Tensoralgebra Die ist ein mathematischer Begriff der in vielen Bereichen der Mathematik wie der linearen Algebra der Alg

Tensoralgebra

Die Tensoralgebra ist ein mathematischer Begriff, der in vielen Bereichen der Mathematik wie der linearen Algebra, der Algebra, der Differentialgeometrie sowie in der Physik verwendet wird. Sie fasst „alle Tensoren“ über einem Vektorraum in der Struktur einer graduierten Algebra zusammen.

Definition Bearbeiten

Es sei ein Vektorraum über einem Körper oder allgemeiner ein Modul über einem kommutativen Ring mit Einselement. Wir definieren die Tensorprodukteräume

für mit der Konvention .

Dann ist die Tensoralgebra (als Vektorraum) definiert durch die direkte Summe aller Tensorprodukte des Raums mit sich selbst.

Mit der Multiplikation, die auf den homogenen Bestandteilen durch das Tensorprodukt gegeben ist, wird zu einer -graduierten, unitären, assoziativen Algebra.

Verkürzte Tensoralgebra Bearbeiten

Den Raum

nennt man auch verkürzte Tensoralgebra (englisch truncated tensor algebra).

Erläuterungen Bearbeiten

Wir betrachten somit folgenden Raum

Universelle Eigenschaft Bearbeiten

Die Tensoralgebra erfüllt die folgende universelle Eigenschaft: Ist eine assoziative -Algebra mit einem Einselement , sowie eine lineare Abbildung, so existiert genau ein Algebrenhomomorphismus , sodass das Diagramm

Universelle Eigenschaft der Tensoralgebra

kommutiert. Dieser Algebrenhomomorphismus ist gegeben durch sowie .

T als Funktor Bearbeiten

ist ein Funktor von der Kategorie der -Vektorräume in die Kategorie der -Algebren. Für einen -Vektorraumhomomorphismus (eine lineare Abbildung) ist durch den Algebrenhomomorphismus gegeben, der nach der universellen Eigenschaft der Tensoralgebra durch induziert wird (hierbei ist die Einbettung).

Der Funktor ist linksadjungiert zum Vergissfunktor, der einer -Algebra, den zugrundeliegenden -Vektorraum zuordnet. Daher wird auch als die freie Algebra über bezeichnet.

Beispiel Bearbeiten

Ist ein -dimensionaler -Vektorraum (bzw. ein freier Modul vom Rang ), so ist isomorph zur freien assoziativen Algebra über in Unbestimmten. Im Fall ist also isomorph zum Polynomring .

Ist allgemeiner eine beliebige nicht-leere Menge und ist der über erzeugte -Vektorraum, das heißt der freie K-Modul über , so ist die frei über erzeugte assoziative Algebra.

Quotientenräume der Tensoralgebra Bearbeiten

Durch Herausteilen eines bestimmten Ideals kann man aus der Tensoralgebra beispielsweise die symmetrische Algebra, die äußere Algebra oder die Clifford-Algebra gewinnen. Diese Algebren sind in der Differentialgeometrie von Bedeutung.

Siehe auch Bearbeiten

Formelsammlung Tensoralgebra

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Veröffentlichungsdatum: November 29, 2023, 08:38 am

