Die Divergenz eines Vektorfeldes ist ein Skalarfeld das an jedem Punkt angibt wie sehr die Vektoren in einer kleinen Umgebung des Punktes auseinanderstreben lateinisch divergere Interpretiert man das Vektorfeld als Stromungsfeld einer Grosse fur die die Kontinuitatsgleichung gilt dann ist die Divergenz die Quelldichte Senken haben negative Divergenz Ist die Divergenz uberall gleich null so bezeichnet man das Feld als quellenfrei Die Divergenz ergibt sich aus dem Vektorfeld durch Anwendung eines Differentialoperators Verwandte Differentialoperatoren liefern die Rotation eines Vektorfeldes und den Gradienten eines Skalarfeldes Das mathematische Gebiet ist die Vektoranalysis In der Physik wird die Divergenz zum Beispiel bei der Formulierung der Maxwell Gleichungen oder der verschiedenen Kontinuitatsgleichungen verwendet Im Ricci Kalkul wird die mit Hilfe der kovarianten Ableitung gebildete Grosse k T i k displaystyle nabla k T ik manchmal etwas ungenau als Divergenz eines Tensors T i k displaystyle T ik bezeichnet fur diese Grosse gilt auf gekrummten Mannigfaltigkeiten zum Beispiel nicht der Gausssche Integralsatz Inhaltsverzeichnis 1 Beispiel aus der Physik 2 Definition 3 Die Divergenz als Quellendichte 3 1 Koordinatenfreie Darstellung 3 2 Herleitung der kartesischen Darstellung 3 3 Kovariantes Verhalten bei Drehungen und Verschiebungen 4 Ein Zerlegungs Theorem 5 Eigenschaften 5 1 Im n dimensionalen Raum 5 2 Im dreidimensionalen Raum 5 3 Beispiele 6 Gaussscher Integralsatz 6 1 Aussage 6 2 Punktformige Quelle 7 Zylinder und Kugelkoordinaten 8 Inverse 9 Divergenz auf riemannschen Mannigfaltigkeiten 9 1 Definition 9 2 Transportsatz und geometrische Interpretation 10 Divergenz von Tensoren zweiter Stufe 10 1 Definition 10 2 Komponenten der Divergenz eines Tensors 10 2 1 Divergenz eines Tensors in kartesischen Koordinaten 10 2 2 Divergenz eines Tensors in Zylinderkoordinaten 10 2 3 Divergenz eines Tensors in Kugelkoordinaten 10 3 Eigenschaften 10 3 1 Im n dimensionalen Raum 10 3 2 Im dreidimensionalen Raum 10 4 Gaussscher Integralsatz 10 5 Expansionsrate 11 Weblinks 12 Siehe auch 13 Einzelnachweise 14 LiteraturBeispiel aus der Physik BearbeitenMan betrachtet zum Beispiel eine ruhige Wasseroberflache auf die ein dunner Strahl Ol trifft Die Bewegung des Ols auf der Oberflache kann durch ein zweidimensionales zeitabhangiges Vektorfeld beschrieben werden An jedem Punkt ist zu jedem beliebigen Zeitpunkt die Fliessgeschwindigkeit des Ols in Form eines Vektors gegeben Die Stelle an der der Strahl auf die Wasseroberflache trifft ist eine Olquelle da von dort Ol wegfliesst ohne dass es einen Zufluss auf der Oberflache geben wurde Die Divergenz an dieser Stelle ist positiv Im Gegensatz dazu bezeichnet man eine Stelle an der das Ol beispielsweise am Rand aus dem Wasserbecken abfliesst als Senke Die Divergenz an dieser Stelle ist negativ Definition BearbeitenSei F R n R n x 1 x n F 1 F n displaystyle vec F colon mathbb R n to mathbb R n x 1 dots x n mapsto F 1 dots F n nbsp ein differenzierbares Vektorfeld Dann ist die Divergenz von F displaystyle vec F nbsp definiert als div F F x 1 x n F 1 F n x 1 F 1 x n F n displaystyle operatorname div vec F nabla cdot vec F left tfrac partial partial x 1 dotsc tfrac partial partial x n right cdot left F 1 dotsc F n right tfrac partial partial x 1 F 1 dotsb tfrac partial partial x n F n nbsp Die Divergenz ist das Skalarprodukt des Nabla Operators displaystyle nabla nbsp mit dem Vektorfeld F displaystyle vec F nbsp Bei der Divergenz handelt es sich um einen Operator auf einem Vektorfeld der in einem skalaren Feld resultiert div C 1 R n R n C 0 R n R displaystyle operatorname div cdot colon C 1 left mathbb R n mathbb R n right to C 0 left mathbb R n mathbb R right nbsp Fur den Fall eines dreidimensionalen Vektorfeldes F x 1 x 2 x 3 displaystyle vec F x 1 x 2 x 3 nbsp ist die Divergenz in kartesischen Koordinaten definiert als div C 1 R 3 R 3 C 0 R 3 R F F 1 F 2 F 3 x 1 F 1 x 2 F 2 x 3 F 3 displaystyle begin matrix operatorname div colon amp C 1 left mathbb R 3 mathbb R 3 right amp to amp C 0 left mathbb R 3 mathbb R right amp vec F left F 1 F 2 F 3 right amp mapsto amp frac partial partial x 1 F 1 frac partial partial x 2 F 2 frac partial partial x 3 F 3 end matrix nbsp Bei der Schreibweise F displaystyle nabla cdot vec F nbsp ist es wichtig den Multiplikationspunkt zwischen displaystyle nabla nbsp