overline ML nbsp um den Punkt L displaystyle L nbsp gezogen Abschliessend bedarf es noch eines dreimaligen Abtragens dieses Radius ab dem Punkt M displaystyle M nbsp um den Bildpunkt P displaystyle P nbsp zu erhalten dd Universelle Methode fur Liegt P displaystyle P nbsp innerhalbdes Inversionskreises Zunachst halbiert man den Radius des Inversionskreises so oft bis man einen neuen Kreis erhalt der den Punkt P displaystyle P nbsp nicht mehr enthalt Dies ist mit Zirkel allein moglich Anschliessend konstruiert man wie oben Bild 2 den Bildpunkt von P displaystyle P nbsp wobei die Inversion am neuen Kreis durchgefuhrt wird Zuletzt verdoppelt man den Abstand des Bildpunktes doppelt so oft wie man den Radius halbiert hat Auch dies ist mit Zirkel allein moglich Dieser Punkt ist der gesuchte Bildpunkt Auf Grund der Komplexitat dieses Verfahrens wird man die Konstruktion wohl kaum durchfuhren sie bietet aber eine Moglichkeit den Satz von Mohr Mascheroni zu beweisen der besagt dass man mit Zirkel allein alle Konstruktionen durchfuhren kann die mit Zirkel und Lineal moglich sind Mit anderen Hilfsmitteln Bearbeiten Es gibt mechanische Gerate die speziell fur die Inversion am Kreis konstruiert wurden zum Beispiel den Inversor von Peaucellier Eigenschaften BearbeitenDie Abbildung vertauscht Inneres und Ausseres des Inversionskreises die Punkte auf dem Rand sind Fixpunkte Wendet man die Inversion zweimal an so erhalt man wieder die Ausgangssituation die Inversion ist also eine Involution Die Inversion ist eine konforme Abbildung d h sie ist winkeltreu Insbesondere werden Objekte die einander beruhren auch wieder auf solche abgebildet Die Inversion kehrt wie die Geradenspiegelung die Orientierung um Geraden die durch den Mittelpunkt des Inversionskreises verlaufen werden auf sich selbst abgebildet Geraden die nicht durch den Mittelpunkt verlaufen werden auf Kreise abgebildet die durch den Mittelpunkt gehen Kreise die durch den Mittelpunkt verlaufen werden auf Geraden abgebildet die nicht durch den Mittelpunkt gehen Kreise die nicht durch den Mittelpunkt des Inversionskreises verlaufen werden wieder auf solche Kreise abgebildet Allerdings wird der Mittelpunkt des ursprunglichen Kreises durch die Inversion nicht auf den Mittelpunkt des Bildkreises abgebildet Insbesondere werden Kreise die den Inversionskreis rechtwinklig schneiden auf sich selbst abgebildet Da die Inversion also nicht geradentreu ist ist sie im Gegensatz zur Punkt Achsen oder Ebenenspiegelung keine Kongruenzabbildung Literatur BearbeitenCoxeter H S M und S L Greitzer Zeitlose Geometrie Klett Stuttgart 1983 Roger A Johnson Advanced Euclidean Geometry Dover 2007 ISBN 978 0 486 46237 0 S 121 127 Erstveroffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company Boston unter dem Titel Modern Geometry S 43 57Weblinks BearbeitenVladimir S Matveev Inversion am Kreis Kreisspiegelung Teil eines Skripts zur Linearen Algebra der Uni Jena PDF 828 kB Inversion auf cut the knot engl Eric W Weisstein Inversion In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten Coxeter H S M Greitzer S L Geometry Revisited Washington DC Math Assoc Amer 1967 S 108 5 3 Inversion Auszug Google englische Originalausgabe von Zeitlose Geometrie David A Brannan Matthew F Esplen Jeremy J Gray Geometry Cambridge University Press 1999 2 Auflage 2011 ISBN 978 1 107 64783 1 S 281 283 Auszug Google Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kreisspiegelung amp oldid 225922247