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Einheitskreis In der Mathematik ist der der Kreis dessen Radius die Länge 1 hat und dessen Mittelpunkt mit dem Koordinat

Einheitskreis

In der Mathematik ist der Einheitskreis der Kreis, dessen Radius die Länge 1 hat und dessen Mittelpunkt mit dem Koordinatenursprung eines kartesischen Koordinatensystems der Ebene übereinstimmt. Der Einheitskreis besteht also aus den Punkten der Ebene, für die gilt.

Punkte auf dem Einheitskreis

Die Menge der Punkte der Ebene, für die gilt, bezeichnet man als Einheitskreisscheibe. Ihr Inneres, also die Menge der Punkte der Ebene, für die gilt, ist die offene Einheitskreisscheibe.

Trigonometrische Zusammenhänge Bearbeiten

Trigonometrische Funktionen am Einheitskreis (Animation)

Liegt ein Punkt auf dem Einheitskreis, dann kann man einen Winkel zu der x-Achse (Abszisse) definieren, unter dem vom Ursprung des Koordinatensystems aus gesehen wird. Für die Koordinaten von gilt dann

Unter Zuhilfenahme der Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck lassen sich folgende Zusammenhänge aufstellen:

Außerdem existieren noch die wenig gebräuchlichen Funktionen Sekans und Kosekans, die definiert sind als die Kehrwertfunktionen von Kosinus und Sinus.

Die orientierte Länge der Tangente an den Kreis, welche senkrecht auf der x-Achse steht, bis zum Scheitelpunkt des Winkels ist der Tangens von .

Der Einheitskreis kann auch über die Eulersche Identität in der Komplexen Zahlenebene dargestellt werden:

Rationale Parametrisierung Bearbeiten

Rationale Parametrisierung

Auch ohne Rückgriff auf trigonometrische Funktionen lassen sich alle Punkte des Einheitskreises finden. Sei eine beliebige reelle Zahl. Ein Schnittpunkt der Geraden durch und mit dem Einheitskreis ist trivialerweise . Der andere befindet sich bei , und durchläuft, wenn ganz durchläuft, den ganzen Kreis. Der Punkt wird dabei allerdings nur nach dem Grenzübergang erreicht.

Diese Parametrisierung ist für alle Körper geeignet. Für rationale erhält man aus ihr durch elementare Umformungen pythagoräische Tripel .

Andere Normen Bearbeiten

Wird eine andere Norm als die euklidische Norm zur Abstandsmessung benutzt, so ist die Form des Einheitskreises im kartesischen Koordinatensystem eine andere. So ist zum Beispiel der Einheitskreis für die Maximumsnorm ein Quadrat mit den Ecken und der Einheitskreis für die Summennorm ein Quadrat mit den Ecken und .