und dem Vektorfeld F displaystyle vec F nbsp zu schreiben da der displaystyle nabla nbsp Operator sonst als Gradient der Vektorkomponenten geschrieben F displaystyle nabla vec F nbsp zu verstehen ware Die Divergenz als Quellendichte BearbeitenInterpretiert man ein Vektorfeld F R n R n displaystyle vec F colon mathbb R n to mathbb R n nbsp als Stromungsfeld so beschreibt dessen totales Differenzial D F R n R n n displaystyle DF colon mathbb R n to mathbb R n times n nbsp ein Beschleunigungsfeld Ist in einem Punkt x 0 R n displaystyle x 0 in mathbb R n nbsp die Beschleunigungsmatrix D F x 0 displaystyle DF x 0 nbsp diagonalisierbar so beschreibt jeder Eigenwert l i x 0 displaystyle lambda i x 0 nbsp die Beschleunigung in Richtung des zugehorigen Eigenvektors u i x 0 displaystyle u i x 0 nbsp Jeder positive Eigenwert beschreibt also die Intensitat einer gerichteten Quelle und jeder negative Eigenwert die gerichtete Intensitat einer Senke Addiert man diese Eigenwerte so erhalt man die resultierende Intensitat einer Quelle bzw Senke Da die Summe der Eigenwerte l i x 0 displaystyle lambda i x 0 nbsp gerade die Spur der Beschleunigungsmatrix D F x 0 displaystyle DF x 0 nbsp ist wird die Quellenintensitat durch Spur D F i 1 n x i F i div F displaystyle operatorname Spur DF sum i 1 n frac partial partial x i F i operatorname div vec F nbsp gemessen Die Divergenz kann in diesem Sinne als Quellendichte interpretiert werden Koordinatenfreie Darstellung Bearbeiten Fur die Interpretation der Divergenz als Quellendichte ist die folgende koordinatenfreie Definition in der Form einer Volumenableitung wichtig hier fur den Fall n 3 div F lim D V 0 1 D V D V F n d S displaystyle operatorname div vec F lim Delta V to 0 left frac 1 Delta V oint partial Delta V vec F cdot vec n mathrm d S right nbsp Dabei ist D V displaystyle Delta V nbsp ein beliebiges Volumen zum Beispiel eine Kugel oder ein Parallelepiped D V displaystyle Delta V nbsp ist sein Inhalt Es wird uber den Rand D V displaystyle partial Delta V nbsp dieses Volumenelements integriert n displaystyle vec n nbsp ist die nach aussen gerichtete Normale und d S displaystyle mathrm d S nbsp das zugehorige Flachenelement Man findet hierzu auch die Schreibweise mit d S n d S displaystyle mathrm d vec S vec n cdot mathrm d S nbsp Fur n gt 3 kann diese Aussage leicht verallgemeinert werden indem man n dimensionale Volumina und ihre n 1 dimensionalen Randflachen betrachtet Bei Spezialisierung auf infinitesimale Wurfel oder Quader erhalt man die bekannte Darstellung in kartesischen Koordinaten div F i 1 n F i x i displaystyle operatorname div vec F sum i 1 n frac partial F i partial x i nbsp In orthogonalen krummlinigen Koordinaten zum Beispiel Kugelkoordinaten oder elliptischen Koordinaten also fur d r i 1 n a i u 1 u n d u i e i u 1 u n displaystyle textstyle mathrm d vec r sum i 1 n a i u 1 dots u n cdot mathrm d u i hat e i u 1 dots u n nbsp mit e i e k d i k displaystyle hat e i cdot hat e k delta i k nbsp wobei F i 1 n F i u 1 u n e i displaystyle textstyle vec F sum i 1 n F i u 1 dots u n hat e i nbsp ist wobei also nicht die d u i displaystyle mathrm d u i nbsp sondern die a i d u i displaystyle a i cdot mathrm d u i nbsp die physikalische Dimension einer Lange haben gilt dagegen etwas allgemeiner div F a 1 a 2 a n 1 u 1 a 2 a 3 a n 1 a n F 1 displaystyle operatorname div vec F a 1 cdot a 2 cdot ldots cdot a n 1 left frac partial partial u 1 a 2 cdot a 3 cdot ldots cdot a n 1 cdot a n F 1 dots right nbsp wobei die Punkte am Ende weitere Terme beinhalten die durch fortgesetzte zyklische Permutationen erzeugt nach dem Schema 1 2 2 3 n 1 n n 1 displaystyle 1 to 2 2 to 3 dots n 1 to n n to 1 nbsp usw aus dem angeschriebenen folgen Herleitung der kartesischen Darstellung Bearbeiten Zur Herleitung der kartesischen Darstellung der Divergenz aus der koordinatenfreien Darstellung betrachte man einen infinitesimalen Wurfel x 1 x 1 D x 1 x n x n D x n displaystyle x 1 x 1 Delta x 1 ldots x n x n Delta x n nbsp 1 D V D V F n d S 1 D x 1 D x 2 D x n x 2 x 2 D x 2 x n x n D x n F x 1 D x 1 x 2 x n F x 1 x 2 x n e 1 d x 2 d x n 1 D x 1 D x 2 D x n x 1 x 1 D x 1 x n 1 x n 1 D x n 1 F x 1 x n 1 x n D x n F x 1 x n 1 x n e n d x 1 d x n 1 displaystyle begin aligned frac 1 Delta V int limits partial Delta V vec F cdot vec n mathrm d S amp frac 1 Delta x 1 Delta x 2 ldots Delta x n left int limits x 2 