Im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie ist ein Zusammenhang ein Hilfsmittel, um Richtungsänderungen im Laufe einer Bewegung zu quantifizieren und Richtungen in verschiedenen Punkten miteinander in Beziehung zu setzen.
Dieser Artikel behandelt im Wesentlichen den Zusammenhang auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit beziehungsweise auf einem Vektorbündel. Ein ausgezeichneter Zusammenhang auf einem Tensorbündel, einem besonderen Vektorbündel, heißt kovariante Ableitung. Allgemeiner existieren auch Zusammenhänge auf Prinzipalbündeln mit analogen definierenden Eigenschaften.
Motivation Bearbeiten
In der Differentialgeometrie interessiert man sich für die Krümmung von Kurven, insbesondere von Geodäten. In euklidischen Räumen ist die Krümmung einfach durch die zweite Ableitung gegeben. Auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ist die zweite Ableitung nicht direkt zu bilden. Ist eine Kurve, so muss man für die zweite Ableitung dieser Kurve den Differenzenquotienten mit den Vektoren und bilden. Diese Vektoren befinden sich jedoch in unterschiedlichen Vektorräumen, daher kann man nicht einfach die Differenz der beiden bilden. Um das Problem zu lösen, hat man eine Abbildung definiert, welche man Zusammenhang nennt. Diese Abbildung soll einen Zusammenhang zwischen den beteiligten Vektorräumen bereitstellen und trägt daher auch diesen Namen.
Definitionen Bearbeiten
In diesem Abschnitt bezeichnet eine glatte Mannigfaltigkeit, das Tangentialbündel und ein Vektorbündel. Mit wird die Menge der glatten Schnitte im Vektorbündel notiert.
Zusammenhang Bearbeiten
Indem man sagt, was die Richtungsableitung eines Vektorfeldes in Richtung eines Tangentialvektors ist, erhält man einen Zusammenhang auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit . Demgemäß definiert man einen Zusammenhang auf einem Vektorbündel als eine Abbildung
die einem Vektorfeld auf und einem Schnitt im Vektorbündel wieder einen Schnitt in zuordnet, so dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
- ist in linear über , das heißt
- ist -linear in das heißt, es gilt
- Außerdem gilt die Produktregel beziehungsweise Leibnizregel
Alternativ kann man den Zusammenhang auch als Abbildung
mit den gleichen Eigenschaften definieren.
Linearer Zusammenhang Bearbeiten
Ein linearer oder affiner Zusammenhang auf ist ein Zusammenhang auf . Das heißt, es ist eine Abbildung
welche die drei definierenden Eigenschaften aus dem obigen Abschnitt erfüllt.
Induzierte Zusammenhänge Bearbeiten
Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten auf anderen Vektorbündeln auf natürliche Weise Zusammenhänge zu induzieren.
Zusammenhang auf einer reellen Untermannigfaltigkeit Bearbeiten
Sei die Standardbasis von , dann wird auf der euklidische Zusammenhang durch definiert, wobei und Darstellungen der Vektorfelder bzgl. der Standardbasis sind. Ist eine Untermannigfaltigkeit von , so erhält man auf einen von induzierten Zusammenhang. Dieser ist durch
bestimmt. Dabei bezeichnet die orthogonale Projektion.
Zusammenhänge auf dem Tensorbündel Bearbeiten
Sei ein linearer Zusammenhang auf der Mannigfaltigkeit . Auf dem Tensorbündel lässt sich ein eindeutiger Zusammenhang induzieren, der ebenfalls mit notiert wird und die folgenden Eigenschaften erfüllt:
- Auf stimmt mit dem gegebenen Zusammenhang überein.
- Auf ist die gewöhnliche Richtungsableitung von Funktionen:
- Für gilt die folgende Produktregel
- Der Zusammenhang kommutiert mit der Tensorverjüngung , das heißt
Dieser Zusammenhang auf wird auch kovariante Ableitung genannt.
Kompatibilität mit der riemannschen Metrik und Symmetrie Bearbeiten
Sei eine riemannsche oder pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit. Einen Zusammenhang nennt man kompatibel mit der Metrik dieser Mannigfaltigkeit, falls
gilt. Mit der 3. Eigenschaft aus dem Abschnitt Zusammenhänge auf dem Tensorbündel erhält man die Gleichung
und daher ist die Kompatibilitätsbedingung äquivalent zu
Ein Zusammenhang heißt symmetrisch oder torsionsfrei, wenn der Torsionstensor verschwindet, das heißt, es gilt
Diese beiden Eigenschaften erscheinen natürlich, da sie von einem induzierten Zusammenhang auf einer reellen Untermannigfaltigkeit bereits erfüllt werden. Ein Zusammenhang auf einer (abstrakten) Mannigfaltigkeit, welcher diese beiden Eigenschaften erfüllt, ist eindeutig bestimmt. Diese Aussage wird Hauptsatz der riemannschen Geometrie genannt und der eindeutig bestimmte Zusammenhang heißt Levi-Civita- oder riemannscher Zusammenhang. Ein Zusammenhang, welcher mit der riemannschen Metrik kompatibel ist, heißt metrischer Zusammenhang. Eine riemannsche Mannigfaltigkeit kann im Allgemeinen mehrere verschiedene metrische Zusammenhänge haben.
Eigenschaften Bearbeiten
- Sei und seien zwei Vektorfelder auf , so dass in einer Umgebung von gilt. Dann folgt für alle Vektorfelder
Allgemeiner brauchen und nicht einmal auf einer ganzen Umgebung gleich zu sein. Genauer: Falls es eine glatte Kurve gibt (für ein geeignetes ) so, dass und und falls für alle gilt, dann folgt schon . Das bedeutet, dass die beiden Vektorfelder und nur entlang einer geeigneten glatten Kurve übereinstimmen müssen.
- Analog zur eben genannten Eigenschaft: Seien zwei Vektorfelder auf so, dass . Dann gilt für alle , dass .
Darstellung in Koordinaten: Christoffel-Symbole Bearbeiten
Bilden die lokalen Vektorfelder in jedem Punkt eine Basis des Tangentialraums, so sind die Christoffel-Symbole definiert durch
Haben die Vektorfelder und bezüglich dieser Basis die Gestalt und , so gilt für die Komponenten von
wobei die Richtungsableitung der Funktion in Richtung des Vektors bezeichnet.
Wählt man als Basisvektorfelder speziell die durch eine Karte gegebenen Vektorfelder , so erhält man die Koordinatendarstellung
Dieses Resultat entspricht der Produktregel: Im Produkt ändern sich bei infinitesimalen Änderungen sowohl die Basisvektoren als auch die Komponentenfunktionen und es entsteht die Summe beider Änderungen.
Anwendungen Bearbeiten
Die zentralen Begriffe dieses Artikels betreffen in der Physik u. a. die Allgemeine Relativitätstheorie und die Eichtheorien (z. B. Quantenelektrodynamik, Quantenchromodynamik und Yang-Mills-Theorie) der Hochenergiephysik, sowie in der Festkörperphysik die BCS-Theorie der Supraleitung. Das Gemeinsame an diesen Theorien ist, dass „Zusammenhang“ und „kovariante Ableitung“ durch Vektorpotentiale generiert werden, die gewissen Eichbedingungen genügen, und dass sie explizit in bestimmter Weise in die Energiefunktion des Systems eingehen.
Siehe auch Bearbeiten
Literatur Bearbeiten
- John M. Lee: Riemannian manifolds. An introduction to curvature (= Graduate texts in mathematics 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8.