Weblinks Bearbeiten

Wikibooks: Trigonometrie (Schulmathematik) – Lern- und Lehrmaterialien
Commons: Unit circles – Sammlung von Bildern
Wiktionary: Einheitskreis – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
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In der Mathematik ist der Einheitskreis der Kreis dessen Radius die Lange 1 hat und dessen Mittelpunkt mit dem Koordinatenursprung eines kartesischen Koordinatensystems der Ebene ubereinstimmt Der Einheitskreis besteht also aus den Punkten x y displaystyle x y der Ebene fur die x 2 y 2 1 displaystyle x 2 y 2 1 gilt Punkte auf dem Einheitskreis cos f sin f displaystyle cos varphi sin varphi Die Menge der Punkte x y displaystyle x y der Ebene fur die x 2 y 2 1 displaystyle x 2 y 2 leq 1 gilt bezeichnet man als Einheitskreisscheibe Ihr Inneres also die Menge der Punkte x y displaystyle x y der Ebene fur die x 2 y 2 lt 1 displaystyle x 2 y 2 lt 1 gilt ist die offene Einheitskreisscheibe Inhaltsverzeichnis 1 Trigonometrische Zusammenhange 2 Rationale Parametrisierung 3 Andere Normen 4 WeblinksTrigonometrische Zusammenhange Bearbeiten nbsp Trigonometrische Funktionen am Einheitskreis Animation Liegt ein Punkt P displaystyle P nbsp auf dem Einheitskreis dann kann man einen Winkel f displaystyle varphi nbsp zu der x Achse Abszisse definieren unter dem P displaystyle P nbsp vom Ursprung des Koordinatensystems aus gesehen wird Fur die Koordinaten x p y p displaystyle x p y p nbsp von P displaystyle P nbsp gilt dann x p cos f displaystyle x p cos varphi nbsp y p sin f displaystyle y p sin varphi nbsp und y p x p tan f displaystyle y p x p tan varphi nbsp Unter Zuhilfenahme der Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck lassen sich folgende Zusammenhange aufstellen sin f Gegenkathete Hypotenuse displaystyle sin varphi frac text Gegenkathete text Hypotenuse nbsp cos f Ankathete Hypotenuse displaystyle cos varphi frac text Ankathete text Hypotenuse nbsp tan f Gegenkathete Ankathete displaystyle tan varphi frac text Gegenkathete text Ankathete nbsp cot f Ankathete Gegenkathete displaystyle cot varphi frac text Ankathete text Gegenkathete nbsp Ausserdem existieren noch die wenig gebrauchlichen Funktionen Sekans und Kosekans die definiert sind als die Kehrwertfunktionen von Kosinus und Sinus Die orientierte Lange der Tangente an den Kreis welche senkrecht auf der x Achse steht bis zum Scheitelpunkt des Winkels ist der Tangens von f displaystyle varphi nbsp Der Einheitskreis kann auch uber die Eulersche Identitat in der Komplexen Zahlenebene dargestellt werden e i f cos f i sin f displaystyle e i varphi cos left varphi right i sin left varphi right nbsp Rationale Parametrisierung Bearbeiten nbsp Rationale ParametrisierungAuch ohne Ruckgriff auf trigonometrische Funktionen lassen sich alle Punkte des Einheitskreises finden Sei t displaystyle t nbsp eine beliebige reelle Zahl Ein Schnittpunkt der Geraden durch 1 0 displaystyle 1 0 nbsp und 0 t displaystyle 0 t nbsp mit dem Einheitskreis ist trivialerweise 1 0 displaystyle 1 0 nbsp Der andere befindet sich bei 1 t 2 1 t 2 2 t 1 t 2 displaystyle left tfrac 1 t 2 1 t 2 tfrac 2t 1 t 2 right nbsp und durchlauft wenn t displaystyle t nbsp ganz R displaystyle mathbb R nbsp durchlauft den ganzen Kreis Der Punkt 1 0 displaystyle 1 0 nbsp wird dabei allerdings nur nach dem Grenzubergang t displaystyle t to pm infty nbsp erreicht Diese Parametrisierung ist fur alle Korper geeignet Fur rationale t p q displaystyle t p q nbsp erhalt man aus ihr durch elementare Umformungen pythagoraische Tripel q 2 p 2 2 p q q 2 p 2 displaystyle q 2 p 2 2pq q 2 p 2 nbsp Andere Normen BearbeitenWird eine andere Norm als die euklidische Norm zur Abstandsmessung benutzt so ist die Form des Einheitskreises im kartesischen Koordinatensystem eine andere So ist zum Beispiel der Einheitskreis fur die Maximumsnorm ein Quadrat mit den Ecken 1 1 displaystyle pm 1 pm 1 nbsp und der Einheitskreis fur die Summennorm ein Quadrat mit den Ecken 1 0 displaystyle pm 1 0 nbsp und 0 1 displaystyle 0 pm 1 nbsp Weblinks Bearbeiten nbsp Wikibooks Trigonometrie Schulmathematik Lern und Lehrmaterialien nbsp Commons Unit circles Sammlung von Bildern nbsp Wiktionary Einheitskreis Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Einfuhrung Sinus und Kosinus am Einheitskreis Video Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Einheitskreis amp oldid 215785637