x 2 Delta x 2 ldots int limits x n x n Delta x n left vec F x 1 Delta x 1 x 2 ldots x n vec F x 1 x 2 ldots x n right cdot hat e 1 mathrm d x 2 ldots mathrm d x n right ldots amp frac 1 Delta x 1 Delta x 2 ldots Delta x n left int limits x 1 x 1 Delta x 1 ldots int limits x n 1 x n 1 Delta x n 1 left vec F x 1 ldots x n 1 x n Delta x n vec F x 1 ldots x n 1 x n right cdot hat e n mathrm d x 1 ldots mathrm d x n 1 right end aligned nbsp Nun wendet man den Mittelwertsatz der Integralrechnung an wobei die gestrichenen Grossen x i displaystyle x i nbsp aus dem Intervall x i x i D x i displaystyle x i x i Delta x i nbsp sind 1 D V D V F n d S F x 1 D x 1 x 2 x n F x 1 x 2 x n e 1 D x 1 1 D x 2 x 2 x 2 D x 2 d x 2 1 1 D x n x n x n D x n d x n 1 F x 1 x n 1 x n D x n F x 1 x n 1 x n e n D x n 1 D x 1 x 1 x 1 D x 1 d x 1 1 D x n 1 x n 1 x n 1 D x n 1 d x n 1 displaystyle begin aligned frac 1 Delta V int limits partial Delta V vec F cdot vec n mathrm d S amp frac left vec F x 1 Delta x 1 x 2 ldots x n vec F x 1 x 2 ldots x n right cdot hat e 1 Delta x 1 underbrace left frac 1 Delta x 2 int limits x 2 x 2 Delta x 2 mathrm d x 2 right 1 ldots underbrace left frac 1 Delta x n int limits x n x n Delta x n mathrm d x n right 1 ldots amp frac left vec F x 1 ldots x n 1 x n Delta x n vec F x 1 ldots x n 1 x n right cdot hat e n Delta x n left frac 1 Delta x 1 int limits x 1 x 1 Delta x 1 mathrm d x 1 ldots frac 1 Delta x n 1 int limits x n 1 x n 1 Delta x n 1 mathrm d x n 1 right end aligned nbsp Somit bleibt nur die Summe der Differenzenquotienten ubrig 1 D V D V F n d S F 1 x 1 D x 1 x 2 x n F 1 x 1 x 2 x n D x 1 F n x 1 x n 1 x n D x n F n x 1 x n 1 x n D x n displaystyle frac 1 Delta V int limits partial Delta V vec F cdot vec n mathrm d S frac F 1 x 1 Delta x 1 x 2 ldots x n F 1 x 1 x 2 ldots x n Delta x 1 ldots frac F n x 1 ldots x n 1 x n Delta x n F n x 1 ldots x n 1 x n Delta x n nbsp die im Grenzubergang D x i 0 displaystyle Delta x i to 0 nbsp zu partiellen Ableitungen werden div F x 1 x 2 x n F 1 x 1 x 1 x 2 x n F n x n x 1 x 2 x n displaystyle operatorname div vec F x 1 x 2 ldots x n frac partial F 1 partial x 1 x 1 x 2 ldots x n ldots frac partial F n partial x n x 1 x 2 ldots x n nbsp Kovariantes Verhalten bei Drehungen und Verschiebungen Bearbeiten Der Divergenz Operator kommutiert mit raumlichen Drehungen und Verschiebungen eines Vektorfeldes d h die Reihenfolge dieser Operationen macht keinen Unterschied Begrundung Wenn das Vektorfeld F displaystyle vec F nbsp im Raum gedreht oder parallel verschoben wird braucht man in der oben gegebenen koordinatenunabhangigen Darstellung nur die Flachen und Volumenelemente in derselben Weise zu drehen um wieder auf denselben skalaren Ausdruck zu kommen Das Skalarfeld div F displaystyle operatorname div vec F nbsp dreht und verschiebt sich also in gleicher Weise wie das Vektorfeld F displaystyle vec F nbsp Ein Zerlegungs Theorem BearbeitenFur n 3 dimensionale Vektorfelder F r displaystyle vec F vec r nbsp die im ganzen Raum mindestens zweimal stetig differenzierbar sind und im Unendlichen hinreichend rasch gegen null gehen gilt dass sie in einen wirbelfreien Teil E displaystyle vec E nbsp und einen quellenfreien Teil B displaystyle vec B nbsp zerfallen F E B displaystyle vec F vec E vec B nbsp Fur den wirbelfreien Teil gilt dass er durch seine Quellendichte wie folgt dargestellt werden kann E r F r displaystyle vec E vec r nabla Phi vec r nbsp mit F r R 3 d 3 r d i v E r 4 p r r displaystyle Phi vec r int mathbb R 3 mathrm d 3 r frac mathrm div vec E vec r 4 pi vec r vec r nbsp Fur den quellenfreien Teil B r displaystyle vec B vec r nbsp gilt analoges wenn man das skalare Potential F displaystyle Phi nbsp durch ein sog Vektorpotential A displaystyle vec A nbsp ersetzt und zugleich die Ausdrucke F displaystyle nabla Phi nbsp bzw div E displaystyle operatorname div vec E nbsp Quellendichte von E displaystyle vec E nbsp durch die Operationen A displaystyle nabla times vec A nbsp bzw B displaystyle nabla times vec B nbsp Wirbeldichte von B displaystyle vec B nbsp substituiert Dieses Verfahren ist Bestandteil des Helmholtz Theorems Eigenschaften BearbeitenIm n dimensionalen Raum Bearbeiten Sei c R displaystyle c in mathbb R nbsp eine Konstante W R n displaystyle Omega subset mathbb R n nbsp eine offene Teilmenge u W R displaystyle u colon Omega to mathbb R nbsp ein skalares Feld und