Die Tensoralgebra ist ein mathematischer Begriff der in vielen Bereichen der Mathematik wie der linearen Algebra der Algebra der Differentialgeometrie sowie in der Physik verwendet wird Sie fasst alle Tensoren uber einem Vektorraum in der Struktur einer graduierten Algebra zusammen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Verkurzte Tensoralgebra 1 2 Erlauterungen 2 Universelle Eigenschaft 3 T als Funktor 4 Beispiel 5 Quotientenraume der Tensoralgebra 6 Siehe auchDefinition BearbeitenEs sei V displaystyle V nbsp ein Vektorraum uber einem Korper K displaystyle K nbsp oder allgemeiner ein Modul uber einem kommutativen Ring mit Einselement Wir definieren die Tensorprodukteraume V n V V n mal displaystyle V otimes n underbrace V otimes cdots otimes V n text mal nbsp fur n N displaystyle n in mathbb N nbsp mit der Konvention V 0 K displaystyle V otimes 0 K nbsp Dann ist die Tensoralgebra als Vektorraum definiert durch die direkte Summe aller Tensorprodukte des Raums mit sich selbst T V n 0 V n K V V V V V V displaystyle mathrm T V bigoplus n geq 0 V otimes n K oplus V oplus V otimes V oplus V otimes V otimes V oplus ldots nbsp Mit der Multiplikation die auf den homogenen Bestandteilen durch das Tensorprodukt gegeben ist wird T V displaystyle mathrm T V nbsp zu einer N 0 displaystyle mathbb N 0 nbsp graduierten unitaren assoziativen Algebra Verkurzte Tensoralgebra Bearbeiten Den Raum T n V i 0 n V i displaystyle mathrm T n V bigoplus i 0 n V otimes i nbsp nennt man auch verkurzte Tensoralgebra englisch truncated tensor algebra Erlauterungen Bearbeiten Wir betrachten somit folgenden Raum T V a 0 a 1 a n V n n N 0 displaystyle mathrm T V left a 0 a 1 dots a n in V otimes n forall n in mathbb N 0 right nbsp Universelle Eigenschaft BearbeitenDie Tensoralgebra erfullt die folgende universelle Eigenschaft Ist A displaystyle A nbsp eine assoziative K displaystyle K nbsp Algebra mit einem Einselement e displaystyle e nbsp sowie f V A displaystyle f colon V to A nbsp eine lineare Abbildung so existiert genau ein Algebrenhomomorphismus f T V A displaystyle tilde f colon mathrm T V to A nbsp sodass das Diagramm nbsp Universelle Eigenschaft der Tensoralgebra kommutiert Dieser Algebrenhomomorphismus ist gegeben durch f v 1 v r f v 1 f v r displaystyle tilde f v 1 otimes dots otimes v r f v 1 dots f v r nbsp sowie f l l e displaystyle tilde f lambda lambda e nbsp T als Funktor BearbeitenT displaystyle mathrm T nbsp ist ein Funktor von der Kategorie der K displaystyle K nbsp Vektorraume in die Kategorie der K displaystyle K nbsp Algebren Fur einen K displaystyle K nbsp Vektorraumhomomorphismus eine lineare Abbildung f V W displaystyle varphi colon V to W nbsp ist T f T V T W displaystyle mathrm T varphi mathrm T V to mathrm T W nbsp durch den Algebrenhomomorphismus gegeben der nach der universellen Eigenschaft der Tensoralgebra durch i W f V T W displaystyle i W circ varphi V to mathrm T W nbsp induziert wird hierbei ist i W W T W displaystyle i W W to mathrm T W nbsp die Einbettung Der Funktor T displaystyle mathrm T nbsp ist linksadjungiert zum Vergissfunktor der einer K displaystyle K nbsp Algebra den zugrundeliegenden K displaystyle K nbsp Vektorraum zuordnet Daher wird T V displaystyle mathrm T V nbsp auch als die freie Algebra uber V displaystyle V nbsp bezeichnet Beispiel BearbeitenIst V displaystyle V nbsp ein n displaystyle n nbsp dimensionaler K displaystyle K nbsp Vektorraum bzw ein freier Modul vom Rang n displaystyle n nbsp so ist T V displaystyle mathrm T V nbsp isomorph zur freien assoziativen Algebra uber K displaystyle K nbsp in n displaystyle n nbsp Unbestimmten Im Fall n 1 displaystyle n 1 nbsp ist T V displaystyle mathrm T V nbsp also isomorph zum Polynomring K X displaystyle K X nbsp Ist allgemeiner X displaystyle X nbsp eine beliebige nicht leere Menge und ist V X displaystyle V X nbsp der uber X displaystyle X nbsp erzeugte K displaystyle K nbsp Vektorraum das heisst der freie K Modul uber X displaystyle X nbsp so ist T V X displaystyle mathrm T V X nbsp die frei uber X displaystyle X nbsp erzeugte assoziative Algebra Quotientenraume der Tensoralgebra BearbeitenDurch Herausteilen eines bestimmten Ideals kann man aus der Tensoralgebra beispielsweise die symmetrische Algebra die aussere Algebra oder die Clifford Algebra gewinnen Diese Algebren sind in der Differentialgeometrie von Bedeutung Siehe auch BearbeitenFormelsammlung Tensoralgebra Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Tensoralgebra amp oldid 229201473