Tensorverjüngung Dieser Artikel beschreibt Kontraktion aus Sicht der Tensoranalysis Für die Analysis siehe Kontraktion M

Tensorverjüngung

Die Tensorverjüngung oder Kontraktion ist ein mathematischer Begriff aus der linearen Algebra mit Verwendung in der Tensoranalysis und Tensoralgebra. Es ist eine Verallgemeinerung der Spur einer linearen Abbildung auf Tensoren, die mindestens einfach kovariant und einfach kontravariant sind. Anwendungen finden sich z. B. in der Relativitätstheorie (siehe auch Längenkontraktion), Mechanik usw.

Definition Bearbeiten

Sei ein endlichdimensionaler Vektorraum und sei

der Tensorraum der -fach kontravarianten und -fach kovarianten Tensoren (kurz: -Tensoren) über .

Als Verjüngung oder Kontraktion eines Tensors (genauer: -Kontraktion) bezeichnet man die lineare Abbildung

mit und , welche durch

definiert werden kann. Dabei ist ein Element von . Nicht jedes Element von ist von dieser Form, aber die Elemente dieser Form erzeugen den Tensorraum und die Abbildung ist wohldefiniert. Setzt man , so wird also aus einem Tensor -ter Stufe ein Tensor der Stufe .

Beispiele Bearbeiten

Interpretiert man eine Matrix als einen einfach ko- sowie kontravarianten Tensor, so ist die Verjüngung einer Matrix ihre Spur. Dies lässt sich sehr schnell einsehen, wenn man die Matrix als Linearkombination

darstellt. Hier bilden die eine Basis von und die die dazu duale Basis von . Wendet man nun die Funktion an, so erhält man

Dies lässt erkennen, dass die Tensorverjüngung eine Verallgemeinerung des aus der linearen Algebra bekannten Spuroperators ist. Aus diesem Grund wird die Abbildung auch Spurbildung genannt.
Man erhält aus dem riemannschen Krümmungstensor durch Verjüngung den Ricci-Tensor .

Literatur Bearbeiten

Siehe die weiterführende Literatur unter Tensoranalysis.

Einzelnachweise Bearbeiten

Heinz Schade, Klaus Neemann: Tensor Analysis. De Gruyter, 2018, ISBN 978-3-11-040426-5, doi:10.1515/9783110404265 (englisch, degruyter.com [abgerufen am 8. November 2022]).
Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. Birkhäuser Basel, Basel 2008, ISBN 978-3-7643-8883-6, doi:10.1007/978-3-7643-8884-3 (springer.com [abgerufen am 8. November 2022]).
Ulrich E. Schröder: Spezielle Relativitätstheorie. 6. Auflage. Verlag Europa-Lehrmittel 2021, ISBN 978-3-8085-5653-5.
Florian Scheck: Relativistic Mechanics. In: Mechanics. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2018, ISBN 978-3-662-55488-3, S. 257–303, doi:10.1007/978-3-662-55490-6_4 (englisch, springer.com [abgerufen am 8. November 2022]).
Ralph Abraham, Jerrold E. Marsden, Tudor Ratiu: Applications. In: Manifolds, Tensor Analysis, and Applications. Band 75. Springer New York, New York, NY 1988, ISBN 978-1-4612-6990-8, S. 560–630, doi:10.1007/978-1-4612-1029-0_8 (springer.com [abgerufen am 8. November 2022]).

wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele

Veröffentlichungsdatum: November 29, 2023, 01:14 am

Dieser Artikel beschreibt Kontraktion aus Sicht der Tensoranalysis Fur die Analysis siehe Kontraktion Mathematik Die Tensorverjungung oder Kontraktion 1 2 ist ein mathematischer Begriff aus der linearen Algebra mit Verwendung in der Tensoranalysis und Tensoralgebra Es ist eine Verallgemeinerung der Spur einer linearen Abbildung auf Tensoren die mindestens einfach kovariant und einfach kontravariant sind Anwendungen finden sich z B in der Relativitatstheorie 3 siehe auch Langenkontraktion Mechanik 4 usw 5 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Literatur 4 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei V displaystyle V nbsp ein endlichdimensionaler Vektorraum und sei T s r V V V r mal V V s mal displaystyle T s r V underbrace V otimes cdots otimes V r text mal otimes underbrace V otimes cdots otimes V s text mal nbsp der Tensorraum der r displaystyle r nbsp fach kontravarianten und s displaystyle s nbsp fach kovarianten Tensoren kurz r s displaystyle r s nbsp Tensoren uber V displaystyle V nbsp Als Verjungung oder Kontraktion eines Tensors genauer k l displaystyle k l nbsp Kontraktion bezeichnet man die lineare Abbildung C l k T s r V T s 1 r 1 V displaystyle C l k T s r V rightarrow T s 1 r 1 V nbsp mit 1 k r displaystyle 1 leq k leq r nbsp und 1 l s displaystyle 1 leq l leq s nbsp welche durch v 1 v r 3 1 3 s displaystyle v 1 otimes cdots otimes v r otimes xi 1 otimes cdots otimes xi s mapsto nbsp 3 l v k v 1 v k 1 v k 1 v r 3 1 3 l 1 3 l 1 3 s displaystyle xi l v k v 1 otimes cdots otimes v k 1 otimes v k 1 otimes cdots otimes v r otimes xi 1 otimes cdots otimes xi l 1 otimes xi l 1 otimes cdots otimes xi s nbsp definiert werden kann Dabei ist v 1 v r 3 1 3 s displaystyle v 1 otimes cdots otimes v r otimes xi 1 otimes cdots otimes xi s nbsp ein Element von T s r V displaystyle T s r V nbsp Nicht jedes Element von T s r V displaystyle T s r V nbsp ist von dieser Form aber die Elemente dieser Form erzeugen den Tensorraum und die Abbildung ist wohldefiniert Setzt man n r s displaystyle n r s nbsp so wird also aus einem Tensor n displaystyle n nbsp ter Stufe ein Tensor der Stufe n 2 displaystyle n 2 nbsp Beispiele BearbeitenInterpretiert man eine Matrix als einen einfach ko sowie kontravarianten Tensor so ist die Verjungung einer Matrix ihre Spur Dies lasst sich sehr schnell einsehen wenn man die Matrix A End V V V displaystyle A in operatorname End V cong V otimes V nbsp als Linearkombination A i j l i j v i 3 j displaystyle A sum i j lambda i j v i otimes xi j nbsp darstellt Hier bilden die v i displaystyle v i nbsp eine Basis von V displaystyle V nbsp und die 3 j displaystyle xi j nbsp die dazu duale Basis von V displaystyle V nbsp Wendet man nun die Funktion C 1 1 displaystyle C 1 1 nbsp an so erhalt manC 1 1 A C 1 1 i j l i j v i 3 j i j l i j d i j i l i i Spur A displaystyle C 1 1 A C 1 1 left sum i j lambda i j v i otimes xi j right sum i j lambda i j delta ij sum i lambda i i operatorname Spur A nbsp Dies lasst erkennen dass die Tensorverjungung eine Verallgemeinerung des aus der linearen Algebra bekannten Spuroperators ist Aus diesem Grund wird die Abbildung auch Spurbildung genannt Man erhalt aus dem riemannschen Krummungstensor R i j k l displaystyle R ijk l nbsp durch Verjungung den Ricci Tensor R i k R i j k j displaystyle R ik R ijk j nbsp Literatur BearbeitenSiehe die weiterfuhrende Literatur unter Tensoranalysis Einzelnachweise Bearbeiten Heinz Schade Klaus Neemann Tensor Analysis De Gruyter 2018 ISBN 978 3 11 040426 5 doi 10 1515 9783110404265 englisch degruyter com abgerufen am 8 November 2022 Herbert Amann Joachim Escher Analysis III Birkhauser Basel Basel 2008 ISBN 978 3 7643 8883 6 doi 10 1007 978 3 7643 8884 3 springer com abgerufen am 8 November 2022 Ulrich E Schroder Spezielle Relativitatstheorie 6 Auflage Verlag Europa Lehrmittel 2021 ISBN 978 3 8085 5653 5 Florian Scheck Relativistic Mechanics In Mechanics Springer Berlin Heidelberg Berlin Heidelberg 2018 ISBN 978 3 662 55488 3 S 257 303 doi 10 1007 978 3 662 55490 6 4 englisch springer com abgerufen am 8 November 2022 Ralph Abraham Jerrold E Marsden Tudor Ratiu Applications In Manifolds Tensor Analysis and Applications Band 75 Springer New York New York NY 1988 ISBN 978 1 4612 6990 8 S 560 630 doi 10 1007 978 1 4612 1029 0 8 springer com abgerufen am 8 November 2022 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Tensorverjungung amp oldid 234940078