F G W R n displaystyle vec F vec G colon Omega to mathbb R n nbsp zwei Vektorfelder Dann gelten folgende Regeln Die Divergenz ist linear das heisst es giltdiv c F c div F displaystyle operatorname div c cdot vec F c cdot operatorname div vec F nbsp und div F G div F div G displaystyle operatorname div vec F vec G operatorname div vec F operatorname div vec G nbsp Fur die Divergenz gilt die Produktregeldiv u F grad u F u div F displaystyle operatorname div u vec F operatorname grad u cdot vec F u operatorname div vec F nbsp Die Divergenz des Vektorfeldes F displaystyle vec F nbsp entspricht in beliebigen Koordinaten der Spur der kovarianten Ableitung F displaystyle nabla vec F nbsp von F displaystyle vec F nbsp das heisst es giltdiv F Spur F displaystyle operatorname div vec F operatorname Spur nabla vec F nbsp Diese Darstellung ist koordinateninvariant da die Spur einer linearen Abbildung invariant gegenuber einem Basiswechsel ist Im dreidimensionalen Raum Bearbeiten Ist n 3 displaystyle n 3 nbsp so gibt es auch eine Produktregel fur das Kreuzprodukt displaystyle times nbsp diese lautet div F G G rot F F rot G displaystyle operatorname div vec F times vec G vec G cdot operatorname rot vec F vec F cdot operatorname rot vec G nbsp wobei mit rot displaystyle operatorname rot nbsp die Rotation gemeint ist Wegen r o t g r a d f 0 displaystyle operatorname rot grad f 0 nbsp fur alle zweimal differenzierbaren f displaystyle f nbsp folgt daraus d i v g r a d f 1 grad f 2 0 displaystyle operatorname div grad f 1 times operatorname grad f 2 0 nbsp fur beliebige differenzierbare f 1 f 2 displaystyle f 1 f 2 nbsp Beispiele Bearbeiten In kartesischen Koordinaten findet man unmittelbar div r div x y z 3 displaystyle operatorname div vec r operatorname div left begin array c x y z end array right 3 nbsp Fur das Coulomb Feld findet man wenn in der ersten Produktregel u 1 r 3 displaystyle u 1 r 3 nbsp grad u 3 e r r 4 displaystyle operatorname grad u 3 hat e r r 4 nbsp und F r displaystyle vec F vec r nbsp gesetzt wird div e r r 2 div r r 3 3 e r r 4 r 3 r 3 0 r r 0 r r e r displaystyle operatorname div frac hat e r r 2 operatorname div frac vec r r 3 frac 3 hat e r r 4 cdot vec r frac 3 r 3 0 qquad r vec r neq 0 quad vec r r hat e r nbsp Mit der Formel fur die Divergenz in Kugelkoordinaten ist dieses Ergebnis ebenfalls zu erhalten Nach dem Korollar sind Felder f displaystyle vec f nbsp des folgenden Typs quellenfrei f c r r 3 c const f r grad Y l m ϑ f displaystyle vec f frac vec c times vec r r 3 quad vec c text const quad vec f vec r times operatorname grad Y lm vartheta varphi nbsp Gaussscher Integralsatz Bearbeiten Hauptartikel Gaussscher Integralsatz Aussage Bearbeiten Eine wichtige Rolle spielt die Divergenz in der Aussage des Gaussschen Integralsatzes Er besagt dass der Durchfluss durch eine geschlossene Oberflache gleich dem Integral uber die Divergenz des Vektorfeldes im Inneren dieses Volumens ist und erlaubt damit die Umwandlung eines Volumenintegrals in ein Oberflachenintegral V div F d V V F n d S displaystyle iiint limits V operatorname div vec F mathrm d V iint limits partial V vec F cdot vec n mathrm d S nbsp wobei n displaystyle vec n nbsp der Normalenvektor der Oberflache V displaystyle partial V nbsp ist Anschaulich beschreibt er damit fur den Fall einer Stromung den Zusammenhang zwischen dem Durchfluss durch diese Flache und den Stromungsquellen und senken innerhalb des zugehorigen Volumens Punktformige Quelle Bearbeiten Setzt man im Gaussschen Integralsatz das coulombartige Feld F C e r r 2 displaystyle vec F C hat e r r 2 nbsp ein und wahlt man als Integrationsflache V displaystyle partial V nbsp eine Kugelflache mit Radius r displaystyle r nbsp um den Ursprung so ist n e r displaystyle vec n hat e r nbsp und der Integrand wird konstant gleich 1 r 2 displaystyle 1 r 2 nbsp Weil die Oberflache der Kugel 4 p r 2 displaystyle 4 pi r 2 nbsp ist folgt K F C n d S 1 r 2 K d S 4 p displaystyle iint limits partial K vec F C cdot vec n mathrm d S frac 1 r 2 iint limits partial K mathrm d S 4 pi nbsp Somit liefert der Integralsatz eine Information uber div F C displaystyle operatorname div vec F C nbsp die im Gegensatz zu den Ableitungsausdrucken Produktregel oder Kugelkoordinaten auch den Punkt r 0 displaystyle vec r 0 nbsp einschliesst Das Volumenintegral von div F C displaystyle operatorname div vec F C nbsp ist 4 p displaystyle 4 pi nbsp Dies lasst sich mit dem Ergebnis der Ableitungsrechnung zu einer Distributionsgleichung zusammenfassen div e r r 2 4 p d r displaystyle operatorname div frac hat e r r 2 4 pi delta vec r nbsp Zylinder und Kugelkoordinaten BearbeitenIn Zylinderkoordinaten gilt fur die Divergenz eines Vektorfeldes F r f z displaystyle vec F rho varphi z nbsp div F 1 r r r F r 1 r F f f F z z displaystyle operatorname div vec F frac 1 rho frac partial partial rho rho F rho frac 1 rho frac partial F varphi partial varphi frac partial F z partial z nbsp In Kugelkoordinaten gilt fur die Divergenz eines Vektorfeldes F r 8 f displaystyle vec F r theta varphi nbsp div F 1 r 2 r r 2 F r 1 r sin 8 8 F 8 sin 8 1 r sin 8 F f f displaystyle operatorname div vec F frac 1 r 2 frac partial partial r r 2 F r frac 1 r sin theta frac partial partial theta F theta sin theta frac 1 r sin theta frac partial F varphi partial varphi nbsp Letztere Formel kann ohne Differentiation von Basisvektoren hergeleitet werden Man fuhrt eine Testfunktion g displaystyle g nbsp ein und schreibt ein Volumenintegral einmal in kartesischen und einmal in Kugelkoordinaten Mit bekannten Ausdrucken fur Gradient und Volumenelement ergibt das nach Ausmultiplizieren der Basisvektoren F grad g d V F x g x F y g y F z g z d x d y d z F r g r F 8 r g 8 F f r sin 8 g f r 2 d r sin 8 d 8 d f displaystyle begin aligned int vec F cdot operatorname grad g mathrm d V amp int left F x frac partial g partial x F y frac partial g partial y F z frac partial g partial z right mathrm d x mathrm d y mathrm d z amp int left F r frac partial g partial r frac F theta r frac partial g partial theta frac F varphi r sin theta frac partial g partial varphi right r 2 mathrm d r sin theta mathrm d theta mathrm d varphi end aligned nbsp Die Ableitungen von g displaystyle g nbsp werden partiell integriert wobei Randterme verschwinden Auf der rechten Seite muss das Volumenelement mitdifferenziert und danach in zwei Termen wiederhergestellt werden Erweitern Das ergibt g div F k a r t e s i s c h d V g div F K u g e l k o o r d i n a t e n d V displaystyle int g left operatorname div vec F right mathrm kartesisch mathrm d V int g left operatorname div vec F right mathrm Kugelkoordinaten mathrm d V nbsp Aus der Gleichheit der Integrale fur alle Testfunktionen folgt dass die Ausdrucke fur die Divergenz gleich sind Inverse BearbeitenNach dem Poincare Lemma existiert zu jedem Skalarfeld ein Vektorfeld dessen Divergenz es ist Dieses Vektorfeld ist nicht eindeutig bestimmt denn es kann ein ortlich konstanter Vektor hinzuaddiert werden ohne die Divergenz und damit das Skalarfeld zu verandern Unter gewissen Voraussetzungen existiert ein Rechts oder Linksinverses der Divergenz So gibt es fur ein offenes und beschranktes Gebiet W R n displaystyle Omega subset mathbb R n nbsp mit lipschitzstetigem Rand einen Operator B W m p W W m p W displaystyle B colon W m p Omega rightarrow W m p Omega nbsp so dass fur jedes f W m p W displaystyle f in W m p Omega nbsp mit W f d l 0 displaystyle textstyle int Omega f mathrm d lambda 0 nbsp div B f f displaystyle operatorname div Bf f nbsp gilt wobei W m p W displaystyle W m p Omega nbsp den entsprechenden Sobolew Raum fur m N displaystyle m in mathbb N nbsp und 1 lt p lt displaystyle 1 lt p lt infty nbsp bezeichnet B displaystyle B nbsp heisst Bogowskii Operator L 1 Divergenz auf riemannschen Mannigfaltigkeiten BearbeitenIm Abschnitt Eigenschaften wurde bereits gesagt dass die Divergenz mit Hilfe der Spur der Jacobimatrix ausgedruckt werden kann und dass diese Darstellung koordinateninvariant ist Aus diesem Grund verwendet man diese Eigenschaft um die Divergenz auf riemannschen Mannigfaltigkeiten zu definieren Mit Hilfe dieser Definition kann man zum Beispiel den Laplace Operator auf riemannschen Mannigfaltigkeiten koordinatenfrei definieren Dieser heisst dann Laplace Beltrami Operator Definition Bearbeiten Sei M displaystyle M nbsp eine riemannsche Mannigfaltigkeit und F G T M displaystyle F in Gamma TM nbsp ein C k displaystyle C k nbsp Vektorfeld mit k 1 displaystyle k geq 1 nbsp Dann ist die Divergenz durch div F Spur 3 3 F displaystyle operatorname div F operatorname Spur xi mapsto nabla xi F nbsp definiert Dabei ist 3 G T M displaystyle xi in Gamma TM nbsp ein Vektorfeld und der Operator displaystyle nabla nbsp ist der Levi Civita Zusammenhang der den Nabla Operator verallgemeinert Wertet man 3 F displaystyle nabla xi F nbsp an p M displaystyle p in M nbsp aus so ist 3 p 3 p F p End T p M displaystyle xi p mapsto nabla xi p F p in operatorname End T p M nbsp und man kann fur alle p displaystyle p nbsp die aus der linearen Algebra bekannte Spur bilden L 2 Transportsatz und geometrische Interpretation Bearbeiten Fur den Fluss f U R M M t x f t x displaystyle varphi colon U subseteq mathbb R times M to M t x mapsto varphi t x nbsp eines Vektorfeldes F displaystyle F nbsp gilt der Transportsatz L 3 d d t f t W ϱ t x d l x f t W t ϱ t x div ϱ t x F x d l x displaystyle frac mathrm d mathrm d t int varphi t Omega varrho t x mathrm d lambda x int varphi t Omega partial t varrho t x operatorname div varrho t x F x mathrm d lambda x nbsp Dabei ist l displaystyle lambda nbsp das Riemann Lebesguesche Volumenmass auf der Mannigfaltigkeit W displaystyle Omega nbsp eine relativ kompakte messbare Teilmenge und ϱ displaystyle varrho nbsp eine glatte Funktion Interpretiert man ϱ displaystyle varrho nbsp als Dichte einer Erhaltungsgrosse dann folgt daraus die Kontinuitatsgleichung Fur ϱ 1 displaystyle varrho 1 nbsp erhalt man d d t l f t W f t W div F x d l x displaystyle frac mathrm d mathrm d t lambda varphi t Omega int varphi t Omega operatorname div F x d lambda x nbsp Die Divergenz ist also die Dichte der Volumenanderungsrate bezuglich des Flusses Die Divergenz in einem Punkt gibt an wie schnell sich der Inhalt eines infinitesimalen Volumenelements in diesem Punkt andert wenn es sich mit dem Fluss bewegt Als Folgerung ergibt sich dass ein Vektorfeld genau dann divergenzfrei ist wenn der erzeugte Fluss volumenerhaltend ist Divergenz von Tensoren zweiter Stufe BearbeitenIn den Ingenieurwissenschaften wird die Divergenz auch fur Tensoren zweiter Stufe eingefuhrt und liefert dann Vektorfelder L 4 Zum Beispiel geht die Divergenz des Spannungstensors in die lokale Impulsbilanz der Kontinuumsmechanik das erste Cauchy Eulersche Bewegungsgesetz ein Definition Bearbeiten Tensoren zweiter Stufe bilden Vektoren auf Vektoren ab Indem die vektorielle Divergenz mit der Divergenz des Tensors in Zusammenhang gebracht wird kann die Divergenz auf Tensoren T verallgemeinert werden L 5 d i v T c d i v T c c displaystyle mathrm div mathbf T cdot vec c mathrm div mathbf T top cdot vec c quad forall quad vec c nbsp Darin bildet das Superskript den transponierten Tensor Mit dem Nabla Operator berechnet sich diese Divergenz mittels d i v T T displaystyle mathrm div mathbf T nabla cdot left mathbf T top right nbsp In der Literatur insbesondere der Stromungsmechanik wird auch die transponierte Version T displaystyle nabla cdot mathbf T nbsp benutzt L 6 Komponenten der Divergenz eines Tensors Bearbeiten Divergenz eines Tensors in kartesischen Koordinaten Bearbeiten Fur einen Tensor T i j 1 3 T i j e i e j displaystyle textstyle mathbf T sum i j 1 3 T ij hat e i otimes hat e j nbsp ergibt sich bezuglich der Standardbasis e1 2 3 eines kartesischen Koordinatensystems mit x y und z Koordinaten die gemass dem Schema x 1 y 2 und z 3 nummeriert werden div T k 1 3 T x k e k i k 1 3 T i k x k e i T x x x T x y y T x z z T y x x T y y y T y z z T z x x T z y y T z z z displaystyle operatorname div mathbf T sum k 1 3 frac partial mathbf T partial x k cdot hat e k sum i k 1 3 frac partial T ik partial x k hat e i begin pmatrix frac partial T xx partial x frac partial T xy partial y frac partial T xz partial z frac partial T yx partial x frac partial T yy partial y frac partial T yz partial z frac partial T zx partial x frac partial T zy partial y frac partial T zz partial z end pmatrix nbsp Die transponierte Version T d i v T displaystyle nabla cdot mathbf T mathrm div left mathbf T top right nbsp ergibt sich hieraus durch Vertauschen von Tab durch Tba Divergenz eines Tensors in Zylinderkoordinaten Bearbeiten In Zylinderkoordinaten mit Basisvektoren e r cos f sin f 0 e f sin f cos f 0 e z 0 0 1 displaystyle hat e rho begin pmatrix cos varphi sin varphi 0 end pmatrix quad hat e varphi begin pmatrix sin varphi cos varphi 0 end pmatrix quad hat e z begin pmatrix 0 0 1 end pmatrix nbsp ergibt sich die Divergenz fur Tensoren zweiter Stufe zu d i v T T r r r 1 r T r f f T r r T f f T r z z e r T f r r 1 r T f f f T r f T f r T f z z e f T z r r 1 r T z f f T z r T z z z e z displaystyle begin aligned mathrm div mathbf T amp left T rho rho rho frac 1 rho T rho varphi varphi T rho rho T varphi varphi T rho z z right hat e rho amp left T varphi rho rho frac 1 rho T varphi varphi varphi T rho varphi T varphi rho T varphi z z right hat e varphi amp left T z rho rho frac 1 rho T z varphi varphi T z rho T zz z right hat e z end aligned nbsp Ein Index hinter einem Komma bezeichnet hier die Ableitung nach der Koordinate T r f f T r f f displaystyle T rho varphi varphi tfrac partial T rho varphi partial varphi nbsp Die transponierte Version T d i v T displaystyle nabla cdot mathbf T mathrm div left mathbf T top right nbsp ergibt sich hieraus durch Vertauschen von Tab durch Tba Divergenz eines Tensors in Kugelkoordinaten Bearbeiten In Kugelkoordinaten mit Basisvektoren e r sin ϑ cos f sin ϑ sin f cos ϑ e ϑ cos ϑ cos f cos ϑ sin f sin ϑ e f sin f cos f 0 displaystyle hat e r begin pmatrix sin vartheta cos varphi sin vartheta sin varphi cos vartheta end pmatrix quad hat e vartheta begin pmatrix cos vartheta cos varphi cos vartheta sin varphi sin vartheta end pmatrix quad hat e varphi begin pmatrix sin varphi cos varphi 0 end pmatrix nbsp ergibt sich die Divergenz fur Tensoren zweiter Stufe zu d i v T T r r r 2 T r r T ϑ ϑ T f f T r ϑ ϑ r T r f f T r ϑ cos ϑ r sin ϑ e r T ϑ r r 2 T ϑ r T r ϑ T ϑ ϑ ϑ r T ϑ ϑ T f f cos ϑ T ϑ f f r sin ϑ e ϑ T f r r 2 T f r T r f T f ϑ ϑ r T ϑ f T f ϑ cos ϑ T f f f r sin ϑ e f displaystyle begin aligned mathrm div mathbf T amp left T rr r frac 2T rr T vartheta vartheta T varphi varphi T r vartheta vartheta r frac T r varphi varphi T r vartheta cos vartheta r sin vartheta right hat e r amp left T vartheta r r frac 2T vartheta r T r vartheta T vartheta vartheta vartheta r frac T vartheta vartheta T varphi varphi cos vartheta T vartheta varphi varphi r sin vartheta right hat e vartheta amp left T varphi r r frac 2T varphi r T r varphi T varphi vartheta vartheta r frac T vartheta varphi T varphi vartheta cos vartheta T varphi varphi varphi r sin vartheta right hat e varphi end aligned nbsp Ein Index hinter einem Komma bezeichnet hier die Ableitung nach der Koordinate T f r r T f r r displaystyle T varphi r r tfrac partial T varphi r partial r nbsp Die transponierte Version T d i v T displaystyle nabla cdot mathbf T mathrm div left mathbf T top right nbsp ergibt sich hieraus durch Vertauschen von Tab durch Tba Eigenschaften Bearbeiten Im n dimensionalen Raum Bearbeiten Sei c R displaystyle c in mathbb R nbsp eine Konstante W R n displaystyle Omega subset mathbb R n nbsp eine offene Teilmenge u W R displaystyle u colon Omega to mathbb R nbsp ein skalares Feld F G W R n displaystyle vec F vec G colon Omega to mathbb R n nbsp zwei Vektorfelder und T ein tensorielles Feld Dann gelten folgende Regeln div u T u i T u T i e i T grad u u div T div T F T i F T F i e i div T F T grad F div F G F i G F G i e i grad F G div G F displaystyle begin array rclcl operatorname div u mathbf T amp amp u i mathbf T u mathbf T i cdot hat e i amp amp mathbf T cdot operatorname grad u u operatorname div mathbf T operatorname div mathbf T cdot vec F amp amp left mathbf T i cdot vec F mathbf T cdot vec F i right cdot hat e i amp amp operatorname div mathbf T top cdot vec F mathbf T top operatorname grad vec F operatorname div vec F otimes vec G amp amp left vec F i otimes vec G vec F otimes vec G i right cdot hat e i amp amp operatorname grad vec F cdot vec G operatorname div vec G vec F end array nbsp Darin ist displaystyle cdot nbsp das Frobenius Skalarprodukt fur Vektoren bzw Tensoren und eine Ableitung nach der Koordinate xi in einem kartesischen Koordinatensystem mit Basisvektoren e i displaystyle hat e i nbsp wird mit einem Index i abgekurzt uber den des Weiteren oben von eins bis drei zu summieren ist Einsteinsche Summenkonvention Im dreidimensionalen Raum Bearbeiten Fur die Herleitung des zweiten Cauchy Euler schen Bewegungsgesetzes das die Erhaltung des Drehimpulses in einem Kontinuum sicherstellt wird die Produktregel d i v f T f i T f T i e i i g r a d f T f d i v T displaystyle begin aligned mathrm div vec f times mathbf T amp vec f i times mathbf T vec f times mathbf T i cdot hat e i vec mathrm i left mathrm grad vec f cdot mathbf T top right vec f times mathrm div mathbf T end aligned nbsp gebraucht Darin sind F displaystyle vec F nbsp ein vektorielles und T ein tensorielles differenzierbares Feld und i displaystyle vec mathrm i nbsp bildet die Vektorinvariante Gaussscher Integralsatz Bearbeiten Dieser Integralsatz wird in der Kontinuumsmechanik auch fur Tensorfelder z B von Spannungstensoren s displaystyle boldsymbol sigma nbsp benotigt V div s d V V s n d S V t d S displaystyle iiint limits V operatorname div boldsymbol sigma mathrm d V iint limits partial V boldsymbol sigma cdot vec n mathrm d S iint limits partial V vec t mathrm d S nbsp Der vom symmetrischen Spannungstensor transformierte Normalenvektor an die Flache ist nach dem Cauchy schen Fundamentaltheorem der auf der Flache wirkende Spannungsvektor t displaystyle vec t nbsp ein Vektor mit der Dimension Kraft pro Flache Diese Gleichung ist im Fall ihres Verschwindens bereits die Impulsbilanz deformierbarer Korper im statischen Fall in Abwesenheit einer Volumenkraft Expansionsrate Bearbeiten Die Divergenz eines Vektorfeldes v displaystyle vec v nbsp lautet in diesem Formalismus div v Sp grad v i 1 n d v i d x i Sp i j 1 n d v i d x j e i e j displaystyle operatorname div vec v operatorname Sp operatorname grad vec v quad leftrightarrow quad sum i 1 n frac mathrm d v i mathrm d x i operatorname Sp left sum i j 1 n frac mathrm d v i mathrm d x j hat e i otimes hat e j right nbsp nbsp Urbildraum V der durch die Bewegungsfunktion x in den Bildraum v transformiert wirdIst speziell v x t x X t displaystyle vec v vec x t dot vec chi vec X t nbsp das Geschwindigkeitsfeld einer Bewegung x X t x v displaystyle vec chi vec X t vec x in v nbsp Bildraum von Punkten X V displaystyle vec X in V nbsp aus einem zeitunabhangigen Volumen V Urbildraum siehe Bild dann ist der Gradient des Vektorfeldes der Geschwindigkeitsgradient l div v Sp grad v Sp l Sp F F 1 displaystyle operatorname div vec v operatorname Sp operatorname grad vec v operatorname Sp mathbf l operatorname Sp dot mathbf F cdot mathbf F 1 nbsp der mit der Zeitableitung des Deformationsgradienten F und seiner Inversen zusammenhangt Die Determinante des Deformationsgradienten transformiert die Volumenformen rot im Bild ineinander d v det F d V displaystyle mathrm d v operatorname det mathbf F mathrm d V nbsp Zeitableitung dieser Gleichung ergibt mit dem Frobenius Skalarprodukt siehe Ableitungen der Hauptinvarianten d v det F F 1 F d V Sp F 1 F d v Sp l d v div v d v displaystyle mathrm d v dot operatorname det mathbf F mathbf F top 1 dot mathbf F mathrm d V operatorname Sp mathbf F 1 cdot dot mathbf F mathrm d v operatorname Sp mathbf l mathrm d v operatorname div vec v mathrm d v nbsp denn die Volumenform im Urbildraum ist nicht von der Zeit abhangig Wenn die Divergenz verschwindet dann ist die Bewegung lokal volumenerhaltend Eine positive Divergenz bedeutet Expansion was in der Realitat mit einer Abnahme der Dichte einhergeht Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Divergenz Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Wie krumme ich Nabla und Delta Herleitung des Nablaoperators fur orthonormal krummlinige Koordinaten In matheplanet com Siehe auch BearbeitenFormelsammlung Tensoranalysis mit Formeln zur Divergenz von Vektoren und Tensoren Einzelnachweise Bearbeiten G P Galdi An introduction to the mathematical theory of the Navier Stokes equations Vol I Springer Tracts in Natural Philosophy vol 38 Springer Verlag New York 1994 ISBN 0 387 94172 X Isaac Chavel Eigenvalues in Riemannian Geometry Academic Press 1984 2 Ausgabe ISBN 978 0 12 170640 1 Seite 3 Herbert Amann Joachim Escher Analysis III 2 Auflage Birkhauser Basel 2008 ISBN 978 3 7643 8883 6 S 438 Kapitel XII Holm Altenbach Kontinuumsmechanik Einfuhrung in die materialunabhangigen und materialabhangigen Gleichungen Springer Verlag Berlin Heidelberg 2012 ISBN 978 3 642 24118 5 S 43 ff doi 10 1007 978 3 642 24119 2 M E Gurtin The Linear Theory of Elasticity In S Flugge Hrsg Handbuch der Physik Band VI2 a Bandherausgeber C Truesdell Springer 1972 ISBN 3 540 05535 5 S 11 Altenbach 2012 S 43 M Bestehorn Hydrodynamik und Strukturbildung Springer Berlin Heidelberg u a 2006 ISBN 978 3 540 33796 6 S 377 Literatur BearbeitenAdolf J Schwab Begriffswelt der Feldtheorie Springer Verlag ISBN 3 540 42018 5 H Altenbach Kontinuumsmechanik Springer 2012 ISBN 978 3 642 24118 5 L P Kuptsov Divergence In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Normdaten Sachbegriff GND 4528420 9 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Divergenz eines Vektorfeldes amp oldid 229110352
